2.2 確率分布関数・累積分布関数

連続型確率変数$X$に関する事象に対する確率を$P(a \leq X \leq b)$としたが，このうち $P(-\infty \leq X \leq x)$としたものを改めて$x$の関数として確率分布関数，あるいは累積分布関数と呼び，$F(x)$で表す．

$$\begin{align} F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \end{align}$$

累積分布関数と確率密度関数の間には

$$\begin{align} \frac{d F(x)}{dx} = f(x) \end{align}$$

が成り立つことが知られており，$F(x)$が定まれば確率密度関数も一意に定まる．

Exercise 2.1 (連続型の確率変数とその確率) $X$は連続型の確率変数で次の確率密度関数を持つとする． $$\begin{align} f(x) = \begin{cases} \frac12, & -1 \leq x \leq 1 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{align}$$ このとき，

• $P(0.3 \leq X \leq 0.6)$
• $P(-1.3 \leq X \leq -0.5)$

の値を求めよ．