1.3 確率の公理

集合に対して確率を定義したい．ここでは次のように定義しよう． いま考えたい要素全体の集合を全体集合といい$S$とする．$S$に属する要素を$e_i$と書き， 要素は$k$個あるものとする($k=\infty$でも構わない)．

この時，$P(e_i)$が一つ与えられていて，

$$\begin{align} 0 \leq P(e_i) \leq 1, i=1,2,\ldots,k \\ \sum_{i=1}^{k} P(e_i) = 1 \end{align}$$

が成り立っているとする．これは単にこのようにするという約束事であり，このような約束事を公理と呼ぶ．

いま$A \subset S$として，この$A$に対する確率を考えたい．すなわち$P(A)$を考えたいが，これについては

$$\begin{align} P(A) = \sum_{e_i \in A} P(e_i) \end{align}$$

と定める．これは集合に含まれる要素の確率の和であり，自然のように思える． ただし，$A = \phi$の場合，$A$には何の要素も含まれないため，

$$\begin{align} P(\phi) = 0 \end{align}$$

とする．また，明らかに

$$\begin{align} P(S) = 1 \end{align}$$

である．このように確率が定義された集合のことを，事象と呼ぶ． この時注意したいのは，確率を扱う場合には必ず確率を伴う全体集合$S$がセットになっているということである． これは言語化してしまえば当たり前のことであるが，例えば，サイコロの出る目（1から6）の確率を考えている場合，よくあるものでは$P(i) = 1/6, i=1,\ldots,6$という状況を考えており，確率の公理を満たしている． この時の全体集合は$S=\{ 1,2,3,4,5,6 \}$となっている．これは，もしサイコロの目が$7$だったら，とか サイコロを降ったら地震が起こる場合は，とか着目したいもの以外の現象が入る余地を排除しているのである． 逆に言えば，全体集合$S$を考える際には，着目したい現象は漏れなく考慮しておくべきなのである．

Exercise 1.3 (確率の公理) サイコロの目1,2,3,4,5,6に対して，確率の公理を満たすように確率関数を定めよ．ただし，同様に確からしい場合，つまり全て$1/6$となる場合は除いて構成してみよう．