2.3 確率変数の変数変換

確率変数$X$をある関数$T(x)$によって新たな確率変数$Y=T(X)$を作ることを考えよう． このとき，$X$の型（連続・離散）と$Y$の型は一致する． このように作られた確率変数についてその確率関数・確率密度関数はどのように表されるだろうか．

2.3.1 離散型の場合

離散型の場合は，$X$の実現値$x_1, \ldots, x_k$に対応して$y_i = T(x_i), i=1,\ldots,k$が確率変数$Y$の実現値になる．このとき

$$\begin{align} A_j = \{x | T(x) = y_j \}, \ j=1,\ldots,m \end{align}$$

とするとこれは$Y=y_j$という事象に対応する$x$の集合であるが，もし$T(x)$が単射であれば $x$は唯ひとつに定まるが，そうでなければ$x$は複数存在する場合がある．

一方，確率変数$Y$についてはそれに対応する確率関数$P_Y(t)$が存在して確率の公理を満たさなければいけない．このときこの関数は

$$\begin{align} P_Y(y_j) = \sum_{x \in A_j} P_X(x), \ j=1,\ldots,m \end{align}$$

となる．

実際には$T(x)$の性質に大きく依存する議論であるが，ここでは$T(x)$は比較的単純な関数であるとしておく．

Exercise 2.2 (離散型確率変数の変数変換) 確率変数$X$をサイコロを振って出た目と対応させる．この時，次のような変換を考える．

$$\begin{align} T(x) = \begin{cases} 1, & x = 1,2,3 \\ 2, & x = 4,5 \\ 3, & x = 6 \end{cases} \end{align}$$

この時，確率変数$Y=T(X)$についての確率関数を求めよ．ただしサイコロの出る目の確率は全て$1/6$とする．

2.3.2 連続型の場合

連続型の場合について考えていく．ここでは$y=T(x)$は単調増加関数で，微分可能な逆関数$x = T^{-1}(y)$が存在するとする．

いま$Y=T(X)$という変換により定まる確率変数$Y$の確率密度関数$f_Y(y)$は次のようになる．

$$\begin{align} \int_a^b f_Y(y) dy &= P(a \leq Y \leq b) \\ &= P \bigl( T^{-1}(a) \leq T(X) \leq T^{-1}(b) \bigr) \\ &= \int_{T^{-1}(a)}^{T^{-1}(b)} f_X(x) dx \\ &= \int_{a}^{b} f_X (T^{-1}(y)) \frac{\displaystyle d T^{-1}(y)}{dy} dy \end{align}$$

となる．この式変形では置換積分を用いている．これは

$$\begin{align} f_Y(y) = f_X(T^{-1}(y)) \frac{d T^{-1}(y)}{dy} \end{align}$$

を意味している．これが(2.2)式を満たしているか確認しておこう． $T(x)$が単調増加関数なので$T^{-1}(y)$も単調増加となり，

$$\begin{align} f_Y(y) \leq 0 \end{align}$$

である．また$f_Y(y)$の全区間での積分は

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) dy &= f_X(x) dx = 1 \end{align}$$

となる．