2.5 期待値

確率変数\(X\)の期待値（平均）\(E[X]\)の定義を紹介する．確率変数が離散型と連続型とで異なる定義を与える．

確率変数\(X\)の期待値を取ることを記号で\(E[X]\)と表す． 期待値の記号は対象となる確率変数を括弧の中に取るが，計算する場合は確率関数・確率密度関数が必要になるため暗黙的に適切な確率・確率密度を扱うことが要求される．

期待値とは基本的に，実現値と対応する確率の積の総和と捉えられる．

2.5.1 離散型確率変数の期待値

離散型確率変数に対して，期待値は以下のように定義される．

Definition 2.1 (離散型確率変数の期待値) 確率変数\(X\)を離散型とし，その確率関数が\(f(x)\)として与えられているとする． \(\mathcal{X}\)を\(X\)が取りうる実現値全ての集合として，期待値\(E[X]\)を次のように定義する．

\[\begin{align} E[X] = \sum_{x \in \mathcal{X}} xP(x) = \sum_{x} xP(X=x) \end{align}\]

2.5.2 連続型確率変数の期待値

連続型確率変数に対して，期待値は以下のように定義される．

Definition 2.2 (連続型確率変数の期待値) 確率変数\(X\)を連続型とし，その確率密度関数\(f(x)\)が与えられている時，期待値\(E[X]\)を次のように定義する．

\[\begin{align} E[X] = \int_{\infty}^{\infty} x f(x) dx \end{align}\]

期待値においては\(x=0\)または\(f(x) = 0\)であるような値については寄与しない． つまり，実際には積分区間は実現値が含まれる区間のみかつ，\(x\neq0\)である点で十分である．

Example 2.2 (離散型確率変数の期待値の計算) サイコロを振って出る目に対応する確率変数を\(X\)とする．出る目の確率は同様に確からしいとして，期待値を計算しよう．この場合\(\mathcal{X} = \{ 1,2,3,4,5,6 \}\)，\(f(x) = 1/6\)である．

\[\begin{align} E[X] &= \sum_{x \in \mathcal{X}} x f(x) \\ &= 1 \times \frac16 + 2 \times \frac16 + \cdots + 6 \times \frac16 \\ &= 3.5 \end{align}\]

以上より，サイコロの目を振って出る目の期待値（平均）は3.5となることがわかる．

Example 2.3 (連続型確率変数の期待値の計算) 連続型の確率変数\(X\)を考える．この時，確率密度関数は以下で与えられているとする．

\[\begin{align} f(x) = \begin{cases} 1/2, & -1 \leq x \leq 1 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{align}\]

このとき期待値\(E[X]\)は以下のように計算できる．

\[\begin{align} E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \\ &= \int_{-1}^{1} x \frac{1}{2} dx \\ &= \bigl[ \frac{1}{4} x^2 \bigr]_{-1}^{1} \\ &= 0 \end{align}\]

ある関数\(T(x)\)によって確率変数\(X\)を変換したものの期待値は直接\(E[T(X)]\)として計算すれば良い．