2.10 連続型の同時分布

連続型の確率変数\(X,Y\)について同時分布を考えていこう．基本的には離散型と同様に考えることができる．連続型の場合は，

\[\begin{align} 0 &\leq f(x,y) \leq 1 \\ \int_{-\infty}^{\infty} & \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dxdy = 1 \end{align}\]

を満たす関数\(f(x,y)\)を用いて

\[\begin{align} P(a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d) = \int_c^d \int_a^b f(x,y) dxdy \end{align}\]

として確率分布が定まる．この\(f(x,y)\)を\(X,Y\)の同時確率密度関数などと呼ぶ．周辺分布については，離散型の時と考え方は同じで，興味のない確率変数について確率を足し上げれば良いので，連続型の確率変数の場合は

\[\begin{align} f_X(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy \\ f_Y(y) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx \end{align}\]

となる．

同時分布の期待値については，基本的には\(E[T(X,Y)]\)のように，\((X,Y)\)を入力とした実数値関数\(T:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\)を通して考えることになる．この場合は，密度関数を\(f(x,y)\)とした一変数の期待値と同様に扱うことができる．

Exercise 2.7 (同時確率の期待値と分散) Exercise 2.6の設定を引き続き考えよう． これらの同時分布・周辺分布について期待値と分散を求めよ． 確率変数\(X,Y\)の実現値は\(x \in \{ 1,2 \}\)，\(y \in \{ 1,2,3 \}\)であり同時確率関数は 以下で与えられる．

	\(y=1\)	\(y=2\)	\(y=3\)
\(x=1\)	\(\dfrac{1}{12}\)	\(\dfrac{3}{12}\)	\(\dfrac{4}{12}\)
\(x=2\)	\(\dfrac{2}{12}\)	\(\dfrac{1}{12}\)	\(\dfrac{1}{12}\)