2.10 連続型の同時分布

連続型の確率変数$X,Y$について同時分布を考えていこう．基本的には離散型と同様に考えることができる．連続型の場合は，

$$\begin{align} 0 &\leq f(x,y) \leq 1 \\ \int_{-\infty}^{\infty} & \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dxdy = 1 \end{align}$$

を満たす関数$f(x,y)$を用いて

$$\begin{align} P(a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d) = \int_c^d \int_a^b f(x,y) dxdy \end{align}$$

として確率分布が定まる．この$f(x,y)$を$X,Y$の同時確率密度関数などと呼ぶ．周辺分布については，離散型の時と考え方は同じで，興味のない確率変数について確率を足し上げれば良いので，連続型の確率変数の場合は

$$\begin{align} f_X(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy \\ f_Y(y) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx \end{align}$$

となる．

同時分布の期待値については，基本的には$E[T(X,Y)]$のように，$(X,Y)$を入力とした実数値関数$T:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$を通して考えることになる．この場合は，密度関数を$f(x,y)$とした一変数の期待値と同様に扱うことができる．

Exercise 2.7 (同時確率の期待値と分散) Exercise 2.6の設定を引き続き考えよう． これらの同時分布・周辺分布について期待値と分散を求めよ． 確率変数$X,Y$の実現値は$x \in \{ 1,2 \}$，$y \in \{ 1,2,3 \}$であり同時確率関数は 以下で与えられる．

	$y=1$	$y=2$	$y=3$
$x=1$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{3}{12}$	$\dfrac{4}{12}$
$x=2$	$\dfrac{2}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$