2.6 期待値の線形性

期待値については，離散型・連続型いずれも線形性と呼ばれる性質が成り立つ．

Theorem 2.1 (期待値の線形性) いま，確率変数$X$と，定数$c$，関数$T(x), U(x)$を考える．この時以下が成り立つ．

1. $E[c] = c$
2. $E[cT(X)] = cE[T(X)]$
3. $E[U(X) + T(X)] = E[U(X)] + E[T(X)]$

特に定数$c$に対して期待値をとるとそのまま$c$となる操作は，定数$c$をあえて確率変数と見なすとわかりやすい．つまり，確率1で$c$を実現値に取る確率変数$X$と考えれば， これは離散型確率変数であり，その確率関数は

$$\begin{align} f(x) = \begin{cases} 1, & x = c \\ 0, & x \neq c \end{cases} \end{align}$$

であり，期待値が

$$\begin{align} E[X] = 1 \cdot c = c \end{align}$$

となる．

Exercise 2.3 (期待値の線型性) 確率変数$X$について

1. $X_1 = 3 + X$
2. $X_2 = 3X$

という変換を考える．それぞれの期待値を求めよ．