1.2 集合と確率

集合については第1回の講義で簡単に触れた． ここでは改めて集合について考えていき，その後確率を導入していく．

要素の集まりを集合と呼び，慣習的には大文字で表す．例えばある集合$A$を考える． ある要素$a$が集合$A$に含まれるか，または含まれないかを記号でそれぞれ

$$\begin{align} a \in A, \hspace{5mm} a \notin A \end{align}$$

と表す．また要素を一つも持たない集合を空集合と呼び$\phi$と表すことにする．

1.2.1 和集合と積集合

ある２つの集合$A,B$を考える．この２つの集合に含まれる要素全ての集合を和集合と呼び， $$\begin{align} A \cup B \end{align}$$

と表す．また，２つの集合のどちらにも含まれる要素全ての集合を積集合と呼び，

$$\begin{align} A \cap B \end{align}$$

と表す．

次に一般に$k$個の集合$A_i, i=1,\ldots,k$を考えた時，これらの和集合・積集合をそれぞれ

$$\begin{align} \bigcup_{i=1}^{k} A_i, \hspace{5mm} \bigcap_{i=1}^{k} A_i \end{align}$$

と表す．この和集合は，少なくともどれかの集合$A_i$には含まれる要素全ての集合であり，積集合は全ての集合$A_i$に含まれている要素全ての集合となる．

1.2.2 分割

特に，集合$A_i, i=1,\ldots,k$のうち，どの二つの集合$A_i, A_j, i \neq j$に対して互い疎な時，つまり$A_i \cap A_j = \phi$が成り立つ時，$\displaystyle \bigcup_{i=1}^{k} A_i$は$A_i,i=1,\ldots,j$に分割されているという．

Exercise 1.2 (集合と分割) 次の集合に対して，分割であるような集合族と分割でない集合族をそれぞれ考えよ．

1. $\{ 1,2,3,4,5,6 \}$
2. 実数全体の集合$\mathbb R$