第 2 章 Bayes 貝葉斯理論的概念
許多時候，我們需要將概率中的條件相互對調。 例如： 在已知該人羣中有20%的人有吸菸習慣(\(P(S)\))，吸菸的人有9%的概率有哮喘(\(P(A|S)\))，不吸菸的人有7%的概率有哮喘(\(P(A|\bar{S})\))的前提下，有個人前來門診，發現是哮喘患者，那麼這個人有多大的概率是一個菸民？也就是要求 \(P(S|A)\)
這裏先引入貝葉斯的概念：
我們可以將 \(P(A\cap S)\) 寫成： \[P(A\cap S)=P(A|S)P(S)\\or\\ P(A\cap S)=P(S|A)P(A)\] 這兩個等式是完全等價的。我們將他們連起來：
\[P(S|A)P(A)=P(A|S)P(S)\\ \Rightarrow P(S|A)=\frac{P(A|S)P(S)}{P(A)}\]
是不是看起來又像是寫了一堆廢話？ 沒錯，你看出來是一堆廢話的時候，證明你也同意這背後的簡單邏輯。
再繼續，我們可以利用另外一個廢話：\(\because S+\bar{S}=1\\ \therefore P(A)=P(A\cap S)+P(A\cap\bar{S})\)
用上面的公式替換掉 \(P(A\cap S)+P(A\cap\bar{S}） \\ \therefore P(A)=P(A|S)P(S)+P(A|\bar{S})P(\bar{S})\)
可以得到貝葉斯理論公式：
\[P(S|A)=\frac{P(A|S)P(S)}{P(A|S)P(S)+P(A|\bar{S})P(\bar{S})}\]
回到上面說到的哮喘人中有多少比例吸菸的問題。可以繼續使用概率樹來方便的計算：
所以我們的結論就是，在已知該人羣中有20%的人有吸菸習慣(\(P(S)\))，吸菸的人有9%的概率有哮喘(\(P(A|S)\))，不吸菸的人有7%的概率有哮喘(\(P(A|\bar{S})\))的前提下，有個人前來門診，發現是哮喘患者，那麼這個人有24% 的概率是一個菸民(\(P(S|A)\))。