第 3 章 期望 Expectation (或均值 or mean) 和 方差 Variance
期望（或均值）是用來描述一組數據中心位置的指標（另一個是中位數 Median）。 對於離散型隨機變量 \(X\) (discrete random variables)，它的期望被定義爲：
\[E(X)=\sum_x xP(X=x)\]
所以就是將所有 \(X\) 可能取到的值乘以相應的概率後求和。這個期望（或均值）常常用希臘字母 \(\mu\) 來標記。
方差 Variance 是衡量一組數據變化幅度(dispersion/variability)的指標之一。 方差的定義是：
\[Var(X)=E((X-\mu)^2)\\\text{Where, }\mu=E(x)\]
實際上我們更加常用的是它的另外一個公式：
\[Var(X)=E(X^2)-E(X)^2\]
證明 上面兩個方差公式相等
\[ \begin{align} Var(x) &= E((X-\mu)^2) \\ &= E(X^2-2X\mu+\mu^2)\\ &= E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2\\ &= E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 \\ &= E(X^2) - \mu^2 \\ &= E(X^2) - E(X)^2 \end{align} \]
3.1 方差的性質：
- \(Var(X+b)=Var(X)\)
- \(Var(aX)=a^2Var(X)\)
- \(Var(aX+b)=a^2Var(X)\)