B Korzystanie z rozkładu normalnego

Poniższe ćwiczenia umożliwiają sprawdzenie, czy nauczyliśmy się czytać z tablic lub w inny sposób korzystać z rozkładu normalnego.

Zadanie B.1 Znajdź pole pod krzywą standardowego rozkładu normalnego pomiędzy następującymi parami wartości \(Z\):

  1. \(z_1=0\) i \(z_2=2\)

  2. \(z_1=0\) i \(z_2=1\)

  3. \(z_1=0\) i \(z_2=3\)

  4. \(z_1=0\) i \(z_2=0{,}77\)

Zadanie B.2 Znajdź pole pod krzywą standardowego rozkładu normalnego pomiędzy następującymi parami wartości Z:

  1. \(z_1=-2\) i \(z_2=0\)

  2. \(z_1=-1\) i \(z_2=0\)

  3. \(z_1=-1{,}77\) i \(z_2=0\)

  4. \(z_1=-0{,}77\) i \(z_2=0\)

Zadanie B.3 Znajdź następujące prawdopodobieństwa dla standardowej normalnej zmiennej losowej Z:

  1. \(\mathbb{P}(Z = 1)\)

  2. \(\mathbb{P}(Z ≤ 1)\)

  3. \(\mathbb{P}(Z < 1)\)

  4. \(\mathbb{P}(Z > 1)\)

  5. \(\mathbb{P}(Z ≥ 0)\)

  6. \(\mathbb{P}(-1 ≤ Z ≤ 1)\)

  7. \(\mathbb{P}(-2 ≤ Z ≤ 2)\)

  8. \(\mathbb{P}(-2{,}44 ≤ Z ≤ 0{,}4)\)

  9. \(\mathbb{P}(-0{,}44 ≤ Z ≤ 1{,}44)\)

Zadanie B.4 Znajdź następujące prawdopodobieństwa dla standardowej normalnej zmiennej losowej Z:

  1. \(\mathbb{P}(Z > 1,44)\)

  2. \(\mathbb{P}(Z < -1,55)\)

  3. \(\mathbb{P}(0,66 ≤ Z ≤ 2,44)\)

  4. \(\mathbb{P}(-1,96 ≤ Z ≤ -0,44)\)

  5. \(\mathbb{P}(-2,5 < Z < 1,5)\)

  6. \(\mathbb{P}(Z ≥ -2,5)\)

  7. \(\mathbb{P}(Z < 2,5)\)

Zadanie B.5 Podaj standaryzowaną wartość Z (z-score) pomiaru z rozkładu normalnego dla następujących przypadków:

  1. 1 odchylenie standardowe powyżej średniej

  2. 1 odchylenie st. poniżej średniej

  3. pomiar równy średniej

  4. 2,5 odchylenia st. poniżej średniej

  5. 3 odchylenia standardowe powyżej średniej

Zadanie B.6 Znajdź wartość z0 dla zmiennej Z o rozkładzie standardowym taką, że:

  1. \(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}0401\)

  2. \(\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}95\)

  3. \(\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}90\)

  4. \(\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}8740\)

  5. \(\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ 0) = 0{,}2967\)

  6. \(\mathbb{P}(-2 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}9710\)

  7. \(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}5\)

  8. \(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}0057\)

Zadanie B.7 Znajdź wartość z0 dla zmiennej Z o rozkładzie standardowym taką, że:

  1. \(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}05\)

  2. \(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}025\)

  3. \(\mathbb{P}(Z ≤ z_0) = 0{,}025\)

  4. \(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}10\)

  5. \(\mathbb{P}(Z > z_0) = 0{,}10\)

Zadanie B.8 Załóżmy, że zmienna losowa X może być opisana przez rozkład normalny o parametrach µ = 25 i σ = 5. Znajdź standaryzowaną wartość z (z-score) odpowiadającą każdej z poniższych wartości x:

  1. x=25

  2. x=30

  3. x=37,5

  4. x=10

  5. x=50

  6. x=32

Zadanie B.9 Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny (µ = 11; σ = 2). Znajdź:

  1. \(\mathbb{P}(10 ≤ X ≤ 12)\)

  2. \(\mathbb{P}(6 ≤ X ≤ 10)\)

  3. \(\mathbb{P}(13 ≤ X ≤ 16)\)

  4. \(\mathbb{P}(7{,}8 ≤ X ≤ 12{,}6)\)

  5. \(\mathbb{P}(X ≥ 13{,}24)\)

  6. \(\mathbb{P}(X ≥ 7{,}62)\)

Zadanie B.10 Załóżmy, że X ma rozkład normalny (µ = 30 i σ = 8). Znajdź wartość x0, taką że:

  1. \(\mathbb{P}(X ≥ x_0) = 0{,}5\)

  2. \(\mathbb{P}(X < x_0) = 0{,}025\)

  3. \(\mathbb{P}(X > x_0) = 0{,}10\)

  4. \(\mathbb{P}(X > x_0) = 0{,}95\)