B Korzystanie z rozkładu normalnego
Poniższe ćwiczenia umożliwiają sprawdzenie, czy nauczyliśmy się czytać z tablic lub w inny sposób korzystać z rozkładu normalnego.
Zadanie B.1 Znajdź pole pod krzywą standardowego rozkładu normalnego pomiędzy następującymi parami wartości \(Z\):
\(z_1=0\) i \(z_2=2\)
\(z_1=0\) i \(z_2=1\)
\(z_1=0\) i \(z_2=3\)
\(z_1=0\) i \(z_2=0{,}77\)
Zadanie B.2 Znajdź pole pod krzywą standardowego rozkładu normalnego pomiędzy następującymi parami wartości Z:
\(z_1=-2\) i \(z_2=0\)
\(z_1=-1\) i \(z_2=0\)
\(z_1=-1{,}77\) i \(z_2=0\)
\(z_1=-0{,}77\) i \(z_2=0\)
Zadanie B.3 Znajdź następujące prawdopodobieństwa dla standardowej normalnej zmiennej losowej Z:
\(\mathbb{P}(Z = 1)\)
\(\mathbb{P}(Z ≤ 1)\)
\(\mathbb{P}(Z < 1)\)
\(\mathbb{P}(Z > 1)\)
\(\mathbb{P}(Z ≥ 0)\)
\(\mathbb{P}(-1 ≤ Z ≤ 1)\)
\(\mathbb{P}(-2 ≤ Z ≤ 2)\)
\(\mathbb{P}(-2{,}44 ≤ Z ≤ 0{,}4)\)
\(\mathbb{P}(-0{,}44 ≤ Z ≤ 1{,}44)\)
Zadanie B.4 Znajdź następujące prawdopodobieństwa dla standardowej normalnej zmiennej losowej Z:
\(\mathbb{P}(Z > 1,44)\)
\(\mathbb{P}(Z < -1,55)\)
\(\mathbb{P}(0,66 ≤ Z ≤ 2,44)\)
\(\mathbb{P}(-1,96 ≤ Z ≤ -0,44)\)
\(\mathbb{P}(-2,5 < Z < 1,5)\)
\(\mathbb{P}(Z ≥ -2,5)\)
\(\mathbb{P}(Z < 2,5)\)
Zadanie B.5 Podaj standaryzowaną wartość Z (z-score) pomiaru z rozkładu normalnego dla następujących przypadków:
1 odchylenie standardowe powyżej średniej
1 odchylenie st. poniżej średniej
pomiar równy średniej
2,5 odchylenia st. poniżej średniej
3 odchylenia standardowe powyżej średniej
Zadanie B.6 Znajdź wartość z0 dla zmiennej Z o rozkładzie standardowym taką, że:
\(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}0401\)
\(\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}95\)
\(\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}90\)
\(\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}8740\)
\(\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ 0) = 0{,}2967\)
\(\mathbb{P}(-2 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}9710\)
\(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}5\)
\(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}0057\)
Zadanie B.7 Znajdź wartość z0 dla zmiennej Z o rozkładzie standardowym taką, że:
\(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}05\)
\(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}025\)
\(\mathbb{P}(Z ≤ z_0) = 0{,}025\)
\(\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}10\)
\(\mathbb{P}(Z > z_0) = 0{,}10\)
Zadanie B.8 Załóżmy, że zmienna losowa X może być opisana przez rozkład normalny o parametrach µ = 25 i σ = 5. Znajdź standaryzowaną wartość z (z-score) odpowiadającą każdej z poniższych wartości x:
x=25
x=30
x=37,5
x=10
x=50
x=32
Zadanie B.9 Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny (µ = 11; σ = 2). Znajdź:
\(\mathbb{P}(10 ≤ X ≤ 12)\)
\(\mathbb{P}(6 ≤ X ≤ 10)\)
\(\mathbb{P}(13 ≤ X ≤ 16)\)
\(\mathbb{P}(7{,}8 ≤ X ≤ 12{,}6)\)
\(\mathbb{P}(X ≥ 13{,}24)\)
\(\mathbb{P}(X ≥ 7{,}62)\)
Zadanie B.10 Załóżmy, że X ma rozkład normalny (µ = 30 i σ = 8). Znajdź wartość x0, taką że:
\(\mathbb{P}(X ≥ x_0) = 0{,}5\)
\(\mathbb{P}(X < x_0) = 0{,}025\)
\(\mathbb{P}(X > x_0) = 0{,}10\)
\(\mathbb{P}(X > x_0) = 0{,}95\)