B Korzystanie z rozkładu normalnego

Poniższe ćwiczenia umożliwiają sprawdzenie, czy nauczyliśmy się czytać z tablic lub w inny sposób korzystać z rozkładu normalnego.

Zadanie B.1 Znajdź pole pod krzywą standardowego rozkładu normalnego pomiędzy następującymi parami wartości $Z$:

1. $z_1=0$ i $z_2=2$

2. $z_1=0$ i $z_2=1$

3. $z_1=0$ i $z_2=3$

4. $z_1=0$ i $z_2=0{,}77$
   

Zadanie B.2 Znajdź pole pod krzywą standardowego rozkładu normalnego pomiędzy następującymi parami wartości Z:

1. $z_1=-2$ i $z_2=0$

2. $z_1=-1$ i $z_2=0$

3. $z_1=-1{,}77$ i $z_2=0$

4. $z_1=-0{,}77$ i $z_2=0$

Zadanie B.3 Znajdź następujące prawdopodobieństwa dla standardowej normalnej zmiennej losowej Z:

1. $\mathbb{P}(Z = 1)$

2. $\mathbb{P}(Z ≤ 1)$

3. $\mathbb{P}(Z < 1)$

4. $\mathbb{P}(Z > 1)$

5. $\mathbb{P}(Z ≥ 0)$

6. $\mathbb{P}(-1 ≤ Z ≤ 1)$

7. $\mathbb{P}(-2 ≤ Z ≤ 2)$

8. $\mathbb{P}(-2{,}44 ≤ Z ≤ 0{,}4)$

9. $\mathbb{P}(-0{,}44 ≤ Z ≤ 1{,}44)$

Zadanie B.4 Znajdź następujące prawdopodobieństwa dla standardowej normalnej zmiennej losowej Z:

1. $\mathbb{P}(Z > 1,44)$

2. $\mathbb{P}(Z < -1,55)$

3. $\mathbb{P}(0,66 ≤ Z ≤ 2,44)$

4. $\mathbb{P}(-1,96 ≤ Z ≤ -0,44)$

5. $\mathbb{P}(-2,5 < Z < 1,5)$

6. $\mathbb{P}(Z ≥ -2,5)$

7. $\mathbb{P}(Z < 2,5)$

Zadanie B.5 Podaj standaryzowaną wartość Z (z-score) pomiaru z rozkładu normalnego dla następujących przypadków:

1. 1 odchylenie standardowe powyżej średniej

2. 1 odchylenie st. poniżej średniej

3. pomiar równy średniej

4. 2,5 odchylenia st. poniżej średniej

5. 3 odchylenia standardowe powyżej średniej

Zadanie B.6 Znajdź wartość z₀ dla zmiennej Z o rozkładzie standardowym taką, że:

1. $\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}0401$

2. $\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}95$

3. $\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}90$

4. $\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}8740$

5. $\mathbb{P}(-z_0 ≤ Z ≤ 0) = 0{,}2967$

6. $\mathbb{P}(-2 ≤ Z ≤ z_0) = 0{,}9710$

7. $\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}5$

8. $\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}0057$

Zadanie B.7 Znajdź wartość z₀ dla zmiennej Z o rozkładzie standardowym taką, że:

1. $\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}05$

2. $\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}025$

3. $\mathbb{P}(Z ≤ z_0) = 0{,}025$

4. $\mathbb{P}(Z ≥ z_0) = 0{,}10$

5. $\mathbb{P}(Z > z_0) = 0{,}10$

Zadanie B.8 Załóżmy, że zmienna losowa X może być opisana przez rozkład normalny o parametrach µ = 25 i σ = 5. Znajdź standaryzowaną wartość z (z-score) odpowiadającą każdej z poniższych wartości x:

1. x=25

2. x=30

3. x=37,5

4. x=10

5. x=50

6. x=32

Zadanie B.9 Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny (µ = 11; σ = 2). Znajdź:

1. $\mathbb{P}(10 ≤ X ≤ 12)$

2. $\mathbb{P}(6 ≤ X ≤ 10)$

3. $\mathbb{P}(13 ≤ X ≤ 16)$

4. $\mathbb{P}(7{,}8 ≤ X ≤ 12{,}6)$

5. $\mathbb{P}(X ≥ 13{,}24)$

6. $\mathbb{P}(X ≥ 7{,}62)$

Zadanie B.10 Załóżmy, że X ma rozkład normalny (µ = 30 i σ = 8). Znajdź wartość x₀, taką że:

1. $\mathbb{P}(X ≥ x_0) = 0{,}5$

2. $\mathbb{P}(X < x_0) = 0{,}025$

3. $\mathbb{P}(X > x_0) = 0{,}10$

4. $\mathbb{P}(X > x_0) = 0{,}95$