3.3 Normalfordeling

3.3.1 Hypotesetest om $\mu$

3.3.1.1 Formulering af hypoteser

Hver gang man laver et hypotesetest om $\mu$, skal man igennem alle fem trin (jf. afsnit 3.2). Indholdet af trin 1, trin 3 og trin 5 er dog altid det samme.

Der findes imidlertid forskellige måder at formulere sine hypoteser på (trin 2), og valget af hypotese påvirker også beregningen af P-værdien (trin 4). Derfor kan der være forskel på indholdet af trin 2 og tirn 4 afhængig af præcis hvilket hypotesetest om $\mu$, man ønsker at lave.

Inden vi ser nærmere på de forskellige mulige hypoteser og de tilhørende beregninger af P-værdier, så lad os først lige opsummere de tre trin 1, 3 og 5, der altid er de samme.

Hypotesetest om $\mu$ – Trin 1, 3, 5

Trin 1: Antagelser $X_1,...,X_n$ er indbyrdes uafhængige observationer af en variabel, der er normalfordelt $N(\mu,\sigma)$.

Trin 3: Teststørrelse Test af nulhypotesen $H_0$ udføres ved hjælp af teststørrelsen $$Z=\frac{\hat\mu-\mu_0}{\frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}}}$$ hvor $\mu_0$ er talværdien specificeret i nulhypotesen $H_0$. Under forudsætning af at nulhypotesen $H_0$ er sand, er teststørrelsen $Z$ beskrevet ved en $t$-fordeling med $n-1$ frihedsgrader.

Trin 5: Konklusion Hvis P-værdien er…

• mindre end signifikansniveauet $\alpha$ forkaster vi nulhypotesen $H_0$
• større end signifikansniveauet $\alpha$ forkaster vi ikke nulhypotesen $H_0$

Som nævnt kan hypoteser (nul- og alternativ) formuleres på flere forskellige måder. Vi skal her se på tre forskellige muligheder.

Hypotesetest om $\mu$ – Trin 2

Når vi laver hypotesetest om $\mu$, vil vi altid anvende én ud af tre nedenstående formuleringer af nulhypotesen $H_0$ og alternativhypotesen $H_a$:

• Nulhypotese om at middelværdien er lig $\mu_0$: $$H_0:\;\mu=\mu_0\qquad\textrm{og}\qquad H_a:\;\mu\ne\mu_0$$
• Nulhypotese om at middelværdien er mindre end $\mu_0$:: $$H_0:\;\mu\le\mu_0\qquad\textrm{og}\qquad H_a:\;\mu>\mu_0$$
• Nulhypotese om at middelværdien er større end $\mu_0$: $$H_0:\;\mu\ge\mu_0\qquad\textrm{og}\qquad H_a:\;\mu<\mu_0$$

Bemærk at:

• $\mu_0$ er blot notation for den talværdi, man ønsker at undersøge i forbindelse med sit hypotesetest
• $\ne$ betyder “forskellig fra”. Udtrykket $\mu\ne\mu_0$ betyder således, at enten er $\mu>\mu_0$ eller også er $\mu<\mu_0$
• Test af nulhypotesen $H_0: \mu=\mu_0$ (dvs. hvor $H_a: \mu\ne\mu_0$) kaldes for et 2-sidet test (“two-tailed test”), mens de to øvrige kaldes for 1-sidet test (“one-tailed”)
• Ved et 2-sidet test ser man på afvigelser fra nulhypotesen til begge (dvs. 2) sider i alternativhypotesen ($H_a: \mu\ne\mu_0$), mens man ved et 1-sidet test kun ser på afvigelser fra nulhypotesen til den ene side (dvs. enten $H_a: \mu>\mu_0$ eller $H_a: \mu<\mu_0$)
• I formuleringen af en nulhypotese om $\mu$ der involverer ulighedstegn, er det ligegyldigt, om man erstatter $\le$ med $<$ og tilsvarende erstatter $\ge$ med $>$. Det vil sige at det er ligegyldigt, om man skriver

$$H_0: \mu\le\mu_0\qquad\textrm{og}\qquad H_a: \mu>\mu_0$$

eller

$$H_0: \mu<\mu_0\qquad\textrm{og}\qquad H_a: \mu\ge\mu_0$$

og tilsvarende er det ligegyldigt, om man skriver

$$H_0: \mu\ge\mu_0\qquad\textrm{og}\qquad H_a: \mu<\mu_0$$ eller $$H_0: \mu>\mu_0\qquad\textrm{og}\qquad H_a: \mu\le\mu_0$$

3.3.1.2 Beregning af P-værdi

For at kunne drage en konklusion i et hypotesetest (i trin 5) kræver det, at vi først har beregnet en P-værdi (i trin 4).

Beregning af P-værdien bygger – uanset valget af hypotese – på den værdi af teststørrelsen $Z=(\hat\mu-\mu_0)/(\hat\sigma/\sqrt{n})$, vi har beregnet i trin 3.

P-værdien bruges til at vurdere, om datamaterialet er foreneligt med nulhypotesen $H_0$. Det gøres ved at se på, hvor stor sandsynligheden er for at observere noget, der er mere i modstrid med nulhypotesen $H_0$ end vores datamateriale er.

P-værdien beregnes derfor som sandsynligheden for at få en værdi af teststørrelsen $Z$, der er mere i modstrid med nulhypotesen $H_0$ end værdien af teststørrelsen beregnet på baggrund af datamaterialet.

Hvis P-værdien er lille (stor), er det udtryk for, at datamateriale og nulhypotese stemmer dårligt (fint) overens. Hvordan P-værdien helt specifikt beregnes afhænger af det konkrete valg af nul- og alternativhypotese.

Når P-værdien er beregnet, kan man drage konklusionen på hypotesetestet. Hvis den beregnede P-værdi er lille…

• er det tegn på, at det er en meget usædvanlig værdi af vores teststørrelse, vi har beregnet på baggrund af datamaterialet (under forudsætning af at nulhypotesen $H_0$ er sand)
• virker det rimeligt at tro, at nulhypotesen nok ikke er sand
• vil vi i trin 5 vælge at forkaste nulhypotesen $H_0$, såfremt P-værdien er lille nok (= mindre end det valgte signifikansniveau $\alpha$)

Hvis den beregnede P-værdi er stor…

• er det tegn på, at det ikke er en usædvanlig værdi af vores teststørrelse, vi har beregnet på baggrund af datamaterialet (under forudsætning af at nulhypotesen $H_0$ er sand)
• virker det rimeligt at tro, at nulhypotesen nok er sand
• vil vi i trin 5 vælge ikke at forkaste nulhypotesen $H_0$, såfremt P-værdien er stor nok (= større end det valgte signifikansniveau $\alpha$)

$\underline{\textrm{Test af }H_0: \mu=\mu_0}$

HVIS nulhypotesen $H_0$ er sand…

• vil vi regne med, at vores estimat $\hat\mu$ ligger tæt på talværdien $\mu_0$, og at teststørrelsen $Z=(\hat\mu-\mu_0)/(\hat\sigma/\sqrt{n})$ derfor ligger tæt på 0
• vil store positive eller negative værdier af teststørrelsen $Z$ være i modstrid med nulhypotesen $H_0$
• beregner vi P-værdien som sandsynligheden for, at teststørrelsen $Z$ ligger længere væk fra 0 (i enten positiv eller negativ retning) end værdien beregnet ud fra datamaterialet.

Eksempel: Ølsalg

Vi ser fortsat på prisen for 1 stk. Grøn Tuborg (33 cl glasflaske) i supermarkedskæden Føtex, der kan beskrives ved en normalfordeling med estimerede parametre $\hat\mu$ =3,44 og $\hat\sigma$ = 0,23 baseret på $n=157$ observationer.

Hvis vi betragter hypoteserne $$H_0:\;\mu=3,\!48\hspace{1cm}H_a:\;\mu\ne3,\!48$$ (dvs. $\mu_0=3,\!48$) så svarer det til at undersøge, om den forventede pris kan antages at være 3,48 kr. eller om den ikke kan.

Under forudsætning af at nulhypotesen $H_0$ er sand kan teststørrelsen beregnes til $$z=\frac{\hat\mu-\mu_0}{\frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{3,44-3,48}{\frac{0,230}{\sqrt{157}}}=-2,\!28$$ Herefter kan P-værdien beregnes som sandsynligheden for at observere noget, der er i dårligere overensstemmelse med $H_0$ end værdien $-2,\!28$, dvs. som $$P(Z>2,\!28)+P(Z<-2,\!28)=2,\!38\%$$ hvor $Z$ er beskrevet ved en $t$-fordeling med $n-1=156$ frihedsgrader.

Ved et signifikansniveau på $\alpha=5\%$ forkaster vi således nulhypotesen $H_0$ (fordi $\textsf{P-værdi}=2,\!38\% < 5\%=\alpha$). Der er således ikke på baggrund af datamaterialet belæg for at hævde, at den forventede pris på Grøn Tuborg er 3,48 kr.

$\underline{\textrm{Test af }H_0: \mu\le\mu_0}$

HVIS nulhypotesen $H_0$ er sand…

• vil vi regne med, at vores estimat $\hat\mu$ er mindre end talværdien $\mu_0$, og at teststørrelsen $Z=(\hat\mu-\mu_0)/(\hat\sigma/\sqrt{n})$ derfor er mindre end 0
• vil store positive værdier af teststørrelsen $Z$ være i modstrid med nulhypotesen $H_0$
• beregner vi P-værdien som sandsynligheden for, at teststørrelsen $Z$ ligger længere væk fra 0 (i positiv retning) end værdien beregnet ud fra datamaterialet.

Eksempel: Ølsalg

Vi ser fortsat på prisen for 1 stk. Grøn Tuborg (33 cl glasflaske) i supermarkedskæden Føtex, der kan beskrives ved en normalfordeling med estimerede parametre $\hat\mu=3,44$ og $\hat\sigma=0,230$ baseret på $n=157$ observationer.

Hvis vi betragter hypoteserne $$H_0:\;\mu\le3,\!48\hspace{1cm}H_a:\;\mu>3,\!48$$ (dvs. $\mu_0=3,\!48$) så svarer det til at undersøge, om den forventede pris kan antages at være lavere end 3,48 kr. eller om den ikke kan.

Under forudsætning af at nulhypotesen $H_0$ er sand kan teststørrelsen beregnes til $$z=\frac{\hat\mu-\mu_0}{\frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{3,44-3,48}{\frac{0,230}{\sqrt{157}}}=-2,\!28$$

Herefter kan P-værdien beregnes som sandsynligheden for at observere noget, der er i dårligere overensstemmelse med $H_0$ end værdien -2,28, dvs. som $$P(Z>-2,\!28)=98,\!81\%$$ hvor $Z$ er beskrevet ved en $t$-fordeling med $n-1=156$ frihedsgrader.

Ved et signifikansniveau på $\alpha=5\%$ forkaster vi således ikke nulhypotesen $H_0$ (fordi $\textsf{P-værdi}=98,\!81\% > 5\%=\alpha$. Der er således ikke på baggrund af datamaterialet belæg for at afvise, at den forventede pris på Grøn Tuborg er lavere end 3,48 kr.

$\underline{\textrm{Test af }H_0: \mu\ge\mu_0}$

HVIS nulhypotesen $H_0$ er sand…

• vil vi regne med, at vores estimat $\hat\mu$ er større end talværdien $\mu_0$, og at teststørrelsen $Z=(\hat\mu-\mu_0)/(\hat\sigma/\sqrt{n})$ derfor er større end 0
• vil store negative værdier af teststørrelsen $Z$ være i modstrid med nulhypotesen $H_0$
• beregner vi P-værdien som sandsynligheden for, at teststørrelsen $Z$ ligger længere væk fra 0 (i *negativ* retning) end værdien beregnet ud fra datamaterialet

Eksempel: Ølsalg

Vi ser fortsat på prisen for 1 stk. Grøn Tuborg (33 cl glasflaske) i supermarkedskæden Føtex, der kan beskrives ved en normalfordeling med estimerede parametre $\hat\mu$ = 3,44 og $\hat\sigma$ =0,23 baseret på $n=157$ observationer.

Hvis vi betragter hypoteserne $$H_0:\;\mu\ge3,\!48\hspace{1cm}H_a:\;\mu<3,\!48$$ (dvs. $\mu_0=3,\!48$) så svarer det til at undersøge, om den forventede pris kan antages at være højere end 3,48 kr. eller om den ikke kan.

Under forudsætning af at nulhypotesen $H_0$ er sand kan teststørrelsen beregnes til $$z=\frac{\hat\mu-\mu_0}{\frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{3,44-3,48}{\frac{0,230}{\sqrt{157}}}=-2,\!28$$

Herefter kan P-værdien beregnes som sandsynligheden for at observere noget, der er i dårligere overensstemmelse med $H_0$ end værdien $-2,\!28$, dvs. som $$P(Z<-2,\!28)=1,\!19\%$$ hvor $Z$ er beskrevet ved en $t$-fordeling med $n-1=156$ frihedsgrader.

Ved et signifikansniveau på $\alpha=5\%$ forkaster vi således nulhypotesen $H_0$ (fordi $\textsf{P-værdi}=1,\!19\% < 5\%=\alpha$). Der er således ikke på baggrund af datamaterialet belæg for at hævde, at den forventede pris på Grøn Tuborg er højere end 3,48 kr.