10 Pemodelan Stokastik

Pemodelan stokastik adalah pendekatan matematis untuk memodelkan sistem atau proses yang memiliki unsur ketidakpastian. Dalam konteks teknik, sains, ekonomi, dan bidang lainnya, banyak fenomena tidak bisa diprediksi secara deterministik karena adanya variabel acak atau fluktuasi yang tidak dapat dikontrol. Pemodelan stokastik memungkinkan kita untuk menggambarkan ketidakpastian tersebut secara kuantitatif.

10.1 Ciri-Ciri Model Stokastik

Melibatkan variabel acak.
Menghasilkan output yang berbeda-beda untuk input yang sama.
Dapat dianalisis menggunakan teori probabilitas dan statistika.

10.2 Komponen Utama

Ruang Sampel ( $Ω$ ): Semua kemungkinan hasil.
Variabel Acak: Fungsi dari ruang sampel ke bilangan real.
Distribusi Probabilitas: Menjelaskan kemungkinan relatif dari setiap hasil.

10.3 Contoh Aplikasi

10.3.1 Proses Poisson

Digunakan untuk memodelkan jumlah kejadian dalam interval waktu tertentu.

$P (N (t) = k) = \frac{(λ t)^{k} e^{- λ t}}{k!}$

$N (t)$ : jumlah kejadian sampai waktu $t$ ,
$λ$ : rata-rata kejadian per satuan waktu.

Contoh: Jumlah kerusakan alat berat dalam tambang setiap hari.

10.3.2 Proses Markov

Model stokastik yang masa depannya hanya bergantung pada kondisi saat ini.

$P (X_{n + 1} = x | X_{n} = x_{n}, \dots, X_{0} = x_{0}) = P (X_{n + 1} = x | X_{n} = x_{n})$

Contoh: Pergantian status alat tambang (berfungsi → rusak → diperbaiki).

10.3.3 Model Brownian Motion

Digunakan untuk memodelkan pergerakan partikel atau harga saham:

$X (t) = X (0) + μ t + σ W (t)$

$μ$ : drift,
$σ$ : volatilitas,
$W (t)$ : proses Wiener.

10.3.4 Monte Carlo Simulation

Metode numerik menggunakan sampel acak untuk memperkirakan hasil dari model stokastik.

Langkah-langkah:

Tentukan variabel acak dan distribusinya,
Hasilkan sampel acak,
Evaluasi model untuk setiap sampel,
Hitung rata-rata hasil simulasi.

Contoh: Estimasi waktu gagal suatu sistem tambang.

10.4 Kelebihan Pemodelan Stokastik

Mampu menangani ketidakpastian alami,
Memberikan estimasi probabilistik,
Dapat digunakan untuk optimasi berbasis risiko.

10.5 Kekurangan

Membutuhkan komputasi tinggi,
Memerlukan data historis atau asumsi distribusi,
Interpretasi hasil bisa lebih kompleks.