3  Diferensiasi

3.1 Aturan Turunan

Turunan suatu fungsi menunjukkan laju perubahan fungsi terhadap variabelnya. Secara formal, turunan pertama didefinisikan sebagai:

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Turunan digunakan dalam berbagai bidang seperti fisika (kecepatan dan percepatan), ekonomi (elastisitas), dan optimasi fungsi. Berikut adalah beberapa aturan dasar dalam turunan fungsi secara Analitik:

3.1.1 Aturan Pangkat (Power Rule)

Jika $f(x)=x^n$, maka:

$$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$$

Contoh: Misalkan $f(x)=x^4$, maka turunannya adalah:

$$f^{\prime }(x)=4x^3$$

3.1.2 Aturan Perkalian (Product Rule)

Jika $u(x)$ dan $v(x)$ adalah dua fungsi berbeda, maka:

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$

Contoh: Misalkan $f(x)=(x^2+1)(x+3)$, dengan:

✅ $u=x^2+1\Rightarrow u^{\prime }=2x$
✅ $v=x+3\Rightarrow v^{\prime }=1$

Maka turunannya:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =(2x)(x+3)+(x^2+1)(1)\\ & =2x(x+3)+x^2+1\\ & =2x^2+6x+x^2+1\\ & =3x^2+6x+1\end{array}$$

3.1.3 Aturan Pembagian (Quotient Rule)

Jika $u(x)$ dan $v(x)$ adalah dua fungsi berbeda:

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

Contoh: Misalkan $f(x)=\frac{x^2+1}{x+2}$, dengan:

✅ $u=x^2+1\Rightarrow u^{\prime }=2x$
✅ $v=x+2\Rightarrow v^{\prime }=1$

Maka turunannya:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{(2x)(x+2)-(x^2+1)(1)}{(x+2{)}^2}\\ & =\frac{2x^2+4x-x^2-1}{(x+2{)}^2}\\ & =\frac{x^2+4x-1}{(x+2{)}^2}\end{array}$$

3.1.4 Aturan Rantai (Chain Rule)

Jika $f(x)=g(h(x))$, maka:

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

Contoh: Misalkan $f(x)=(2x^3+x+1{)}^4$, gunakan aturan rantai dengan:

✅ $g(x)=2x^3+x+1$
✅ $h(x)=g(x{)}^4$

Turunan dari $h(x)$:

$$\frac{d}{dx}(2x^3+x+1{)}^4=4(2x^3+x+1{)}^3\cdot (6x^2+1)$$

Contoh Perhitungan: Misalkan diberikan fungsi:

$$f(x)=x^3+2x^2-5x+7$$

Turunan pertama dari fungsi ini adalah:

$$f^{\prime }(x)=3x^2+4x-5$$

Untuk $x=2$:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(2)& =3(2{)}^2+4(2)-5\\ & =3(4)+8-5\\ & =12+8-5\\ & =15\end{array}$$

Turunan menunjukkan laju perubahan fungsi dan digunakan dalam berbagai bidang. Aturan turunan seperti aturan pangkat, perkalian, pembagian, dan rantai sangat berguna dalam menghitung turunan berbagai jenis fungsi. Contoh perhitungan menunjukkan bagaimana menerapkan aturan turunan untuk fungsi polinomial. Dengan pemahaman ini, kita bisa lebih mudah menganalisis bagaimana suatu fungsi berubah!

3.2 Turunan Fungsi Numerik

Metode ini digunakan ketika turunan analitik sulit dihitung. Beberapa metode umum:

1. Selisih Maju (Forward Difference):

$$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

2. Selisih Mundur (Backward Difference):

$$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$ 3. Selisih Tengah (Central Difference) (lebih akurat):

$$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

Contoh Perhitungan: Jika $f(x)=x^2$ dan ingin menghitung $f^{\prime }(2)$ dengan $h=0.01$:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(2)& \approx \frac{f(2.01)-f(1.99)}{0.02}\\ & =\frac{4.0401-3.9601}{0.02}\\ & =4\end{array}$$

Ini mendekati hasil analitik $f^{\prime }(x)=2x$, di mana $f^{\prime }(2)=4$.

library(plotly)

# Fungsi yang akan diturunkan
f <- function(x) {
  x^2
}

# Metode Selisih Maju (Forward Difference)
forward_diff <- function(x, h) {
  (f(x + h) - f(x)) / h
}

# Metode Selisih Mundur (Backward Difference)
backward_diff <- function(x, h) {
  (f(x) - f(x - h)) / h
}

# Metode Selisih Tengah (Central Difference)
central_diff <- function(x, h) {
  (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)
}

# Nilai x dan h
x_val <- 2
h_val <- 0.01

# Perhitungan turunan numerik
fwd <- forward_diff(x_val, h_val)
bwd <- backward_diff(x_val, h_val)
ctr <- central_diff(x_val, h_val)

# Data untuk visualisasi
x_vals <- seq(1.5, 2.5, length.out = 100)
y_vals <- f(x_vals)

data <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)

# Buat plot dengan Plotly
fig <- plot_ly(data, x = ~x, y = ~y, type = 'scatter', mode = 'lines', 
               name = 'f(x) = x^2') %>%
  add_trace(x = c(x_val, x_val + h_val), y = c(f(x_val), f(x_val + h_val)),
            type = 'scatter', mode = 'lines+markers', 
            name = 'Backward Difference',
            line = list(color = 'red', dash = 'dash')) %>%
  add_trace(x = c(x_val - h_val, x_val), y = c(f(x_val - h_val), f(x_val)),
            type = 'scatter', mode = 'lines+markers', 
            name = 'Central Difference',
            line = list(color = 'green', dash = 'dot')) %>%
  add_trace(x = c(x_val - h_val, x_val + h_val), 
            y = c(f(x_val - h_val), f(x_val + h_val)),
            type = 'scatter', mode = 'lines+markers', 
            name = 'Forward Difference',
            line = list(color = 'orange', dash = 'solid')) %>%
layout(title = 'Pendekatan Turunan dengan Selisih Maju, Mundur, dan Tengah',
         xaxis = list(title = 'x', range = c(1.8, 2.3)),  # Mengatur zoom out
         yaxis = list(title = 'f(x)', range = c(0, 10)),
         legend = list(x = 0.1, y = 0.9))

# Tampilkan plot
fig

3.3 Terapan Fungsi Turunan

Turunan dapat digunakan untuk menemukan titik ekstrem suatu fungsi, yaitu titik maksimum dan titik minimum. Titik ekstrem terjadi ketika turunan pertama bernilai nol, yaitu:

$$f^{\prime }(x)=0$$

Penyelesaian persamaan ini akan memberikan titik kritis, yaitu kandidat titik maksimum atau minimum. Untuk menentukan apakah titik tersebut adalah maksimum atau minimum, kita dapat menggunakan turunan kedua. Proses untuk menentukan titik ekstrem, adalah:

1. Hitung turunan pertama $f^{\prime }(x)$.
   
2. Cari titik kritis dengan menyelesaikan $f^{\prime }(x)=0$.
   
3. Gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis ekstrem:
   • Jika $f^{″}(x)>0$, titik kritis adalah minimum lokal (kurva cekung ke atas).
   • Jika $f^{″}(x)<0$, titik kritis adalah maksimum lokal (kurva cekung ke bawah).

3.3.1 Menentukan Titik Ekstrem

Misalkan diberikan fungsi:

$$f(x)=x^3-3x^2-9x+10$$

Langkah 1: Hitung turunan pertama

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$$

Langkah 2: Cari titik kritis dengan menyelesaikan $f^{\prime }(x)=0$

$$\begin{array}{rl}3x^2-6x-9& =0\end{array}$$

Bagi kedua sisi dengan 3:

$$x^2-2x-3=0$$

Faktorkan:

$$(x-3)(x+1)=0$$

Jadi, titik kritis berada di:

$$x=3,x=-1$$

Langkah 3: Hitung turunan kedua untuk uji cekung

$$f^{″}(x)=6x-6$$

Evaluasi pada titik kritis, Untuk $x=3$:

$$f^{″}(3)=6(3)-6=12>0$$

Karena positif, maka $x=3$ adalah minimum lokal. Untuk $x=-1$:

$$f^{″}(-1)=6(-1)-6=-12<0$$

Karena negatif, maka $x=-1$ adalah maksimum lokal.

Langkah 4: Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem

$$\begin{array}{rl}f(3)& =(3{)}^3-3(3{)}^2-9(3)+10\\ & =27-27-27+10\\ & =-17\text{(minimum lokal)}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}f(-1)& =(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)+10\\ & =-1-3+9+10\\ & =15\text{(maksimum lokal)}\end{array}$$

Kesimpulan:

🎯 Maksimum lokal terjadi pada $(-1,15)$, ditandai dengan warna merah pada visualisasi.
🎯 Minimum lokal terjadi pada $(3,-17)$, ditandai dengan warna hijau pada visualisasi.

Turunan pertama digunakan untuk menemukan titik kritis, sementara turunan kedua menentukan apakah titik kritis tersebut merupakan minimum atau maksimum.

3.3.2 Turunan dalam Fisika

Dalam fisika, turunan digunakan untuk menganalisis gerak benda.

1. Kecepatan adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu:

$$v(t)=\frac{d}{dt}s(t)$$

Kecepatan menunjukkan seberapa cepat posisi berubah terhadap waktu.

2. Percepatan adalah turunan kedua dari posisi terhadap waktu, atau turunan pertama dari kecepatan:

$$a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d^2}{d{t}^2}s(t)$$ Percepatan menunjukkan seberapa cepat kecepatan berubah terhadap waktu.

Misalkan posisi suatu benda dinyatakan dengan fungsi:

$$s(t)=5t^2$$

Langkah 1: Hitung kecepatan $v(t)$

Kecepatan diperoleh dengan menurunkan $s(t)$ terhadap $t$:

$$v(t)=\frac{d}{dt}(5t^2)=10t$$

Langkah 2: Hitung percepatan $a(t)$

Percepatan diperoleh dengan menurunkan $v(t)$ terhadap $t$:

$$a(t)=\frac{d}{dt}(10t)=10$$

Fungsi posisi: $s(t)=5t^2$ menunjukkan bahwa benda mengalami percepatan konstan. Kecepatan: $v(t)=10t$ menunjukkan bahwa kecepatan bertambah seiring waktu. Percepatan: $a(t)=10$ menunjukkan bahwa percepatan tetap konstan.

library(plotly)

# Definisi fungsi
s <- function(t) { 5*t^2 }
v <- function(t) { 10*t }
a <- function(t) { 10 }

# Rentang waktu
t_vals <- seq(0, 5, length.out = 100)
s_vals <- s(t_vals)
v_vals <- v(t_vals)
a_vals <- rep(a(0), length(t_vals))  # Percepatan konstan

# Buat data frame
data <- data.frame(t = t_vals, s = s_vals, v = v_vals, a = a_vals)

# Plot menggunakan Plotly
fig <- plot_ly() %>%
  add_trace(data = data, x = ~t, y = ~s, type = 'scatter', mode = 'lines',
            name = 'Posisi s(t)', line = list(color = '#1f77b4')) %>%
  add_trace(data = data, x = ~t, y = ~v, type = 'scatter', mode = 'lines',
            name = 'Kecepatan v(t)', line = list(color = '#d62728')) %>%
  add_trace(data = data, x = ~t, y = ~a, type = 'scatter', mode = 'lines',
            name = 'Percepatan a(t)', line = list(color = '#2ca02c')) %>%
  layout(title = 'Analisis Gerak: Posisi, Kecepatan, dan Percepatan',
         xaxis = list(title = 'Waktu (t)'),
         yaxis = list(title = 'Nilai'),
         legend = list(x = 0.1, y = 0.9))

# Tampilkan plot
fig

Kesimpulan:

🎯 Turunan pertama dari posisi memberikan kecepatan.
🎯 Turunan kedua dari posisi memberikan percepatan.
🎯 Jika percepatan konstan, gerak disebut gerak lurus berubah beraturan (GLBB).

Dengan konsep ini, kita bisa memahami gerak benda dalam berbagai situasi fisika!

Dalam pembelajaran matematika teknik, estimasi fungsi memiliki peran penting dalam mendekati nilai suatu fungsi yang tidak diketahui secara langsung. Turunan analitik memberikan hasil yang eksak dan dapat digunakan untuk menganalisis perubahan suatu fungsi dengan presisi tinggi, sementara metode turunan numerik menjadi alternatif yang efektif ketika perhitungan analitik sulit dilakukan. Konsep turunan ini memiliki berbagai aplikasi yang luas, terutama dalam optimasi, fisika, dan pembelajaran mesin, di mana analisis perubahan dan pencarian nilai ekstrem sangat diperlukan. Oleh karena itu, pemahaman mendalam mengenai estimasi fungsi dan turunan, baik secara analitik maupun numerik, menjadi suatu keharusan dalam berbagai bidang keilmuan, khususnya teknik pertambangan.