9 Pers. Diferensial Parsial

9.1 Pengantar

Persamaan Diferensial Parsial (PDP) adalah jenis persamaan matematika yang melibatkan turunan parsial dari fungsi dengan dua variabel bebas atau lebih. PDP banyak digunakan untuk memodelkan fenomena alam seperti perambatan panas, pergerakan fluida, perpindahan massa, dan gelombang seismik dalam konteks pertambangan dan rekayasa lingkungan.

PDP digunakan untuk menggambarkan perubahan yang terjadi dalam sistem kontinu terhadap lebih dari satu variabel bebas, misalnya waktu dan ruang (OpenCourseWare, 2023; strauss2007partial?).

9.2 Bentuk Umum

Contoh bentuk umum PDP linear orde dua:

$A \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + B \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + D \frac{\partial u}{\partial x} + E \frac{\partial u}{\partial y} + F u = G (x, y)$

di mana $u = u (x, y)$ adalah fungsi yang tidak diketahui.

9.3 Klasifikasi PDP Linear Orde Dua

Klasifikasi PDP berdasarkan diskriminan $B^{2} - 4 A C$ :

Tipe	Persyaratan	Contoh
Eliptik	$B^{2} - 4 A C < 0$	Persamaan Laplace
Parabolik	$B^{2} - 4 A C = 0$	Persamaan Panas
Hiperbolik	$B^{2} - 4 A C > 0$	Persamaan Gelombang

9.4 Contoh Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan Laplace (eliptik):

$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$
Persamaan Panas (parabolik):

$\frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$
Persamaan Gelombang (hiperbolik):

$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$

9.5 Aplikasi PDP di Teknik Pertambangan

PDP digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena dalam dunia tambang:

Distribusi suhu dalam batuan tambang,
Aliran air tanah di bawah permukaan tambang,
Penyebaran gas seperti metana (CH₄) di lorong tambang,
Perambatan gelombang seismik akibat kegiatan peledakan.

Misalnya, PDP digunakan untuk memprediksi distribusi suhu dalam ventilasi tambang bawah tanah berdasarkan waktu dan posisi (Wurster & Wallace, 2021).

9.6 Studi Kasus: Distribusi Suhu di Bawah Permukaan Tambang

Suhu dalam tanah pada kondisi steady-state dapat dimodelkan dengan persamaan Laplace satu dimensi:

$\frac{d^{2} T}{d x^{2}} = 0$

Solusinya:

$T (x) = \frac{T_{L} - T_{0}}{L} x + T_{0}$

$T (x)$ : suhu pada kedalaman $x$ ,
$T_{0}$ : suhu di permukaan,
$T_{L}$ : suhu pada kedalaman $L$ .

Model ini digunakan dalam perencanaan sistem ventilasi tambang untuk menjaga temperatur kerja yang aman dan efisien.

9.7 Metode Penyelesaian PDP

9.7.1 Pemisahan Variabel

Misalnya: $u (x, t) = X (x) T (t)$
Digunakan pada persamaan gelombang dan panas untuk kondisi batas sederhana.

9.7.2 Transformasi Fourier atau Laplace

Digunakan untuk domain tak hingga atau sistem linier.

9.7.3 Metode Numerik

Jika penyelesaian analitik sulit:

Finite Difference Method (FDM)
Finite Element Method (FEM)
Finite Volume Method (FVM)

Metode numerik banyak digunakan dalam software rekayasa seperti COMSOL, ANSYS, dan MODFLOW untuk simulasi geoteknik.

OpenCourseWare, M. (2023). 18.152 introduction to partial differential equations. https://ocw.mit.edu/courses/18-152-introduction-to-partial-differential-equations-spring-2023/

Wurster, R., & Wallace, K. (2021). Heat transfer simulation in underground mine ventilation networks using partial differential equations. Journal of Sustainable Mining, 20(1), 1–9. https://doi.org/10.1016/j.jsm.2020.12.001