7  Pers. Non-Diferensial

Persamaan Non-Diferensial (PND) adalah persamaan matematika yang tidak melibatkan turunan (derivatif) dari variabel. Fokusnya adalah pada hubungan langsung antara variabel melalui operasi aljabar biasa.

Dalam teknik tambang, PND digunakan untuk menghitung:

• Volume galian atau timbunan,
• Perencanaan logistik dan biaya,
• Estimasi statis cadangan,
• Perhitungan rasio kupasan,
• Pemodelan sistem linier.

7.1 Persamaan Aljabar

Persamaan aljabar terdiri dari variabel, konstanta, dan operasi dasar (tambah, kurang, kali, bagi). Bentuk umum:

$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$$

Jenis:

• $n=1$: Linear
• $n=2$: Kuadrat
• $n\ge 3$: Polinomial orde tinggi

Contoh Kasus: Margin Penjualan Alat Tambang

Sebuah alat bor dibeli seharga Rp 150 juta dan dijual Rp 210 juta. Hitung margin keuntungan.

Penyelesaian:

$$\text{Keuntungan}=\text{Harga Jual}-\text{Harga Beli}=210-150=60\text{ juta}$$

Interpretasi: Keuntungan adalah Rp 60 juta.

7.2 Persamaan Matriks

Digunakan untuk sistem linier skala besar, terutama dalam simulasi tambang atau alokasi sumber daya:

$$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B$$

Contoh Kasus: Jam Kerja Ekskavator dan Dump Truck

Ekskavator butuh 2 jam loading dan 1 jam idle; dump truck butuh 1 jam loading dan 3 jam idle. Total jam loading: 8, idle: 9.

Model Matriks:

$$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 9\end{array}\right]$$

Solusi:

$$A^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow X=A^{-1}B=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{c}15\\ 10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$$

Interpretasi: 3 ekskavator dan 2 dump truck.

7.3 Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear (SPL) yang memiliki lebih dari dua variabeleMetode Invers digunakan untuk menyelesaikan masalah alokasi sumber daya dalam operasi pertambangan. Dalam bentuk matriks 3×3eeeeee, SPL dapat dinyatakan sebagai:

$$AX=B$$

dengan:

• $A$ adalah matriks koefisien,
• $X$ adalah vektor variabel,
• $B$ adalah vektor hasil.

Contoh Kasus: Alokasi BBM Tiga Jenis Alat Berat

Dalam suatu proyek tambang, digunakan tiga jenis alat berat: Bulldozer (x), Excavator (y), dan Dump Truck (z). Kebutuhan BBM per hari masing-masing alat adalah:
- Bulldozer: 10 liter/unit
- Excavator: 8 liter/unit
- Dump Truck: 5 liter/unit

Total BBM yang tersedia: 300 liter.
Diketahui pula: - Jumlah Excavator = Dump Truck
- Jumlah Bulldozer = 2 × Dump Truck

Model Matematika (SPL):

$$\{\begin{array}{l}10x+8y+5z=300\\ y-z=0\\ x-2z=0\end{array}$$

Matriks Koefisien:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}10& 8& 5\\ 0& 1& -1\\ 1& 0& -2\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}300\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

Metode Invers Matriks

$$X=A^{-1}B$$

1. Hitung invers dari $A$, yaitu $A^{-1}$
   
2. Kalikan dengan $B$ untuk mendapatkan $X$

Misalnya hasilnya:

$$X=\left[\begin{array}{c}20\\ 10\\ 10\end{array}\right]$$

Interpretasi Hasil

• 20 unit Bulldozer
  
• 10 unit Excavator
  
• 10 unit Dump Truck

Sistem ini menjamin efisiensi BBM sesuai batas dan proporsi operasional.

Metode invers matriks sangat efisien untuk menyelesaikan SPL $\ge =2$ variabel dalam perencanaan tambang.

7.4 Persamaan Eksponensial

Digunakan untuk model pertumbuhan cadangan, penurunan kadar, atau depresiasi alat:

$$a^x=b\Rightarrow x={\log }_{a}b$$

Contoh Kasus: Pertumbuhan Nilai Investasi Tambang

Nilai investasi tumbuh 16 kali lipat dengan laju eksponensial $2^x=16$. Berapa waktu yang dibutuhkan?

Penyelesaian:

$$2^x=2^4\Rightarrow x=4$$

Interpretasi: Waktu yang dibutuhkan adalah 4 periode.

7.5 Persamaan Logaritma

Digunakan untuk skala data tambang (misalnya: log-plot), data seismik atau korelasi kedalaman.

$${\log }_b(x)=y\Rightarrow x=b^y$$

Contoh Kasus: Skala Log Konsentrasi Unsur

Jika ${\log }_{10}(x)=3$, tentukan nilai $x$.

Penyelesaian:

$$x={10}^3=1000$$

Interpretasi: Konsentrasi unsur adalah 1000 ppm.

7.6 Persamaan Trigonometri

Digunakan dalam analisis kemiringan lereng, orientasi lapisan batuan, arah pengeboran.

$$\cos (\theta )=\frac{1}{2}$$

Contoh Kasus: Kemiringan Lereng Tambang

Tentukan semua nilai $\theta$ dalam radian di mana $\cos (\theta )=\frac{1}{2}$

Penyelesaian:

$$\theta =\frac{\pi }{3}+2k\pi \text{atau}\theta =\frac{5\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Interpretasi: Sudut lereng bisa mengacu pada arah $\theta$ yang berulang setiap $2\pi$.

7.7 Persamaan Parametrik

Digunakan untuk lintasan alat berat, rute hauling, atau simulasi pergerakan material:

Contoh Kasus: Lintasan Truk Tambang

Sebuah truk bergerak dengan posisi:

$$x(t)=5t+10,y(t)=2t^2$$

Tentukan posisi pada $t=3$ detik.

Penyelesaian:

$$\begin{gathered} x(3)=5(3)+10=25 \\ y(3)=2(3{)}^2=18 \end{gathered}$$

Interpretasi: Posisi truk pada $t=3$ adalah $(25,18)$.

7.8 Ringkasan PND

Jenis Persamaan	Bentuk Umum	Aplikasi Teknik Tambang
Aljabar	$ax+b=0$	Estimasi biaya, logistik, dan margin operasional
Sistem Persamaan Linear	$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$	Alokasi sumber daya, keseimbangan supply-demand
Matriks	$AX=B$	Model input-output, simulasi operasi terintegrasi
Eksponensial	$a^x=b$	Pertumbuhan biaya, depresiasi alat, penurunan kadar
Logaritma	${\log }_b(x)=y$	Skala data geologi/geokimia, transformasi data seismik
Trigonometri	$\sin (x),\cos (x)$	Analisis kemiringan lereng, orientasi struktur geologi
Parametrik	$x(t),y(t)$	Pemodelan lintasan alat berat, tracking posisi real-time

7.9 Studi Kasus PND

7.9.1 Soal 1

Optimasi Penggunaan Alat Berat dan Bahan Bakar

Latar Belakang:
Sebuah proyek konstruksi menggunakan dua jenis alat berat: Excavator dan Bulldozer. Excavator mengonsumsi 15 liter solar per jam, Bulldozer 20 liter per jam. Excavator beroperasi 8 jam/hari, Bulldozer 6 jam/hari. Biaya per liter solar adalah Rp 10.000. Proyek memiliki anggaran bahan bakar Rp 2.400.000 per hari.

Pertanyaan:

1. Berapa maksimal jumlah Excavator ($x$) dan Bulldozer ($y$) yang dapat dioperasikan tanpa melebihi anggaran bahan bakar?
   
2. Jika Excavator harus selalu berjumlah minimal setengah dari Bulldozer, buat model matematika pembatasnya.

7.9.2 Soal 2

Penentuan Harga dan Kuantitas Produk Tambang untuk Maksimalkan Keuntungan

Latar Belakang:
Perusahaan tambang memproduksi produk yang dijual dengan harga $P$ (Rp/ton) dan jumlah penjualan $x$ ton. Fungsi permintaan:
$$P=2000-0.5x$$
Biaya produksi:
$$C=500x+200,000$$
Keuntungan:
$$L=Px-C$$

Pertanyaan:

1. Tuliskan fungsi keuntungan dalam variabel $x$.
   
2. Berapa banyak produksi ($x$) yang menghasilkan keuntungan maksimal? (gunakan turunan dan carilah titik maksimum)
   
3. Berapa harga jualnya pada produksi optimal?

7.9.3 Soal 3

Prediksi Depresiasi Nilai Mesin dengan Penyesuaian Tahunan

Latar Belakang:
Sebuah mesin dibeli seharga Rp 3 miliar dan menyusut nilainya sebesar 10% dari nilai tahun sebelumnya setiap tahun. Selain itu, biaya perawatan tahunan tetap Rp 50 juta.

Pertanyaan:

1. Buat persamaan nilai mesin $V_t$ setelah $t$ tahun.
   
2. Buat persamaan total biaya (depresiasi + perawatan) hingga tahun ke-$t$.
   
3. Hitung nilai mesin dan total biaya setelah 5 tahun.

7.9.4 Soal 4

Perencanaan Jadwal Pengiriman dan Kapasitas Truk

Latar Belakang:
Sebuah perusahaan pengiriman memiliki truk dengan kapasitas 8 ton dan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Jarak tempuh rute adalah 160 km satu arah. Truk dapat melakukan pengiriman selama 10 jam per hari. Setiap kali pengiriman memerlukan waktu bongkar muat selama 30 menit.

Pertanyaan:

1. Berapa banyak pengiriman bolak-balik yang dapat dilakukan truk dalam sehari?
   
2. Jika setiap pengiriman membawa 6 ton, berapa total barang yang dapat diangkut dalam sehari?
   
3. Buat persamaan total waktu yang diperlukan untuk $n$ pengiriman.

7.9.5 Soal 5

Model Perencanaan Persediaan Material dengan Fungsi Permintaan dan Pengiriman

Latar Belakang:
Permintaan material proyek diperkirakan mengikuti fungsi:
$$D(t)=500+20t$$
dengan $t$ dalam hari, $D(t)$ adalah jumlah material yang dibutuhkan pada hari ke-$t$. Pengiriman material dilakukan sekali sehari dengan jumlah tetap $S$ ton.

Pertanyaan:

1. Tuliskan persamaan stok material $I(t)$ pada hari $t$ dengan asumsi stok awal $I(0)=1000$ ton.
   
2. Tentukan nilai $S$ agar stok tidak pernah habis dalam 10 hari.
   
3. Jika stok awal berubah menjadi 500 ton, bagaimana pengaruhnya terhadap kebutuhan $S$?