5  Integral

5.1 Definisi Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah kebalikan dari operasi turunan dalam kalkulus. Jika kita punya suatu fungsi, integral tak tentu mencari fungsi asal yang, ketika diturunkan, akan menghasilkan fungsi tersebut.

Misalnya, jika kita memiliki suatu kecepatan suatu objek yang bergerak, integral dari kecepatan tersebut akan memberi kita posisi objek tersebut setelah bergerak dalam waktu tertentu. Dengan kata lain, integral membantu kita “mencari fungsi yang hilang.”

Integral tak tentu dari suatu fungsi $f(x)$ ditulis seperti ini:

$$\int f(x)dx$$

Simbol $\int$ ini adalah simbol integral, yang berarti kita akan mencari fungsi yang hasil turunannya adalah $f(x)$. $dx$ menunjukkan variabel yang digunakan (dalam hal ini $x$), dan hasilnya adalah fungsi primitif $F(x)$, yang ditambah dengan konstanta integrasi $C$.

Jadi, secara umum, kita menulis:

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

• $F(x)$ adalah fungsi primitif (fungsi yang diturunkan untuk menghasilkan $f(x)$).
• $C$ adalah konstanta integrasi (karena ada banyak fungsi yang diturunkan menjadi $f(x)$ yang berbeda hanya pada nilai konstanta).

Setiap kali kita mengambil turunan dari sebuah fungsi, nilai konstanta tidak akan terlihat. Misalnya, turunan dari $x^2+3$ dan $x^2+5$ adalah sama, yaitu $2x$. Karena itu, saat kita mengintegral, kita harus menambahkan konstanta $C$ untuk menyatakan bahwa ada banyak fungsi primitif yang mungkin (berbeda hanya pada nilai konstanta).

Contoh Integral Tak Tentu 1:

Jika kita ingin mencari integral dari fungsi $f(x)=2x$, kita mencari fungsi yang turunan dari fungsi tersebut menghasilkan $2x$. Fungsi tersebut adalah $x^2$. Maka:

$$\int 2xdx=x^2+C$$

Di sini, kita menambahkan $C$ karena ada banyak fungsi yang memiliki turunan $2x$, seperti $x^2+3$, $x^2+5$, dan seterusnya.

Contoh Integral Tak Tentu 2:

Jika kita ingin mencari integral dari $f(x)=3$, yang berarti fungsi konstan. Fungsi yang jika diturunkan menghasilkan $3$ adalah $3x$. Maka:

$$\int 3dx=3x+C$$

Integral tak tentu adalah cara untuk menemukan fungsi asal dari suatu fungsi yang sudah diketahui. Ini membantu kita memahami perubahan dari suatu fenomena (misalnya, perubahan posisi atau jumlah) dari waktu ke waktu. Konstanta $C$ menunjukkan bahwa ada banyak solusi untuk integral yang sama, hanya berbeda pada nilai konstan.

5.2 Definisi Integral Tentu

Integral tentu adalah jumlah luas kurva dari $f(x)$ di antara batas $a$ hingga $b$:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

di mana $F(x)$ adalah antiturunan dari $f(x)$, yaitu fungsi yang apabila diturunkan akan menghasilkan $f(x)$.

Contoh:

Misalnya kita ingin menghitung integral dari fungsi $f(x)=x^2$ pada interval $[0,2]$:

$${\int }_0^2{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^2=\frac{8}{3}$$

Langkah-langkah perhitungannya:

1. Temukan antiturunan dari $x^2$, yaitu $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$.

2. Evaluasi antiturunan pada batas atas ($x=2$) dan batas bawah ($x=0$):

   • $F(2)=\frac{1}{3}\times 2^3=\frac{8}{3}$
   • $F(0)=\frac{1}{3}\times 0^3=0$

3. Hitung selisihnya: $\frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}$.

Hasilnya adalah $\frac{8}{3}$, yang menunjukkan luas area di bawah kurva $x^2$ dari $x=0$ hingga $x=2$.

Integral tentu sering digunakan untuk menghitung:

• Luas area di bawah suatu kurva antara dua batas tertentu.
• Total jarak yang ditempuh oleh objek dengan kecepatan yang berubah-ubah.
• Total biaya atau total pendapatan dalam konteks ekonomi atau bisnis.

5.3 Aturan Dasar Integrasi

5.3.1 Integral Fungsi-Fungsi Dasar

Integral merupakan proses kebalikan dari turunan. Integral tak tentu menghasilkan fungsi asal (primitif) dari suatu turunan, sedangkan integral tentu menghitung luas di bawah kurva antara dua titik.

Berikut adalah beberapa fungsi dasar dan integralnya yang sangat sering digunakan dalam Matematika Teknik:

Fungsi	Integral
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $n\ne -1$
$e^x$	$e^x+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln |x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$

5.3.2 Metode Substitusi

Metode substitusi digunakan untuk menyederhanakan bentuk integral dengan mengganti bagian dari fungsi menjadi variabel baru $u$. Ini sangat berguna ketika fungsi yang diintegralkan adalah komposisi dari dua fungsi.

Jika $u=g(x)$, maka:

$$\int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$$

Langkah-langkah:

1. Tentukan substitusi: $u=g(x)$
2. Hitung turunan $du=g^{\prime }(x)dx$
3. Ganti semua $x$ dan $dx$ menjadi fungsi $u$ dan $du$
4. Hitung integral dalam variabel $u$
5. Kembalikan ke variabel $x$

Contoh Soal

Hitung:

$$\int 2x\cos (x^2)dx$$

Langkah-langkah:

1. Substitusi:
   • $u=x^2$
   • $du=2xdx$
2. Ganti ke bentuk $u$:
   • $\int 2x\cos (x^2)dx=\int \cos (u)du$
3. Hitung integral:
   • $\int \cos (u)du=\sin (u)+C$
4. Kembalikan ke variabel $x$:
   • $\sin (x^2)+C$

Jadi:

$$\int 2x\cos (x^2)dx=\sin (x^2)+C$$

Catatan:

• Metode substitusi sangat berguna dalam integral fungsi komposit.
• Jika Anda melihat suatu fungsi dan turunannya dalam bentuk integral, metode substitusi biasanya dapat digunakan.
• Metode ini adalah dasar dari integrasi dengan perubahan variabel dan penting dalam kalkulus teknik dan fisika.

5.3.3 Metode Integrasi Parsial

Integrasi parsial digunakan ketika fungsi yang diintegralkan merupakan hasil kali dari dua fungsi yang berbeda. Metode ini berdasarkan pada aturan turunan dari hasil kali dua fungsi.

Jika $u=f(x)$ dan $dv=g(x)dx$, maka:

$$\int udv=uv-\int vdu$$

Langkah-langkah:

1. Tentukan: mana fungsi yang akan dijadikan $u$ dan mana yang $dv$.
2. Hitung: turunan $du$ dan integral $v$.
3. Substitusikan ke rumus: $\int udv=uv-\int vdu$
4. Selesaikan integral sisanya.

Gunakan panduan LIATE untuk memilih $u$:

• L: Logaritma (mis. $\ln x$)
• I: Invers trigonometri (mis. ${\tan }^{-1}x$)
• A: Aljabar (mis. $x$, $x^2$)
• T: Trigonometri (mis. $\sin x$, $\cos x$)
• E: Eksponensial (mis. $e^x$)

Contoh Soal:

Hitung:

$$\int x{e}^{x}dx$$

Langkah-langkah:

1. Pilih:

   • $u=x\Rightarrow du=dx$
   • $dv=e^{x}dx\Rightarrow v=e^x$

2. Gunakan rumus:

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx$$

3. Selesaikan:

$$=x{e}^x-e^x+C$$

Catatan:

• Integrasi parsial sangat berguna untuk fungsi seperti:

  • $x\cdot e^x$
  • $x\cdot \ln x$
  • $x\cdot \sin x$

• Kadang proses harus diulang lebih dari satu kali, terutama jika fungsi $u$ masih berisi variabel setelah integrasi pertama.

5.4 Penerapan Integrasi

5.4.1 Volume Benda Putar

Volume benda putar adalah volume yang terbentuk ketika suatu kurva atau daerah bidang diputar mengelilingi suatu sumbu. Ada beberapa metode utama untuk menghitungnya, yaitu:

5.4.1.1 Metode Cakram

Metode Cakram (Disk Method) digunakan ketika daerah diputar mengelilingi sumbu horizontal (misal: sumbu-x), dan tidak berlubang di tengah.

Rumus:

Jika daerah di antara $y=f(x)$, $x=a$, dan $x=b$ diputar mengelilingi sumbu-x:

$$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$$

Contoh Soal:

Menghitung volume lapisan batuan menggunakan Metode Cakram dengan profil $y=\sqrt{x}$, dari $x=0$ sampai $x=4$:

$$V=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi {\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^4=8\pi$$

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

# Nilai x dan fungsi y = sqrt(x)
x = np.linspace(0, 4, 100)
y = np.sqrt(x)

# Buat permukaan revolusi (volume benda putar)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
X, T = np.meshgrid(x, theta)
Y = np.sqrt(X)
Z = Y * np.cos(T)
W = Y * np.sin(T)

# Buat plot 3D
fig = go.Figure(data=[go.Surface(x=X, y=Z, z=W, colorscale='Viridis', opacity=0.9)])

# Layout
fig.update_layout(
    title='Volume Rotasi y = √x dari x = 0 ke x = 4 (Metode Cakram)',
    scene=dict(
        xaxis_title='x',
        yaxis_title='y (putaran)',
        zaxis_title='z'
    )
)

5.4.1.2 Metode Cincin

Metode Cincin (Washer Method) digunakan ketika daerah yang diputar memiliki lubang di tengah, yaitu antara dua kurva, dan diputar terhadap sumbu horizontal seperti sumbu-x.

Rumus:

Jika daerah antara $y=f(x)$ (kurva atas) dan $y=g(x)$ (kurva bawah) diputar terhadap sumbu-x:

$$V=\pi {\int }_a^b([f(x){]}^2-[g(x){]}^2)dx$$

Contoh Soal:

Hitung volume benda yang dibentuk dari pemutaran daerah antara $y=\sqrt{x}$ dan $y=\frac{x}{2}$ dari $x=0$ sampai $x=4$ terhadap sumbu-x menggunakan Metode Cincin.

$$V=\pi {\int }_0^4((\sqrt{x}{)}^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2)dx=\pi {\int }_0^4(x-\frac{x^2}{4})dx$$

$$V=\pi {[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{12}]}_0^4=\pi (\frac{16}{2}-\frac{64}{12})=\pi (8-\frac{16}{3})=\frac{8\pi }{3}$$

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

# Nilai x dan dua fungsi: y_outer = sqrt(x), y_inner = x/2
x = np.linspace(0, 4, 100)
y_outer = np.sqrt(x)
y_inner = x / 2

# Variabel rotasi
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
X, T = np.meshgrid(x, theta)

# Fungsi luar
Y_outer = np.sqrt(X)
Z_outer = Y_outer * np.cos(T)
W_outer = Y_outer * np.sin(T)

# Fungsi dalam
Y_inner = X / 2
Z_inner = Y_inner * np.cos(T)
W_inner = Y_inner * np.sin(T)

# Plot 3D permukaan luar dan dalam (lubang)
fig = go.Figure()

# Permukaan luar
fig.add_trace(go.Surface(x=X, y=Z_outer, z=W_outer, colorscale='Blues', opacity=0.8, showscale=False, name='Outer Surface'))

# Permukaan dalam (lubang)
fig.add_trace(go.Surface(x=X, y=Z_inner, z=W_inner, colorscale='Reds', opacity=0.8, showscale=False, name='Inner Surface'))

# Layout
fig.update_layout(
    title='Volume Rotasi antara y = √x dan y = x/2 (Metode Cincin)',
    scene=dict(
        xaxis_title='x',
        yaxis_title='putaran-y',
        zaxis_title='putaran-z'
    ),
    showlegend=False
)

fig.show()

5.4.1.3 Metode Kulit Silinder

Metode Kulit Silinder (Shell Method) digunakan untuk menghitung volume benda yang diputar mengelilingi sumbu vertikal (misalnya: sumbu-y), terutama ketika memutar fungsi dalam bentuk $x$ terhadap sumbu-y lebih mudah dibanding metode cakram/cincin.

Rumus:

Jika fungsi $y=f(x)$ diputar terhadap sumbu-y dari $x=a$ ke $x=b$, maka:

$$V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$$

Contoh Soal:

Hitung volume benda yang dibentuk dari pemutaran daerah di bawah $y=\sqrt{x}$ dari $x=0$ hingga $x=4$ terhadap sumbu-y menggunakan Metode Kulit Silinder.

$$V=2\pi {\int }_0^{4}x\cdot \sqrt{x}dx=2\pi {\int }_0^4{x}^{3/2}dx$$

$$V=2\pi {\left[\frac{2}{5}{x}^{5/2}\right]}_0^4=2\pi \cdot \frac{2}{5}\cdot 32=\frac{128\pi }{5}$$

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

# x dan y = sqrt(x)
x = np.linspace(0, 4, 100)
y = np.sqrt(x)

# Variabel rotasi (theta)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
X, T = np.meshgrid(x, theta)

# f(x) = sqrt(x), digunakan untuk menghitung permukaan silinder
Y = X * np.cos(T)  # sumbu-y (melingkar)
Z = X * np.sin(T)  # sumbu-z (melingkar)
H = np.sqrt(X)     # tinggi silinder

# Plot 3D permukaan silinder
fig = go.Figure()

fig.add_trace(go.Surface(
    x=X, y=Y, z=H, surfacecolor=H, colorscale='Viridis',
    showscale=False, opacity=0.9, name='Shell Surface'
))

# Layout
fig.update_layout(
    title='Volume Rotasi y = √x dari x = 0 ke x = 4 (Metode Kulit Silinder)',
    scene=dict(
        xaxis_title='x (tinggi kulit)',
        yaxis_title='putaran-y',
        zaxis_title='z'
    ),
    showlegend=False
)

5.4.2 Volume Kontur Penampang

Menghitung volume material antara dua penampang dapat dilakukan menggunakan beberapa pendekatan geometrik dan numerik. Berikut beberapa metode yang umum digunakan:

5.4.2.1 Metode Rata-Rata Penampang

Metode Rata-Rata Penampang (Average-End Area Method) digunakan untuk memperkirakan volume material antara dua penampang.

Rumus:

$$V=\frac{1}{2}h(A_1+A_2)$$

Keterangan:

• $h$ : jarak vertikal antara dua penampang
  
• $A_1,A_2$ : luas penampang bawah dan atas

Diberikan fungsi luas penampang:

• Penampang bawah: $$A_1(x)=150+20\sin \left(\frac{\pi x}{5}\right)+5e^{-0.1x}$$
• Penampang atas: $$A_2(x)=180+15\cos \left(\frac{\pi x}{5}\right)+8\ln (x+1)$$

Jika diketahui:

• Interval $x$ dari 0 hingga 10 satuan,
• Jarak antar penampang $h=5$ satuan,

Hitung volume material menggunakan Metode Rata-Rata Penampang.

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Hitung $A_1$ pada $x=0$ dan $x=10$.
2. Hitung $A_2$ pada $x=0$ dan $x=10$.
3. Terapkan rumus rata-rata penampang untuk menghitung volume.

Langkah 1: Hitung nilai area pada $x=0$:

• $A_1(0)=150+20\sin (0)+5e^0=150+0+5=155$
• $A_2(0)=180+15\cos (0)+8\ln (1)=180+15+0=195$

Langkah 2: Hitung nilai area pada $x=10$:

• $\sin \left(\frac{\pi \times 10}{5}\right)=\sin (2\pi )=0$
• $\cos \left(\frac{\pi \times 10}{5}\right)=\cos (2\pi )=1$
• $e^{-1}\approx 0.3679$
• $\ln (11)\approx 2.3979$

Sehingga:

• $A_1(10)=150+20(0)+5(0.3679)=150+1.8395=151.8395$
• $A_2(10)=180+15(1)+8(2.3979)=180+15+19.1832=214.1832$

Langkah 3: Rata-rata area:

• $A_{1,\text{rata}}=\frac{155+151.8395}{2}=153.41975$
• $A_{2,\text{rata}}=\frac{195+214.1832}{2}=204.5916$

Langkah 4: Hitung volume:

$$V=\frac{1}{2}\times 5\times (153.41975+204.5916)$$

$$V=\frac{5}{2}\times 358.01135$$

$$V=2.5\times 358.01135$$

$$V\approx 895.0284\text{ satuan volume}$$

Volume material $\approx 895.03$ satuan volume.

Visualisasi 3D Fungsi Area

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

# Fungsi untuk penampang bawah dan atas
def A1(x):
    return 150 + 20 * np.sin(np.pi * x / 5) + 5 * np.exp(-0.1 * x)

def A2(x):
    return 180 + 15 * np.cos(np.pi * x / 5) + 8 * np.log(x + 1)

# Grid x dan y
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = np.linspace(0, 5, 10)  # Jarak vertikal untuk memberi kedalaman
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Hitung Z untuk penampang bawah dan atas
Z1 = A1(X)
Z2 = A2(X)

# Buat plot 3D
fig = go.Figure()

# Tambahkan penampang bawah
fig.add_trace(go.Surface(z=Z1, x=X, y=Y, colorscale='Viridis', name='Penampang Bawah', opacity=0.9))

# Tambahkan penampang atas
fig.add_trace(go.Surface(z=Z2, x=X, y=Y, colorscale='Cividis', name='Penampang Atas', opacity=0.6))

# Layout
fig.update_layout(
    title='Visualisasi Volume Cadangan Tambang antara Dua Penampang',
    scene=dict(
        xaxis_title='Jarak Horizontal (m)',
        yaxis_title='Kedalaman / Interval Vertikal (m)',
        zaxis_title='Luas Penampang (m²)'
    ),
    margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=50)
)

fig.show()

5.4.2.2 Metode Prismoid

Metode Prismoid digunakan untuk menghitung volume material antara dua penampang dengan mempertimbangkan penampang tengah. Rumus Prismoid adalah sebagai berikut:

$$V=\frac{h}{6}(A_1+4A_m+A_2)$$

Keterangan:

• $h$: Jarak antara dua penampang
  
• $A_1$: Luas penampang bawah (di $x=0$)
  
• $A_2$: Luas penampang atas (di $x=10$)
  
• $A_m$: Luas penampang tengah (di $x=5$)

Diketahui: Fungsi luas penampang bawah dan atas:

• Penampang bawah:
  $$A_1(x)=150+20\sin \left(\frac{\pi x}{5}\right)+5e^{-0.1x}$$

• Penampang atas:
  $$A_2(x)=180+15\cos \left(\frac{\pi x}{5}\right)+8\ln (x+1)$$

Dengan:

• $x\in [0,10]$
• $h=10$

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1, hitung $A_1(0)$

$$A_1(0)=150+20\sin (0)+5e^0=150+0+5=\boxed{{\displaystyle 155}}$$

Langkah 2, hitung $A_2(10)$

$$\begin{gathered} \cos \left(\frac{\pi \cdot 10}{5}\right)=\cos (2\pi )=1 \\ \ln (11)\approx 2.3979 \end{gathered}$$

$$A_2(10)=180+15(1)+8(2.3979)=180+15+19.1832=\boxed{{\displaystyle 214.1832}}$$

Langkah 3, hitung $A_m(5)$

$$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\pi \cdot 5}{5}\right)=\sin (\pi )=0 \\ \cos \left(\frac{\pi \cdot 5}{5}\right)=\cos (\pi )=-1 \\ \ln (6)\approx 1.7918 \end{gathered}$$

$$A_1(5)=150+0+5e^{-0.5}\approx 150+0+5(0.6065)=153.0325$$

$$A_2(5)=180+15(-1)+8(1.7918)=180-15+14.3344=179.3344$$

$$A_m=\frac{A_1(5)+A_2(5)}{2}=\frac{153.0325+179.3344}{2}=\boxed{{\displaystyle 166.1834}}$$

Hitung Volume

$$V=\frac{10}{6}(153.0325+4\cdot 166.1834+179.3344)$$

$$V=\frac{10}{6}\cdot (155+664.7336+179.3344)=\frac{10}{6}\cdot 1033.9168$$

$$V\approx 1723.1947\text{ satuan volume}$$

Volume Material

$$\boxed{{\displaystyle V\approx 1723.19\text{ satuan volume}}}$$

Visualisasi 3D Penampang

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

# Fungsi penampang bawah dan atas
def A1(x):
    return 150 + 20 * np.sin(np.pi * x / 5) + 5 * np.exp(-0.1 * x)

def A2(x):
    return 180 + 15 * np.cos(np.pi * x / 5) + 8 * np.log(x + 1)

# Grid x dan y
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = np.linspace(0, 5, 10)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Penampang
Z_bawah = A1(X)
Z_tengah = (A1(X) + A2(X)) / 2
Z_atas = A2(X)

# Plot 3D
fig = go.Figure()

fig.add_trace(go.Surface(z=Z_bawah, x=X, y=Y, colorscale='Viridis', name='Penampang Bawah', opacity=0.9))

fig.add_trace(go.Surface(z=Z_tengah, x=X, y=Y, colorscale='Greens', name='Penampang Tengah', opacity=0.6))

fig.add_trace(go.Surface(z=Z_atas, x=X, y=Y, colorscale='Cividis', name='Penampang Atas', opacity=0.6))

fig.update_layout(
    title='Visualisasi 3D Penampang Bawah, Tengah, dan Atas',
    scene=dict(
        xaxis_title='Jarak Horizontal (x)',
        yaxis_title='Kedalaman / Interval Vertikal (h)',
        zaxis_title='Luas Penampang (A)'
    ),
    margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=50)
)

fig.show()

5.4.2.3 Metode Grid / Kontur

Metode Grid / Kontur (Contour Area Method) digunakan untuk menghitung volume material yang terperangkap antara beberapa kontur, sering digunakan pada peta topografi atau hasil pemetaan drone. Dalam metode ini, volume dihitung dengan memperkirakan volume antar pasangan kontur. Rumus Umum:

$$V=\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{2}(A_i+A_{i+1})\cdot h$$

Keterangan:

• $V$: Volume material antara kontur
• $A_i$: Luas kontur pada titik $i$
• $A_{i+1}$: Luas kontur pada titik $i+1$
• $h$: Jarak vertikal antara dua kontur (biasanya jarak antar level kontur)

Diketahui:

Anda memiliki beberapa kontur yang membentuk area pada peta topografi atau hasil pemetaan drone. Misalkan ada beberapa titik kontur dengan nilai luas $A_i$ dan $A_{i+1}$ pada dua titik yang berdekatan. Anda juga mengetahui jarak vertikal antar kontur $h$.

Langkah Penyelesaian

Langkah 1: Tentukan Kontur dan Luas Area

Misalkan terdapat 5 kontur pada interval $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]$, yang memiliki luas area masing-masing: $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, dan $A_5$.

Langkah 2: Setiap Pasangan Kontur, untuk setiap pasangan kontur, volume dihitung dengan rumus:

$$V=\frac{1}{2}(A_i+A_{i+1})\cdot h$$

Dimana:

• $A_i$ dan $A_{i+1}$ adalah luas kontur pada pasangan kontur.
• $h$ adalah jarak vertikal antara dua kontur tersebut.

Langkah 3: Volume total dihitung dengan menjumlahkan volume dari setiap pasangan kontur:

$$V_{\text{total}}=\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{2}(A_i+A_{i+1})\cdot h$$

Contoh Perhitungan:

Misalkan kita memiliki lima kontur yang terpisah oleh jarak vertikal $h=10$ satuan, dengan luas kontur sebagai berikut:

• $A_1=150$
• $A_2=170$
• $A_3=190$
• $A_4=210$
• $A_5=230$

Berikut adalah perhitungan volume antar setiap pasangan kontur.

Volume antara $A_1$ dan $A_2$:

$$V_{1-2}=\frac{1}{2}(150+170)\cdot 10=\frac{1}{2}\cdot 320\cdot 10=1600$$

Volume antara $A_2$ dan $A_3$:

$$V_{2-3}=\frac{1}{2}(170+190)\cdot 10=\frac{1}{2}\cdot 360\cdot 10=1800$$

Volume antara $A_3$ dan $A_4$:

$$V_{3-4}=\frac{1}{2}(190+210)\cdot 10=\frac{1}{2}\cdot 400\cdot 10=2000$$

Volume antara $A_4$ dan $A_5$:

$$V_{4-5}=\frac{1}{2}(210+230)\cdot 10=\frac{1}{2}\cdot 440\cdot 10=2200$$

Jumlahkan Semua Volume

$$V_{\text{total}}=1600+1800+2000+2200=7600\text{ satuan volume}$$

Volume Material

$$\boxed{{\displaystyle V_{\text{total}}=7600\text{ satuan volume}}}$$

Visualisasi Volume Kontur

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

# Kontur data
kontur_x = [0, 2, 4, 6, 8]
kontur_y = [150, 170, 190, 210, 230]

# Membuat grid untuk visualisasi
x = np.linspace(0, 8, 100)
y = np.linspace(0, 240, 50)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Fungsi untuk mensimulasikan kontur
Z = np.interp(X, kontur_x, kontur_y)

# Membuat plot 3D
fig = go.Figure()

fig.add_trace(go.Surface(z=Z, x=X, y=Y, colorscale='Viridis', opacity=0.9))

fig.update_layout(
    title='Visualisasi 3D Kontur dan Volume Material',
    scene=dict(
        xaxis_title='Jarak Horizontal (x)',
        yaxis_title='Kontur (A)',
        zaxis_title='Ketinggian / Volume'
    ),
    margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=50)
)

fig.show()

5.4.2.4 Metode Cross-Section

Metode Cross-Section (Potongan Melintang) Digunakan ketika data penampang tersedia dalam bentuk potongan secara berkala (berderet).

Rumus:

$$V=\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{2}(A_i+A_{i+1})\cdot h_i$$

5.4.2.5 Metode Numerical Integration

Metode Numerical Integration digunakan jika fungsi area kontur ($A(x)$) diketahui secara matematis.

• Metode Trapesium:

  $$V\approx \frac{h}{2}(A_1+A_2)$$

• Metode Simpson 1/3 Rule (butuh 3 titik):

  $$V\approx \frac{h}{3}(A_1+4A_m+A_2)$$

5.4.3 Stripping Ratio

Jika:

• $V_o$: volume overburden
• $V_r$: volume material berharga

Maka:

$$\text{Stripping Ratio}=\frac{V_o}{V_r}$$

Contoh penggunaan integral:

$$V_o={\int }_a^b{h}_o(x)dx,V_r={\int }_a^b{h}_r(x)dx$$

5.4.4 Sebaran Ledakan Partikel

Luas di bawah kurva distribusi digunakan untuk menghitung persen kumulatif:

$$\text{Cumulative Mass \%}={\int }_0^{d}f(x)dx$$

5.4.5 Estimasi Volume Cadangan

Diberikan fungsi $A(x)=100+10x$, pada interval 0–10 (meter). Estimasi volume cadangan:

$$V={\int }_0^{10}(100+10x)dx=[100x+5x^2{]}_0^{10}=1000+500=1500{\text{ m}}^3$$

5.5 Latihan Soal

1. Hitung:
   $${\int }_1^3(3x^2-2x+1)dx$$

2. Gunakan metode substitusi untuk menghitung:
   $$\int x\cos (x^2)dx$$

3. Hitung volume overburden dengan profil $h(x)=10-x$, $x=0$ sampai $x=5$

4. Jika distribusi ukuran partikel mengikuti fungsi $f(x)=e^{-x}$, berapa persen partikel < 2 cm?
   $${\int }_0^2{e}^{-x}dx$$

5.6 Latihan Studi Kasus

5.6.1 Cadangan Tambang

Deskripsi:
Sebuah penampang tambang menunjukkan bahwa luas penampang mineral di kedalaman tertentu dapat dimodelkan dengan fungsi:

$$A(x)=120+15x-0.5x^2$$

dengan $A(x)$ dalam m² dan $x$ adalah kedalaman (meter), dari $x=0$ hingga $x=10$ meter.

Pertanyaan:

Hitung volume total cadangan dengan:

$$V={\int }_0^{10}A(x)dx$$

5.6.2 Lapisan Tanah Penutup

Deskripsi:
Lapisan tanah penutup (overburden) memiliki ketebalan yang berubah-ubah dan dimodelkan dengan:

$$h_o(x)=8+2\sin \left(\frac{\pi x}{20}\right)$$

$x$ dalam meter (0–20 m). Panjang area ke arah dalam (tegak lurus sumbu $x$) adalah 50 m.

Pertanyaan:

1. Hitung volume tanah penutup:

$$V={\int }_0^{20}{h}_o(x)\cdot 50dx$$

2. Interpretasikan hasilnya dalam konteks logistik dan perencanaan alat berat.

5.6.3 Massa Total Material

Deskripsi:
Sebuah silo menyimpan material hasil galian dengan kerapatan bervariasi:

$$\rho (y)=2.5+0.1y{\text{(ton/m}}^3)$$

Luas alas silo = 10 m², tinggi = 6 m.

Pertanyaan:

1. Hitung massa total material:

$$M={\int }_0^6\rho (y)\cdot 10dy$$

2. Jelaskan bagaimana variasi kerapatan memengaruhi massa total.

5.6.4 Optimasi Volume Galian

Deskripsi:

Tambang terbuka memiliki profil penampang:

$$A(x)=60x-2x^2$$

dengan $x\in [0,15]$ meter. Biaya per meter horizontal tergantung pada luas area:

$$C(x)=50\cdot A(x)$$

Pertanyaan:

1. Hitung volume penggalian:

$$V(a)={\int }_0^{a}A(x)dx$$

2. Hitung biaya total penggalian:

$$T(a)={\int }_0^{a}C(x)dx=50{\int }_0^{a}A(x)dx$$

3. Tentukan nilai $a$ optimal (maksimum panjang penggalian) sebelum $A(x)$ menjadi nol untuk efisiensi maksimal.

5.6.5 Optimasi Produksi Tambang

Deskripsi:

Sebuah proyek tambang batu bara beroperasi selama 30 hari. Jumlah pekerja dan alat berat yang digunakan setiap hari diatur secara bertahap agar menyesuaikan kebutuhan lapangan:

• Jumlah pekerja harian dimodelkan sebagai:

  $$P(t)=30+10\sin \left(\frac{\pi t}{30}\right)$$

• Jumlah alat berat per hari dimodelkan sebagai:

  $$M(t)=10+2\cos \left(\frac{\pi t}{30}\right)$$

dengan $t$ adalah hari ke-$t$, $0\le t\le 30$.

Produksi harian batu bara (dalam ton) dimodelkan oleh:

$$Q(t)=20\cdot P(t{)}^{0.6}\cdot M(t{)}^{0.4}$$

Pertanyaan:

1. Tentukan total produksi batu bara selama 30 hari.

   $$\text{Total produksi}={\int }_0^{30}Q(t)dt$$

2. Jika biaya gaji per pekerja per hari adalah Rp 500.000 dan biaya sewa alat berat per unit per hari adalah Rp 2.000.000, tentukan:

   • Total biaya selama 30 hari:

     $$\text{Biaya total}={\int }_0^{30}[\mathrm{500,000}\cdot P(t)+\mathrm{2,000,000}\cdot M(t)]dt$$

3. Hitung rata-rata produksi per biaya:

   $$\text{Efisiensi produksi}=\frac{{\int }_0^{30}Q(t)dt}{{\int }_0^{30}[\mathrm{500,000}\cdot P(t)+\mathrm{2,000,000}\cdot M(t)]dt}$$