2  Fungsi Estimasi

Dalam analisis matematika dan pemodelan, estimasi nilai dan fungsi memainkan peran penting dalam memahami perubahan dan perilaku suatu sistem. Estimasi nilai suatu fungsi bertujuan untuk mendekati nilai fungsi di suatu titik ketika fungsi tersebut sulit dihitung secara langsung. Metode yang sering digunakan antara lain interpolasi, ekstrapolasi, dan deret Taylor.

2.1 Interpolasi

Interpolasi adalah metode untuk memperkirakan nilai suatu fungsi di antara titik-titik data yang diketahui. Ada beberapa jenis interpolasi, tetapi yang paling umum adalah Interpolasi Linear dan Interpolasi Polinomial.

2.1.1 Linear

Interpolasi linear menggunakan garis lurus untuk menghubungkan dua titik data yang diketahui. Jika kita memiliki dua titik:
$$(x_0,f(x_0))\text{dan}(x_1,f(x_1))$$
maka nilai fungsi $f(x)$ untuk suatu $x$ di antara $x_0$ dan $x_1$ dapat dihitung dengan rumus:

$$f(x)\approx f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)$$

Untuk Penjelasan lebih detail perhatikan video dibawah ini:

Contoh: Misalkan kita memiliki data berikut:

✅ $f(2)=4$
✅ $f(4)=8$

Kita ingin mencari $f(3)$. Dengan menggunakan rumus interpolasi linear:

$$\begin{array}{rl}f(3)& \approx 4+\frac{8-4}{4-2}(3-2)\\ & =4+\frac{4}{2}(1)\\ & =4+2\\ & =6\end{array}$$

Jadi, hasil interpolasi $f(3)=6$.

2.1.2 Polinomial

Ketika kita memiliki lebih dari dua titik data, interpolasi polinomial dapat digunakan untuk mendapatkan pendekatan yang lebih akurat. Salah satu metode yang umum digunakan adalah Interpolasi Lagrange, yang mendefinisikan polinomial interpolasi $P_n(x)$ sebagai:

$$P_n(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x)$$

dengan basis Lagrange yang dirumuskan sebagai:

$$L_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

Misalkan kita memiliki tiga titik:

✅ Titik 1: (1,2)
✅ Titik 2: (2,5)
✅ Titik 3: (4,3)

Polinomial interpolasi yang kita cari adalah polinomial derajat 2 yang melalui ketiga titik ini. Langkah pertama, tentukan basis Lagrange terlebih dahulu:

Basis untuk $L_0(x)$: gunakan titik $x_1=2$ dan $x_2=4$, abaikan $x_0=1$:

$$\begin{array}{rl}{L}_0(x)& =\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\ & =\frac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)}\\ & =\frac{(x-2)(x-4)}{-1\times -3}\\ & =\frac{(x-2)(x-4)}{3}\end{array}$$

Basis untuk $L_1(x)$: gunakan titik $x_0=1$ dan $x_2=4$, abaikan $x_1=2$:

$$\begin{array}{rl}{L}_0(x)& =\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\ & =\frac{(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)}\\ & =\frac{(x-1)(x-4)}{1\times -2}\\ & =-\frac{(x-1)(x-4)}{2}\end{array}$$

Basis untuk $L_2(x)$: gunakan titik $x_0=1$ dan $x_1=2$, abaikan $x_2=4$.

$$\begin{array}{rl}{L}_2(x)& =\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\\ & =\frac{(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)}\\ & =\frac{(x-1)(x-2)}{3\times 2}\\ & =\frac{(x-1)(x-2)}{6}\end{array}$$

Menyusun Polinomial Interpolasi, berdasarkan basis:

$$P_2(x)=y_0{L}_0(x)+y_1{L}_1(x)+y_2{L}_2(x)$$

Substitusi $y_0=2$, $y_1=5$, dan $y_2=3$:

$$\begin{array}{rl}{P}_2(x)& =2\cdot \frac{(x-2)(x-4)}{3}+5\cdot (-\frac{(x-1)(x-4)}{2})+3\cdot \frac{(x-1)(x-2)}{6}\\ & =\frac{2(x-2)(x-4)}{3}-\frac{5(x-1)(x-4)}{2}+\frac{3(x-1)(x-2)}{6}\end{array}$$

Bentuk ekspresi ini, dapat disederhanakan ke dalam pecahan persekutuan terkecil (KPK dari 3, 2, dan 6 adalah 6):

$$\begin{array}{rl}{P}_2(x)& =\frac{4(x-2)(x-4)}{6}-\frac{15(x-1)(x-4)}{6}+\frac{5(x-1)(x-2)}{6}\\ & =\frac{4(x-2)(x-4)-15(x-1)(x-4)+5(x-1)(x-2)}{6}\end{array}$$

Interpolasi Lagrange memungkinkan kita menemukan polinomial yang melewati sekumpulan titik dengan cara yang sistematis dan akurat. Dengan langkah-langkah ini, kita telah menentukan polinomial interpolasi derajat 2 yang melewati titik-titik yang diberikan.

2.1.3 Linear VS Polinomial

Metode	Rumus	Kelebihan	Kekurangan
Interpolasi Linear	$f(x)\approx f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)$	Sederhana, cepat, mudah dihitung	Kurang akurat jika data tidak linier
Interpolasi Polinomial	$P_n(x)=\sum f(x_i)L_i(x)$	Lebih akurat untuk data non-linier	Bisa menjadi tidak stabil jika polinomial terlalu tinggi (Runge’s phenomenon)

Dengan interpolasi, kita bisa memperkirakan nilai yang tidak diketahui berdasarkan pola yang sudah ada.

2.2 Ekstrapolasi

Ekstrapolasi adalah metode untuk memperkirakan nilai suatu fungsi di luar rentang data yang diketahui. Berbeda dengan Interpolasi, yang memperkirakan nilai di antara titik-titik data yang diketahui, ekstrapolasi mencoba memprediksi nilai di luar rentang tersebut berdasarkan pola yang ada.

2.2.1 Linear

Ekstrapolasi linear menggunakan asumsi bahwa pola perubahan data mengikuti tren garis lurus. Jika kita memiliki dua titik data:
$$(x_0,f(x_0))\text{dan}(x_1,f(x_1))$$
maka untuk memperkirakan $f(x)$ pada $x$ yang lebih besar atau lebih kecil dari $x_0$ dan $x_1$, kita bisa menggunakan rumus:

$$f(x)\approx f(x_1)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_1)$$

Misalkan kita memiliki data berikut:

✅ $f(1)=2$
✅ $f(2)=4$

Kita ingin memperkirakan $f(3)$. Dengan asumsi bahwa pola perubahan linier, kita dapat menghitung:

$$\begin{array}{rl}f(3)& \approx f(2)+(f(2)-f(1))\\ & =4+(4-2)\\ & =4+2\\ & =6\end{array}$$

Jadi, hasil ekstrapolasi $f(3)=6$.

2.2.2 Polinomial

Jika data memiliki pola yang lebih kompleks (bukan linier), kita bisa menggunakan polinomial untuk pendekatan yang lebih akurat. Salah satu metode yang umum digunakan adalah Ekstrapolasi Polinomial Lagrange, yang menggunakan rumus:

$$P_n(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x)$$

dengan basis Lagrange:

$$L_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

Namun, ekstrapolasi polinomial sering kali tidak stabil, terutama jika digunakan pada rentang yang jauh dari data asli.

2.3 Interpolasi VS Ekstrapolasi

Metode	Tujuan	Kelebihan	Kekurangan
Interpolasi	Memperkirakan nilai di antara titik-titik data yang diketahui	Lebih akurat karena masih dalam rentang data asli	Tidak bisa digunakan untuk memprediksi data di luar rentang
Ekstrapolasi	Memperkirakan nilai di luar rentang data yang diketahui	Bisa digunakan untuk prediksi masa depan	Bisa tidak akurat jika pola data berubah

Dengan memahami ekstrapolasi, kita bisa memperkirakan tren suatu fenomena berdasarkan pola yang ada. 🚀