4 Deret Taylor

Deret Taylor adalah metode untuk mendekati fungsi dengan ekspansi deret berdasarkan turunan fungsi tersebut di sekitar titik tertentu.

Jika suatu fungsi $f (x)$ memiliki turunan hingga orde tinggi di sekitar $x = a$ , maka kita dapat menuliskan ekspansi Taylor sebagai:

$f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} (x - a)^{2} + \frac{f^{‴} (a)}{3!} (x - a)^{3} + \dots$

Semakin banyak suku yang digunakan, semakin mendekati nilai fungsi aslinya.

4.1 Deret Taylor untuk $e^{x}$

Misalkan kita ingin mendekati fungsi eksponensial $e^{x}$ dengan ekspansi Taylor di sekitar $x = 0$ .

Turunan-turunan fungsi $e^{x}$ adalah:

✅ $f (x) = e^{x}$
✅ $f^{'} (x) = e^{x}$
✅ $f^{″} (x) = e^{x}$
✅ $f^{‴} (x) = e^{x}$
✅ $\dots$ (dan seterusnya, karena turunan $e^{x}$ selalu sama)

Pada $x = 0$ , semua turunan bernilai 1, sehingga ekspansi Taylor menjadi:

$e^{x} \approx 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots$

4.2 Perhitungan Perkiraan $e^{0.1}$

Kita bisa menghitung nilai $e^{0.1}$ dengan hanya mengambil beberapa suku pertama:

$\begin{aligned} e^{0.1} & \approx 1 + 0.1 + \frac{(0.1)^{2}}{2!} + \frac{(0.1)^{3}}{3!} + \frac{(0.1)^{4}}{4!} \\ = 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6} + \frac{0.0001}{24} \\ = 1 + 0.1 + 0.005 + 0.0001667 + 0.000004167 \\ \approx 1.10517 \end{aligned}$

Bandingkan dengan nilai asli dari kalkulator:

$e^{0.1} \approx 1.105170918$

Hasil ini cukup akurat meskipun kita hanya mengambil 5 suku pertama.

4.3 Prediksi Deret Taylor

Fungsi deformasi tanah dalam tambang mengikuti persamaan:

$u (t) = e^{- 0.2 t} \sin (2 t)$

dengan $t$ dalam hari, dan $u (t)$ dalam meter.
Kita ingin memprediksi deformasi tanah pada $t = 6$ menggunakan deret Taylor di sekitar $t = 5$ .

4.3.1 Rumus Deret Taylor

Deret Taylor di sekitar $t = 5$ :

$u (t) \approx u (5) + u^{'} (5) (t - 5) + \frac{u^{″} (5)}{2!} (t - 5)^{2} + \frac{u^{‴} (5)}{3!} (t - 5)^{3}$

$u (5)$ = nilai fungsi pada $t = 5$
$u^{'} (t)$ = turunan pertama dari $u (t)$
$u^{″} (t)$ = turunan kedua dari $u (t)$
$u^{‴} (t)$ = turunan ketiga dari $u (t)$

Kita akan menghitung turunan fungsi hingga orde ke-3, mengevaluasi di $t = 5$ , lalu menggunakan deret Taylor untuk menghitung $u (6)$ .

4.3.2 Hitung Turunan $u (t)$

Turunan Pertama

$u^{'} (t) = \frac{d}{d t} (e^{- 0.2 t} \sin (2 t))$

Gunakan aturan turunan perkalian $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ :

$u = e^{- 0.2 t}$ → turunan $u^{'} = - 0.2 e^{- 0.2 t}$
$v = \sin (2 t)$ → turunan $v^{'} = 2 \cos (2 t)$

Sehingga,

$u^{'} (t) = e^{- 0.2 t} (2 \cos (2 t) - 0.2 \sin (2 t))$

Turunan Kedua

$u^{″} (t) = e^{- 0.2 t} (- 3.96 \sin (2 t) - 0.8 \cos (2 t))$

Turunan Ketiga

$u^{‴} (t) = e^{- 0.2 t} (- 7.76 \cos (2 t) + 2.39 \sin (2 t))$

Evaluasi di $t = 5$

Substitusi $t = 5$ pada hasil turunan:

$u (5) = e^{- 1} \sin (10) = 0.1353$

$u^{'} (5) = e^{- 1} (2 \cos (10) - 0.2 \sin (10)) = - 0.1501$

$u^{″} (5) = e^{- 1} (- 3.96 \sin (10) - 0.8 \cos (10)) = - 0.0824$

$u^{‴} (5) = e^{- 1} (- 7.76 \cos (10) + 2.39 \sin (10)) = 0.1102$

Aproksimasi $u (6)$

$u (6) \approx u (5) + u^{'} (5) (6 - 5) + \frac{u^{″} (5)}{2!} (6 - 5)^{2} + \frac{u^{‴} (5)}{3!} (6 - 5)^{3}$

Substitusi nilai:

$u (6) \approx 0.1353 + (- 0.1501) (1) + \frac{- 0.0824}{2} (1)^{2} + \frac{0.1102}{6} (1)^{3}$

$u (6) \approx 0.1353 - 0.1501 - 0.0412 + 0.0184$

$u (6) \approx - 0.0376$

Nilai sebenarnya dari $u (6)$ :

$u (6) = e^{- 1.2} \sin (12) = - 0.0385$

Error aproksimasi = 0.0009 meter (0.9 mm) → Sangat kecil!

4.1 Deret Taylor untuk ex

4.2 Perhitungan Perkiraan e0.1