4  Deret Taylor

Deret Taylor adalah metode untuk mendekati fungsi dengan ekspansi deret berdasarkan turunan fungsi tersebut di sekitar titik tertentu.

Jika suatu fungsi $f(x)$ memiliki turunan hingga orde tinggi di sekitar $x=a$, maka kita dapat menuliskan ekspansi Taylor sebagai:

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\dots$$

Semakin banyak suku yang digunakan, semakin mendekati nilai fungsi aslinya.

4.1 Deret Taylor untuk $e^x$

Misalkan kita ingin mendekati fungsi eksponensial $e^x$ dengan ekspansi Taylor di sekitar $x=0$.

Turunan-turunan fungsi $e^x$ adalah:

✅ $f(x)=e^x$
✅ $f^{\prime }(x)=e^x$
✅ $f^{″}(x)=e^x$
✅ $f^{‴}(x)=e^x$
✅ $\cdots$ (dan seterusnya, karena turunan $e^x$ selalu sama)

Pada $x=0$, semua turunan bernilai 1, sehingga ekspansi Taylor menjadi:

$$e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$$

4.2 Perhitungan Perkiraan $e^{0.1}$

Kita bisa menghitung nilai $e^{0.1}$ dengan hanya mengambil beberapa suku pertama:

$$\begin{array}{rl}{e}^{0.1}& \approx 1+0.1+\frac{(0.1{)}^2}{2!}+\frac{(0.1{)}^3}{3!}+\frac{(0.1{)}^4}{4!}\\ & =1+0.1+\frac{0.01}{2}+\frac{0.001}{6}+\frac{0.0001}{24}\\ & =1+0.1+0.005+0.0001667+0.000004167\\ & \approx 1.10517\end{array}$$

Bandingkan dengan nilai asli dari kalkulator:

$$e^{0.1}\approx 1.105170918$$

Hasil ini cukup akurat meskipun kita hanya mengambil 5 suku pertama.

Berikut ini adalah proses perhitungan dan visualisasinya dengan menggunakan bantuan Pemrograman Python.

import numpy as np
import plotly.graph_objs as go
from math import factorial

# Fungsi eksponensial asli
def e_x(x):
    return np.exp(x)

# Fungsi Taylor series hingga derajat n
def taylor_series(x, n):
    return np.array([
        sum((x_val**k) / factorial(k) for k in range(n + 1))
        for x_val in x
    ])

# Rentang x untuk plot
x_vals = np.linspace(-2, 2, 200)
y_actual = e_x(x_vals)

# Buat plot dengan Plotly
fig = go.Figure()

# Garis fungsi asli e^x
fig.add_trace(go.Scatter(
    x=x_vals, y=y_actual, mode='lines',
    name='e^x (Asli)', line=dict(color='black', width=3)
))

# Tambahkan pendekatan Taylor dengan berbagai jumlah suku
colors = ["red", "blue", "green", "purple", "orange"]
n_terms = [1, 2, 3, 5, 10]  # Jumlah suku Taylor yang digunakan

for i, n in enumerate(n_terms):
    y_taylor = taylor_series(x_vals, n)
    fig.add_trace(go.Scatter(
        x=x_vals, y=y_taylor, mode='lines',
        name=f'Taylor ({n} suku)',
        line=dict(color=colors[i], dash='dash')
    ))

# Layout plot
fig.update_layout(
    title='Pendekatan Taylor untuk e^x',
    xaxis_title='x',
    yaxis_title='e^x',
    legend=dict(x=0.1, y=0.9)
)

4.3 Prediksi Deret Taylor

Fungsi deformasi tanah dalam tambang mengikuti persamaan:

$$u(t)=e^{-0.2t}\sin (2t)$$

dengan $t$ dalam hari, dan $u(t)$ dalam meter.
Kita ingin memprediksi deformasi tanah pada $t=6$ menggunakan deret Taylor di sekitar $t=5$.

4.3.1 Rumus Deret Taylor

Deret Taylor di sekitar $t=5$:

$$u(t)\approx u(5)+u^{\prime }(5)(t-5)+\frac{u^{″}(5)}{2!}(t-5{)}^2+\frac{u^{‴}(5)}{3!}(t-5{)}^3$$

• $u(5)$ = nilai fungsi pada $t=5$
  
• $u^{\prime }(t)$ = turunan pertama dari $u(t)$
  
• $u^{″}(t)$ = turunan kedua dari $u(t)$
  
• $u^{‴}(t)$ = turunan ketiga dari $u(t)$

Kita akan menghitung turunan fungsi hingga orde ke-3, mengevaluasi di $t=5$, lalu menggunakan deret Taylor untuk menghitung $u(6)$.

4.3.2 Hitung Turunan $u(t)$

4.3.2.1 Nilai fungsi $t=5$

$$u(5)=e^{-1}\cdot \sin (10)\approx 0.3679\cdot (-0.5440)=0.1353$$

4.3.2.2 Turunan pertama:

$$u^{\prime }(t)=e^{-0.2t}(2\cos (2t)-0.2\sin (2t))$$ $$u^{\prime }(5)=e^{-1}(2\cos (10)-0.2\sin (10))\approx 0.3679\cdot (-1.5694)=-0.1501$$

4.3.2.3 Turunan kedua:

$$u^{″}(t)=e^{-0.2t}(-3.96\sin (2t)-0.8\cos (2t))$$ $$u^{″}(5)=e^{-1}(-3.96\sin (10)-0.8\cos (10))\approx -0.0824$$

4.3.2.4 Turunan ketiga:

$$u^{‴}(t)=e^{-0.2t}(-7.76\cos (2t)+2.39\sin (2t))$$ $$u^{‴}(5)=e^{-1}(-7.76\cos (10)+2.39\sin (10))\approx 0.1102$$

4.3.3 Aproksimasi $u(6)$

Substitusi nilai turunan ke dalam deret Taylor:

$$u(6)\approx 0.1353+(-0.1501)(1)+\frac{-0.0824}{2}(1{)}^2+\frac{0.1102}{6}(1{)}^3$$

$$u(6)\approx 0.1353-0.1501-0.0412+0.0184=-0.0376$$

4.3.4 Nilai Sebenarnya

$$u(6)=e^{-1.2}\cdot \sin (12)\approx 0.3012\cdot (-0.1279)=-0.0385$$

4.3.5 Kesimpulan

Nilai	Hasil
Aproksimasi	$-0.0376$
Nilai Sebenarnya	$-0.0385$
Error	$0.0009$ meter (0.9 mm)

Aproksimasi sangat akurat, hanya selisih 0.9 mm dengan nilai aslinya.

4.4 Analogi Deret Taylor

Bayangkan kamu berdiri di sebuah titik jalan (anggap ini sebagai titik $x=a$ pada grafik fungsi). Misalnya kamu sedang jalan kaki di sebuah bukit, dan kamu tidak punya peta lengkap, tapi kamu tahu:

1. Di mana posisi kamu sekarang
   → Ini seperti nilai fungsi di titik itu:
   $$f(a)$$

2. Arah jalan saat ini (menanjak atau menurun)
   → Ini seperti turunan pertama:
   $$f^{\prime }(a)$$
   Semakin besar $f^{\prime }(a)$, makin curam naiknya. Kalau negatif, berarti turun.

3. Apakah jalan akan berbelok tajam atau tidak
   → Ini seperti turunan kedua:
   $$f^{″}(a)$$
   Kalau positif, jalan makin menanjak. Kalau negatif, jalan mulai melandai atau menurun.

4. Bagaimana perubahan belokan itu sendiri
   → Ini turunan ketiga, keempat, dst.
   Semakin banyak turunan yang kamu tahu, semakin akurat prediksi kamu.