8  Pers. Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa (PDB) merupakan salah satu cabang penting dalam matematika terapan yang mempelajari hubungan antara suatu fungsi dengan turunannya. Dalam dunia teknik, terutama teknik pertambangan, PDB digunakan untuk memodelkan fenomena-fenomena fisik seperti aliran air tanah, ventilasi udara dalam tambang bawah tanah, pelapukan batuan, dan penyebaran suhu di dalam tanah.

Pemahaman terhadap PDB memungkinkan para insinyur untuk:

• Membuat model prediktif yang membantu pengambilan keputusan teknis,
• Melakukan simulasi dan evaluasi sistem tambang,
• Merancang peralatan dan prosedur kerja yang lebih efisien dan aman.

8.1 Konsep Dasar PDB

8.1.1 Definisi

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang melibatkan fungsi tak diketahui dari satu variabel bebas dan turunannya.

Contoh:

$$\frac{dy}{dx}=ky$$

Persamaan ini menyatakan bahwa laju perubahan $y$ terhadap $x$ sebanding dengan $y$ itu sendiri.

8.1.2 Terminologi Penting

• Orde Persamaan: Orde ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan. Contoh: $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-k^{2}y$ adalah orde dua.
• Linearitas: Persamaan disebut linear jika fungsi tak diketahui dan turunannya berpangkat satu dan tidak saling dikalikan.
• Homogenitas: Persamaan homogen jika ruas kanannya nol.

8.1.3 Solusi Persamaan Diferensial

Solusi dari PDB adalah fungsi $y(x)$ yang memenuhi persamaan tersebut. Solusi dapat bersifat:

• Umum: Mengandung konstanta sembarang (hasil dari integrasi).
• Khusus: Diperoleh setelah memasukkan syarat awal atau batas.

8.2 PDB Orde Satu

8.2.1 Pemisahan Variabel

Digunakan jika PDB dapat dipisah menjadi fungsi $x$ dan $y$:

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow \frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$$

Langkah:

1. Pisahkan variabel
2. Integrasikan kedua sisi
3. Selesaikan untuk mendapatkan $y(x)$

8.2.2 Persamaan Linear Orde Satu

PDB linear orde satu:

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

Langkah penyelesaian:

1. Tentukan faktor integrasi: $\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$
2. Kalikan seluruh persamaan dengan $\mu (x)$
3. Integrasi kedua sisi
4. Tentukan solusi umum dan/atau khusus

8.2.3 Metode Persamaan Eksak

Bentuk umum:

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

Persamaan disebut eksak jika:

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$

Jika tidak eksak, metode substitusi atau faktor integrasi dapat digunakan.

8.3 Pers. Diferensial Orde Tinggi

8.3.1 Pers. Diferensial Homogen

Persamaan diferensial dikatakan homogen jika semua suku dalam persamaan hanya melibatkan fungsi dan turunannya tanpa adanya suku bebas (konstanta atau fungsi lain).

Bentuk umum persamaan diferensial linear orde satu:

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$

Contoh:

$$\frac{dy}{dx}-3y=0$$

Penyelesaian, untuk bentuk homogen:

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$

Penyelesaian dapat dicari dengan metode pemisahan variabel:

$$\frac{dy}{y}=-P(x)dx$$

$$\ln |y|=-\int P(x)dx+C$$

$$y=C{e}^{-\int P(x)dx}$$

8.3.2 Pers. Diferensial Tak Homogen

Persamaan diferensial dikatakan tak homogen jika terdapat suku bebas (konstanta atau fungsi non-homogen lainnya) di dalam persamaan.

Bentuk Umum persamaan diferensial linear orde satu:

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

Contoh:

$$\frac{dy}{dx}-3y=e^{2x}$$

Penyelesaian:

Untuk persamaan tak homogen, solusi umum terdiri dari dua bagian:

1. Solusi homogen (complementary solution): diselesaikan dengan mengabaikan suku $Q(x)$.
2. Solusi khusus (particular solution): diselesaikan dengan metode substitusi atau variasi parameter.

Langkah-langkah penyelesaian:

• Hitung faktor integrasi:

$$\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$$

• Kalikan seluruh persamaan dengan $\mu (x)$:

$$\mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)P(x)y=\mu (x)Q(x)$$

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)Q(x)$$

• Integrasikan kedua sisi:

$$\mu (x)y=\int \mu (x)Q(x)dx+C$$

$$y=\frac{1}{\mu (x)}(\int \mu (x)Q(x)dx+C)$$

8.4 Aplikasi PDB

8.4.1 Aliran Air Tanah

$$\frac{dh}{dt}=-kh$$

Model ini menggambarkan penurunan muka air akibat pemompaan. Solusinya:

$h(t)=h_0{e}^{-kt}$

8.4.2 Ventilasi Tambang

$$\frac{dC}{dt}=-k(C-C_{\text{luar}})$$ Model ini menyatakan bahwa konsentrasi gas berbahaya akan berkurang seiring waktu menuju konsentrasi luar.

8.4.3 Pelapukan Batuan

$$\frac{dM}{dt}=-kM\Rightarrow M(t)=M_0{e}^{-kt}$$

Massa batuan berkurang seiring waktu akibat reaksi kimia dan pelapukan.

8.4.4 Distribusi Suhu di Tanah

$$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=0\Rightarrow T(x)=\frac{T_L-T_0}{L}x+T_0$$

Menjelaskan suhu sebagai fungsi kedalaman.

8.5 Soal dan Pembahasan

8.5.1 Ventilasi Tambang

$$\frac{dC}{dt}=-0.2(C-10),C(0)=100$$

Solusi:

$$C(t)=10+(100-10)e^{-0.2t}=10+90e^{-0.2t}$$

8.5.2 Penurunan Muka Air

$$\frac{dh}{dt}=-0.1h,h(0)=50$$

Solusi:

$$h(t)=50e^{-0.1t}\Rightarrow h(10)\approx 18.4\text{ meter}$$

8.5.3 Distribusi Suhu

$$T(0)={30}^{\circ }C,T(100)={80}^{\circ }C$$

Solusi:

$$T(x)=\frac{80-30}{100}x+30=0.5x+30$$

8.6 Latihan Soal

1. Sebuah tambang memiliki konsentrasi gas berbahaya 90 ppm yang turun menuju 20 ppm. Modelkan dengan $k=0.25$ dan tentukan $C(t)$.
2. Massa batuan menurun 3% per tahun. Jika awalnya 500 ton, berapa sisa massa setelah 10 tahun?
3. Suhu permukaan tanah 25°C dan di kedalaman 200 m adalah 75°C. Tentukan rumus suhu terhadap kedalaman $x$.

8.7 Numerik dan Komputasi

Dalam kasus kompleks, solusi PDB tidak bisa diperoleh secara analitik. Oleh karena itu, digunakan metode numerik seperti:

• Euler
• Runge-Kutta
• Metode beda hingga

Contoh penerapan:

• Simulasi aliran air tanah dengan perangkat lunak MODFLOW,
• Analisis ventilasi tambang dengan ANSYS Fluent atau SimScale,
• Simulasi panas dan stres batuan dengan COMSOL Multiphysics.

8.8 Penutup

Persamaan Diferensial Biasa merupakan alat penting dalam menyelesaikan permasalahan yang bersifat dinamis dalam teknik pertambangan. Pemahaman terhadap konsep dasar, metode penyelesaian, serta aplikasinya dalam konteks nyata akan memberikan keunggulan bagi mahasiswa maupun praktisi tambang dalam perencanaan, simulasi, dan pengambilan keputusan.