1  Pendahuluan

1.1 Pengantar

Dalam dunia komputasi dan analisis numerik, berbagai teknik matematika digunakan untuk menyelesaikan permasalahan kompleks yang tidak dapat diselesaikan secara analitis. Buku ini bertujuan untuk memberikan pemahaman yang komprehensif mengenai berbagai metode numerik dan pemodelan matematika yang sering digunakan dalam berbagai disiplin ilmu, mulai dari sains hingga rekayasa.

Metode numerik merupakan teknik penyelesaian masalah matematika dengan pendekatan angka dan algoritma yang dapat diterapkan dalam komputer. Pemodelan matematika, di sisi lain, digunakan untuk merepresentasikan sistem nyata dalam bentuk persamaan dan hubungan matematis. Dengan kombinasi keduanya, banyak permasalahan di berbagai bidang seperti fisika, teknik, ekonomi, dan biologi dapat diselesaikan dengan efisiensi tinggi.

Buku ini disusun secara sistematis dengan berbagai topik utama yang mencakup interpolasi, diferensiasi, integrasi, penyelesaian persamaan nonlinier, serta berbagai jenis persamaan diferensial dan pemodelan stokastik maupun regresi. Setiap bab dalam buku ini dirancang untuk memberikan pemahaman konsep dasar, metode numerik yang umum digunakan, serta penerapan praktisnya dalam berbagai kasus. Selain itu, contoh soal dan implementasi algoritma dalam bahasa pemrograman juga disediakan untuk memperjelas penerapan teoritis dalam dunia nyata.

1.2 Cakupan Buku

1.2.1 Interpolasi

Interpolasi adalah metode matematika yang digunakan untuk memperkirakan nilai suatu variabel berdasarkan sekumpulan titik data yang diketahui. Dalam teknik tambang, interpolasi digunakan untuk memperkirakan distribusi kandungan mineral, topografi bawah tanah, dan model geologi berdasarkan sampel yang terbatas.

Beberapa penerapan interpolasi dalam industri pertambangan meliputi:

• ✅ Estimasi Cadangan Mineral → Menentukan kandungan bijih di antara titik-titik bor eksplorasi.
• ✅ Modeling Geologi → Membantu dalam pemetaan struktur bawah tanah berdasarkan data sampel.
• ✅ Pemantauan Stabilitas Lereng → Memperkirakan deformasi dan pergerakan tanah berdasarkan pengukuran sensor.
• ✅ Perencanaan Tambang → Menggunakan interpolasi untuk mengoptimalkan rencana penambangan berdasarkan karakteristik material.

Metode Interpolasi dalam Teknik Tambang:

• ✅ Interpolasi Polinomial → Digunakan untuk membangun fungsi polinomial yang melewati titik-titik data yang diketahui.
• ✅ Interpolasi Spline → Menggunakan polinomial terpisah yang dihubungkan dengan kelancaran tertentu, cocok untuk model topografi.
• ✅ Metode Inverse Distance Weighting (IDW) → Metode berbasis jarak yang sering digunakan untuk mengestimasi kandungan mineral.
• ✅ Kriging → Metode geostatistik yang lebih akurat untuk estimasi spasial dalam eksplorasi tambang.

Interpolasi polinomial Newton digunakan dalam teknik tambang untuk memperkirakan nilai kandungan mineral atau parameter geoteknik lainnya berdasarkan titik sampel.

Interpolasi Newton digunakan untuk memperkirakan nilai suatu fungsi berdasarkan sekumpulan titik data yang diketahui. Rumus umumnya adalah:

$$P_n(x)=f(x_0)+\sum _{k=1}^{n}f[x_0,x_1,...,x_k](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{k-1})$$

di mana:

• ✅ $x$ → Koordinat titik di mana kadar mineral akan diestimasi.

• ✅ $f(x)$→ Nilai kadar mineral di titik yang sudah diketahui.

• ✅ $f[x_0,x_1,...,x_k]$→ Selisih terbagi (divided differences), yang dihitung dengan rumus:

  $$f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}$$

  $$f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}$$

  dan seterusnya.

Contoh Penerapan:

Misalkan dilakukan pengujian kandungan mineral pada titik-titik berikut:

Lokasi	Kedalaman (m)	Kandungan Bijih (%)
A	100	2.5
B	150	2.7
C	200	3.0
D	250	3.4
E	300	3.8

Kita ingin memperkirakan kandungan bijih di lokasi 175 m menggunakan interpolasi Newton.

Langkah 1: Hitung Selisih Terbagi

Selisih Pertama:

$$\begin{array}{r}f[x_0,x_1]=\frac{f(150)-f(100)}{150-100}=\frac{2.7-2.5}{50}=0.004\\ f[x_1,x_2]=\frac{f(200)-f(150)}{200-150}=\frac{3.0-2.7}{50}=0.006\\ f[x_2,x_3]=\frac{f(250)-f(200)}{250-200}=\frac{3.4-3.0}{50}=0.008\\ f[x_3,x_4]=\frac{f(300)-f(250)}{300-250}=\frac{3.8-3.4}{50}=0.008\end{array}$$

Selisih Kedua:

$$\begin{array}{rl}f[x_0,x_1,x_2]& =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{200-100}=\frac{0.006-0.004}{100}=0.00002\\ f[x_1,x_2,x_3]& =\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{250-150}=\frac{0.008-0.006}{100}=0.00002\\ f[x_2,x_3,x_4]& =\frac{f[x_3,x_4]-f[x_2,x_3]}{300-200}=\frac{0.008-0.008}{100}=0\end{array}$$

Selisih Ketiga:

$$\begin{array}{rl}f[x_0,x_1,x_2,x_3]& =\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{250-100}\\ & =\frac{0.00002-0.00002}{150}=0\\ f[x_1,x_2,x_3,x_4]& =\frac{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{300-150}\\ & =\frac{0-0.00002}{150}=-0.0000001333\end{array}$$

Langkah 2: Bentuk Polinomial Newton

$$\begin{array}{rl}{P}_4(x)& =f(100)+f[x_0,x_1](x-100)+f[x_0,x_1,x_2](x-100)(x-150)\\ & +f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-100)(x-150)(x-200)\\ & +f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4](x-100)(x-150)(x-200)(x-250)\end{array}$$

Substitusi nilai:

$$\begin{array}{rl}{P}_4(x)& =2.5+0.004(x-100)+0.00002(x-100)(x-150)\\ & +0(x-100)(x-150)(x-200)-0.0000001333(x-100)(x-150)(x-200)(x-250)\end{array}$$

1.2.1.1 Langkah 3: Substitusi x = 175

$$\begin{array}{rl}{P}_4(175)& =2.5+0.004(175-100)+0.00002(175-100)(175-150)\\ & +0(175-100)(175-150)(175-200)\\ & -0.0000001333(175-100)(175-150)(175-200)(175-250)\\ & =2.5+0.004(75)+0.00002(75)(25)-0.0000001333(75)(25)(-25)\\ & =2.5+0.3+0.0375+0.000625\\ & =2.8375\end{array}$$

Jadi, kandungan bijih yang diperkirakan pada lokasi 175 m adalah 2.84%.

1.2.2 Diferensiasi

Bab ini mengulas diferensiasi numerik, yang digunakan untuk mendekati turunan suatu fungsi secara numerik. Diferensiasi numerik banyak diterapkan dalam berbagai bidang, seperti simulasi fisik, analisis sensitivitas, dan optimasi. Dalam industri pertambangan, diferensiasi dapat digunakan untuk menganalisis perubahan kandungan mineral atau sifat fisik material seiring dengan waktu atau perubahan kondisi lingkungan.

Beberapa penerapan diferensiasi dalam industri pertambangan meliputi:

• ✅ Analisis Perubahan Kadar Mineral → Menganalisis perubahan kadar mineral pada titik-titik eksplorasi yang berbeda.
• ✅ Modeling Stabilitas Lereng → Menggunakan turunan untuk menganalisis perubahan kekuatan tanah atau batuan di lereng.
• ✅ Perhitungan Gradien Sifat Geologi → Memodelkan perubahan sifat fisik dan kimia batuan berdasarkan data dari pengeboran dan pengukuran lainnya.
• ✅ Simulasi Perubahan Lingkungan Tambang → Menganalisis turunan dalam simulasi perubahan lingkungan atau distribusi sumber daya.

Metode diferensiasi numerik yang paling umum digunakan adalah beda hingga, yang memungkinkan kita untuk menghitung turunan suatu fungsi dengan pendekatan numerik. Salah satu metode dalam diferensiasi numerik adalah beda hingga maju, yang digunakan untuk mendekati turunan pertama suatu fungsi pada titik $x$. Rumusnya adalah sebagai berikut:

$$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Di mana:

• ✅ $f^{\prime }(x)$ adalah turunan pertama dari fungsi $f(x)$
• ✅ $x$ adalah titik di mana kita ingin menghitung turunan.
• ✅ $h$ adalah selisih kecil antara titik $x$ dan titik berikutnya, yang digunakan untuk menghitung perbedaan antara nilai fungsi pada dua titik yang berdekatan.

Contoh Penerapan:

Misalkan kita ingin menghitung turunan dari fungsi $f(x)=x^2$ pada titik $x=2$ dengan $h=0.014.$

Langkah 1: Substitusi Nilai dalam Rumus Beda Hingga Maju

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(2)& \approx \frac{f(2+0.01)-f(2)}{0.01}\\ f^{\prime }(2)& \approx \frac{f(2.01)-f(2)}{0.01}\\ f^{\prime }(2)& \approx \frac{(2.01{)}^2-(2{)}^2}{0.01}\end{array}$$

Langkah 2: Hitung Nilai Fungsi

$$\begin{array}{rl}f(2.01)& =(2.01{)}^2=4.0401\\ f(2)& =(2{)}^2=4\end{array}$$

Langkah 3: Hitung Perbedaan dan Turunan

$$f^{\prime }(2)\approx \frac{4.0401-4}{0.01}=\frac{0.0401}{0.01}=4.01$$

Jadi, turunan pertama dari $f(x)=x^2$ pada titik $x=2$ adalah 4.01.

1.2.3 Integrasi

Bab ini membahas integrasi numerik, yang merupakan metode untuk menghitung nilai integral suatu fungsi secara numerik. Integrasi numerik banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti keuangan, analisis spektral, dan pemrosesan sinyal. Dalam industri pertambangan, integrasi numerik dapat digunakan untuk menghitung volume cadangan mineral, analisis data geofisika, atau menghitung estimasi sumber daya.

Beberapa penerapan integrasi numerik dalam industri pertambangan meliputi:

• ✅ Estimasi Volume Cadangan → Menghitung volume batuan atau mineral dalam suatu area berdasarkan hasil pemetaan geologi dan geofisika.
• ✅ Analisis Data Seismik → Mengintegrasikan data seismik untuk memodelkan struktur bawah permukaan tanah.
• ✅ Pemodelan Sumber Daya Alam → Menggunakan integrasi numerik untuk memperkirakan total sumber daya yang dapat dieksploitasi berdasarkan data eksplorasi.
• ✅ Analisis Perubahan Lingkungan Tambang → Menggunakan integrasi untuk memodelkan perubahan yang terjadi pada sistem lingkungan di sekitar lokasi tambang.

Metode integrasi numerik yang umum digunakan antara lain aturan trapesium, aturan Simpson, dan metode kuadratur lainnya yang membantu menghitung integral untuk fungsi-fungsi yang sulit dihitung secara analitik.

Salah satu metode yang sering digunakan untuk integrasi numerik adalah aturan trapesium. Metode ini mengestimasi nilai integral dengan cara mendekati daerah di bawah kurva fungsi $f(x)$ sebagai trapezoid. Rumusnya adalah sebagai berikut:

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}(f(a)+f(b))$$

Di mana:

• ✅ $a$ dan $b$ adalah batas integral.
• ✅ $h$ adalah lebar interval, yang dihitung dengan $h=b-a$.
• ✅ $f(a)$ dan $f(b)$ adalah nilai fungsi pada batas integral $a$ dan $b$.

Metode aturan trapesium dapat diperluas dengan membagi interval integral menjadi subinterval lebih kecil untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat.

Contoh Penerapan:

Misalkan kita ingin menghitung integral dari fungsi $f(x)=x^2$ pada interval $[1,3]$.

Langkah 1: Tentukan Nilai Batas

Batas integral adalah $a=1$ dan $b=3$.

Langkah 2: Hitung Lebar Interval

$$h=b-a=3-1=2$$

Langkah 3: Hitung Nilai Fungsi pada Batas

$$f(1)=1^2=1$$ $$f(3)=3^2=9$$

1.2.3.1 Langkah 4: Hitung Integral dengan Aturan Trapesium

$${\int }_1^3{x}^{2}dx\approx \frac{2}{2}(f(1)+f(3))=1\times (1+9)=10$$

Jadi, hasil perkiraan integral dari $f(x)=x^2$ pada interval $[1,3]$ dengan aturan trapesium adalah 10.

1.2.4 Persamaan Nonlinier

Bab ini membahas tentang persamaan nonlinier dan teknik-teknik yang digunakan untuk menyelesaikannya. Persamaan nonlinier adalah persamaan yang tidak dapat dituliskan sebagai fungsi linear terhadap variabelnya. Penyelesaian persamaan semacam ini sering kali diperlukan dalam perancangan teknik, pemodelan ekonomi, dan berbagai aplikasi lain di mana hubungan antara variabel tidak bersifat linear.

Beberapa penerapan penyelesaian persamaan nonlinier dalam industri pertambangan meliputi:

• ✅ Modeling Geologi → Menyelesaikan persamaan nonlinier untuk memodelkan distribusi mineral di bawah permukaan tanah.
• ✅ Perencanaan Penambangan → Menyelesaikan sistem persamaan nonlinier untuk mengoptimalkan proses penambangan.
• ✅ Simulasi Dinamika Batuan → Menggunakan persamaan nonlinier untuk menghitung respons batuan terhadap tekanan dan beban.
• ✅ Modeling Aliran Fluida → Menghitung aliran fluida dalam reservoir menggunakan persamaan nonlinier.

Beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinier adalah:

• ✅ Metode Bagi Dua → Metode iteratif yang membagi interval pencarian menjadi dua bagian dan mencari akar dalam subinterval.
• ✅ Metode Newton-Raphson → Metode berbasis turunan yang memperbaiki estimasi akar secara iteratif.
• ✅ Metode Secant → Metode yang tidak memerlukan turunan fungsi, menggunakan dua titik untuk memperkirakan akar.
• ✅ Metode Fixed Point Iteration → Metode yang menyelesaikan persamaan dengan menyusun ulang persamaan menjadi bentuk yang lebih mudah dihitung secara iteratif.

Metode Newton-Raphson adalah salah satu metode yang paling efisien untuk mencari akar persamaan nonlinier. Metode ini menggunakan derivatif fungsi untuk memperbaiki pendekatan akar persamaan secara iteratif. Rumus metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$

Di mana:

• $x_n $ adalah nilai pendekatan akar pada iterasi ke-$n$.
• $f(x_n)$ adalah nilai fungsi pada titik $x_n$.
• $f^{\prime }(x_n)$ adalah turunan fungsi pada titik $x_n$.
• $x_{n+1}$ adalah nilai akar yang lebih baik pada iterasi berikutnya.

Contoh Penerapan:

Misalkan kita ingin menemukan akar dari persamaan:

$$f(x)=x^2-4$$

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Tentukan Fungsi dan Turunannya

Fungsi yang diberikan adalah:

$$f(x)=x^2-4$$

Turunan dari fungsi ini adalah:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Langkah 2: Pilih Titik Awal $x_0$

Pilih titik awal $x_0=3$ (Anda dapat memilih titik awal lain yang mendekati akar).

Langkah 3: Iterasi Menggunakan Rumus Newton-Raphson

Iterasi pertama:

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}\\ & =3-\frac{3^2-4}{2\times 3}\\ & =3-\frac{9-4}{6}\\ & =3-\frac{5}{6}\\ & =2.1667\end{array}$$

Iterasi kedua:

$$\begin{array}{rl}{x}_2& =x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}\\ & =2.1667-\frac{{2.1667}^2-4}{2\times 2.1667}\\ & =2.1667-\frac{4.6944-4}{4.3334}\\ & =2.1667-\frac{0.6944}{4.3334}\\ & =2.1667-0.1601\\ & =2.0066\end{array}$$

Iterasi ketiga:

$$\begin{array}{rl}{x}_3& =x_2-\frac{f(x_2)}{f^{\prime }(x_2)}\\ & =2.0066-\frac{{2.0066}^2-4}{2\times 2.0066}\\ & =2.0066-\frac{4.0265-4}{4.0132}\\ & =2.0066-\frac{0.0265}{4.0132}\\ & =2.0066-0.0066\\ & =2\end{array}$$

Hasilnya, setelah beberapa iterasi, kita mendapatkan akar $x=2$, yang merupakan solusi dari persamaan $f(x)=x^2-4$.

1.2.5 Persamaan Diferensial Biasa

Bab ini membahas tentang persamaan diferensial biasa (ODE) dan teknik-teknik yang digunakan untuk menyelesaikannya. ODE menggambarkan hubungan antara fungsi dan turunan pertamanya, yang sering muncul dalam perancangan sistem dinamis, analisis sirkuit listrik, dan pemodelan epidemiologi.

Beberapa penerapan persamaan diferensial biasa (ODE) dalam industri pertambangan meliputi:

• ✅ Modeling Aliran Fluida → Menggunakan ODE untuk menggambarkan aliran fluida dalam reservoir tambang.
• ✅ Simulasi Dinamika Batuan → Menyelesaikan ODE untuk memodelkan respons batuan terhadap tekanan dan deformasi.
• ✅ Perencanaan Penambangan → Menggunakan ODE untuk memodelkan sistem dinamis dalam optimasi proses penambangan.
• ✅ Pemodelan Kestabilan Lereng → Menggunakan ODE untuk memprediksi pergerakan tanah dan kestabilan lereng tambang.

Berikut adalah beberapa metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa (ODE):

• ✅ Metode Euler → Metode numerik yang digunakan untuk memperkirakan solusi ODE berdasarkan nilai pada titik awal dan turunan fungsi.
• ✅ Metode Runge-Kutta → Metode yang lebih akurat dibandingkan dengan metode Euler, menggunakan pendekatan lebih kompleks untuk menghitung nilai solusi ODE.
• ✅ Metode Adams-Bashforth → Metode numerik yang menggunakan pendekatan multistep untuk memperkirakan solusi ODE.
• ✅ Metode Predictor-Corrector → Metode iteratif yang digunakan untuk meningkatkan akurasi solusi numerik.

Metode Euler adalah salah satu metode paling dasar dan sederhana untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa (ODE) secara numerik. Metode ini menggunakan informasi pada titik sebelumnya untuk memperkirakan solusi pada titik berikutnya. Rumus metode Euler adalah sebagai berikut:

$$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$$

Di mana:

• $y_n$ adalah nilai solusi pada titik $x_n$.
• $h$ adalah langkah atau interval perubahan pada $x$.
• $f(x_n,y_n)$** adalah nilai fungsi turunan pada titik $(x_n,y_n)$.

Contoh Penerapan:

Misalkan kita diberikan persamaan diferensial biasa:

$$\frac{dy}{dx}=x+y$$

Dengan kondisi awal $y(0)=1$, kita akan menggunakan metode Euler untuk menghitung nilai $y$ pada titik $x=0.1$ dengan langkah $h=0.1$.

Langkah 1: Tentukan Fungsi dan Kondisi Awal

Diberikan: $$\frac{dy}{dx}=x+y$$

Kondisi awal: $$y(0)=1$$

Langkah 2: Hitung Nilai pada Titik $x_1=0.1$

Menggunakan rumus Euler, kita dapat menghitung nilai $y$ pada $x_1=0.1$.

$$y_1=y_0+hf(x_0,y_0)$$

Dengan $x_0=0$, $y_0=1$, dan $h=0.1$, kita substitusikan ke dalam rumus:

$$y_1=1+0.1\cdot (0+1)=1+0.1=1.1$$

Langkah 3: Lanjutkan Perhitungan untuk Titik Berikutnya

Jika kita ingin menghitung nilai $y$ pada $x_2=0.2$, kita ulangi langkah yang sama:

$$y_2=y_1+hf(x_1,y_1)=1.1+0.1\cdot (0.1+1.1)=1.1+0.1\cdot 1.2=1.1+0.12=1.22$$

1.2.6 Persamaan Diferensial Parsial

Bab ini membahas tentang persamaan diferensial parsial (PDE) dan teknik-teknik numerik yang digunakan untuk menyelesaikannya. PDE adalah persamaan yang melibatkan turunan parsial dari suatu fungsi lebih dari satu variabel. PDE sering muncul dalam banyak aplikasi teknik dan ilmiah, seperti analisis perpindahan panas, mekanika fluida, dan teori gelombang.

Beberapa penerapan persamaan diferensial parsial (PDE) dalam industri pertambangan meliputi:

• ✅ Simulasi Perpindahan Panas → Menghitung distribusi suhu dalam sistem penambangan atau reservoir geotermal menggunakan PDE.
• ✅ Analisis Dinamika Fluida → Menggunakan PDE untuk memodelkan aliran fluida dalam tambang bawah tanah.
• ✅ Stabilitas Lereng → Menggunakan PDE untuk memodelkan pergerakan tanah dan deformasi pada lereng tambang.
• ✅ Modeling Proses Geokimia → Menyelesaikan PDE untuk memodelkan reaksi kimia dan proses pelindian dalam industri tambang.

Berikut adalah beberapa metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial (PDE):

• ✅ Metode Beda Hingga (Finite Difference Method) → Metode numerik yang menggunakan grid diskret untuk menghitung solusi PDE dengan mendekati turunan parsial menggunakan perbedaan terhingga.
• ✅ Metode Elemen Hingga (Finite Element Method) → Metode numerik yang membagi domain masalah menjadi elemen-elemen kecil, sangat cocok untuk geometri yang kompleks.
• ✅ Metode Volume Hingga (Finite Volume Method) → Metode yang mengalikan integral PDE dengan volume kecil untuk menghitung solusi numerik.
• ✅ Metode Spektral → Metode yang menggunakan basis fungsi global (seperti Fourier atau polinomial) untuk menyelesaikan PDE dengan presisi tinggi.

Metode beda hingga adalah salah satu metode numerik yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial (PDE). Metode ini mendekati turunan parsial dengan perbedaan antara nilai fungsi di titik-titik diskret pada grid. Untuk PDE waktu kontinu, rumus beda hingga untuk turunan waktu dapat ditulis sebagai berikut:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}$$

Di mana:

• $u_i$ adalah nilai fungsi pada titik grid $i$.
• $h$ adalah langkah atau interval grid dalam variabel $x$ atau $t$.
• $u_{i+1},u_{i-1}$ adalah nilai fungsi pada titik grid yang lebih besar dan lebih kecil dari $i$, masing-masing.

Contoh Penerapan:

Misalkan kita diberikan persamaan PDE sederhana untuk memodelkan perpindahan panas pada batang logam satu dimensi:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

Dengan kondisi awal dan batas:

• $u(x,0)=\sin (\pi x)$ untuk $0\le x\le 1$
• $u(0,t)=u(1,t)=0$

Langkah 1: Diskretisasi PDE menggunakan Metode Beda Hingga

Dengan mendiskretkan domain waktu dan ruang, kita memperoleh perbedaan terhingga untuk turunan waktu dan ruang. Untuk turunan waktu, kita gunakan rumus beda hingga pertama:

$$\frac{\partial u}{\partial t}\approx \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}$$

Sedangkan untuk turunan ruang, kita gunakan rumus beda hingga kedua:

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\approx \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$$

Dengan menggabungkan kedua diskretisasi, kita memperoleh rumus untuk menghitung nilai suhu pada waktu berikutnya $ t_{n+1} $:

$$u_i^{n+1}=u_i^n+\alpha \frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$$

Langkah 2: Iterasi untuk Menghitung Solusi

Misalkan kita tentukan parameter sebagai berikut:

• $\alpha =0.01$
• $\mathrm{\Delta }x=0.1$
• $\mathrm{\Delta }t=0.01$

Dengan kondisi awal $u(x,0)=\sin (\pi x)$ dan kondisi batas $u(0,t)=u(1,t)=0$, kita dapat menghitung nilai $u(x,t)$ pada langkah waktu berikutnya menggunakan rumus beda hingga di atas.

1.2.7 Pemodelan Stokastik

Bab ini membahas pemodelan stokastik, yang digunakan untuk merepresentasikan sistem yang mengandung ketidakpastian. Pemodelan stokastik sering kali digunakan untuk menggambarkan fenomena yang dipengaruhi oleh variabel acak. Metode-metode yang digunakan dalam pemodelan stokastik, seperti proses Markov dan simulasi Monte Carlo, memungkinkan kita untuk memprediksi dan menganalisis hasil dalam situasi yang tidak deterministik.

Beberapa penerapan pemodelan stokastik dalam industri pertambangan meliputi:

• ✅ Peramalan Cadangan Mineral → Menggunakan simulasi stokastik untuk memperkirakan ketidakpastian dalam estimasi cadangan mineral.
• ✅ Modeling Geostatistik → Menggunakan proses Markov atau simulasi Monte Carlo untuk memodelkan distribusi spasial mineral di dalam tanah.
• ✅ Optimasi Proses Tambang → Menggunakan pemodelan stokastik untuk merencanakan dan mengoptimalkan operasi tambang dengan mempertimbangkan ketidakpastian dalam parameter operasi.
• ✅ Simulasi Risiko → Menerapkan simulasi Monte Carlo untuk memperkirakan potensi risiko dalam proyek tambang, seperti fluktuasi harga bahan bakar atau biaya operasional.

Beberapa metode pemodelan stokastik yang sering digunakan dalam industri pertambangan meliputi:

• ✅ Proses Markov → Digunakan untuk memodelkan perubahan keadaan yang terjadi secara acak dalam sistem, seperti pergerakan kadar mineral atau kondisi peralatan tambang.
• ✅ Simulasi Monte Carlo → Teknik simulasi yang digunakan untuk mengevaluasi hasil ketidakpastian dalam perencanaan dan pengambilan keputusan di pertambangan, termasuk dalam estimasi cadangan dan analisis risiko.
• ✅ Metode Simulasi Discrete Event (DES) → Menggunakan simulasi berbasis waktu untuk menggambarkan proses yang terjadi dalam sistem yang melibatkan urutan kejadian acak.
• ✅ Model Proses Poisson → Digunakan untuk memodelkan kejadian acak dalam waktu atau ruang, seperti distribusi kejadian ledakan atau kecelakaan dalam operasi tambang.

Proses Markov adalah model stokastik di mana hasil masa depan hanya bergantung pada keadaan saat ini dan tidak pada sejarah sebelumnya. Dalam konteks pertambangan, ini dapat digunakan untuk memodelkan pergerakan kadar mineral atau status peralatan tambang yang berubah secara acak.

Rumus dasar untuk proses Markov adalah:

$$P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)=P_{ij}$$

Di mana:

• $X_n$ adalah keadaan sistem pada waktu langkah ke-n.
• $P_{ij}$ adalah probabilitas transisi dari keadaan $i$ ke keadaan $j$ pada satu langkah waktu.
• $P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ adalah probabilitas berada di keadaan $j$ pada langkah waktu ke-n+1, mengingat keadaan pada langkah waktu ke-n.

Simulasi Monte Carlo adalah metode stokastik yang digunakan untuk menghitung hasil dari sebuah model yang memiliki ketidakpastian atau variabel acak dengan melakukan simulasi berulang. Dalam konteks pertambangan, Monte Carlo sering digunakan untuk memperkirakan distribusi cadangan mineral atau risiko operasi tambang.

Rumus dasar untuk simulasi Monte Carlo adalah:

$$Y=f(X_1,X_2,...,X_n)$$

Di mana:

• $Y$ adalah hasil yang ingin diprediksi (misalnya, estimasi cadangan mineral).
• $X_1,X_2,...,X_n$ adalah variabel acak yang mempengaruhi hasil, yang dipilih berdasarkan distribusi probabilitas tertentu.
• $f(X_1,X_2,...,X_n)$ adalah fungsi yang menggambarkan hubungan antara variabel acak dan hasil yang ingin dihitung.

Dengan mengulang simulasi ini ribuan atau jutaan kali, kita dapat memperoleh distribusi hasil yang memperhitungkan ketidakpastian dalam model.

Contoh Penerapan:

Misalkan kita ingin memperkirakan estimasi cadangan mineral di sebuah tambang dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. Dalam hal ini, kita dapat mendefinisikan variabel acak seperti kadar mineral, kedalaman lapisan bijih, dan volume bahan baku yang tersedia.

Langkah 1: Tentukan variabel acak dan distribusi probabilitas

Misalnya:

• $X_1$ adalah kadar mineral, yang mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 5% dan deviasi standar 1%.
• $X_2$ adalah kedalaman lapisan bijih, yang mengikuti distribusi uniform antara 50m dan 150m.
• $X_3$ adalah volume bahan baku, yang mengikuti distribusi lognormal dengan rata-rata 100.000 ton dan deviasi standar 20.000 ton.

Langkah 2: Tentukan fungsi hubungan

Fungsi untuk memperkirakan cadangan mineral dapat berupa:

$$Y=X_1\times X_2\times X_3$$

Langkah 3: Lakukan simulasi Monte Carlo

Simulasikan ribuan atau juta-an kombinasi nilai untuk $X_1,X_2,$ dan $X_3$ berdasarkan distribusi probabilitas yang telah ditentukan. Hitung hasil $Y$ pada setiap simulasi dan kumpulkan hasilnya untuk memperoleh distribusi cadangan mineral yang dapat digunakan untuk analisis lebih lanjut.

1.2.8 Pemodelan Regresi

Bab ini membahas teknik regresi dalam analisis data, yang digunakan untuk memprediksi hubungan antara variabel. Regresi banyak digunakan di berbagai bidang seperti ekonomi, ilmu sosial, kedokteran, dan bahkan industri pertambangan untuk memperkirakan variabel yang tidak dapat diukur langsung berdasarkan variabel yang dapat diukur.

Metode regresi memungkinkan kita untuk membangun model yang menggambarkan hubungan antara satu atau lebih variabel bebas dengan variabel terikat. Dua metode yang paling umum digunakan adalah regresi linear dan regresi non-linear, serta regresi berganda yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas.

Beberapa penerapan regresi dalam industri pertambangan meliputi:

• ✅ Estimasi Kandungan Mineral → Menggunakan regresi untuk memodelkan hubungan antara kedalaman pengeboran dan kadar mineral di suatu area.
• ✅ Peramalan Produksi → Menggunakan regresi untuk memprediksi produksi tambang berdasarkan variabel seperti jumlah tenaga kerja, kecepatan peralatan, dan kondisi geologi.
• ✅ Analisis Kinerja Peralatan → Menggunakan regresi untuk memprediksi masa pakai peralatan tambang berdasarkan faktor-faktor seperti usia, pemeliharaan, dan beban operasional.
• ✅ Penentuan Biaya Operasional → Menggunakan regresi untuk memodelkan hubungan antara faktor-faktor ekonomi dan biaya operasional dalam proses pertambangan.

Jenis-jenis Regresi:

• ✅ Regresi Linear → Digunakan untuk memodelkan hubungan linier antara satu variabel bebas dengan variabel terikat.
• ✅ Regresi Non-linear → Digunakan untuk memodelkan hubungan yang tidak mengikuti pola linier.
• ✅ Regresi Berganda → Digunakan untuk memodelkan hubungan antara lebih dari satu variabel bebas dan variabel terikat.

Regresi linear adalah metode yang digunakan untuk memodelkan hubungan linier antara variabel independen $x$ dan variabel dependen $y$. Model regresi linear mengikuti rumus:

$$y=a+bx$$

Di mana:

• $y$ adalah variabel terikat (dependent variable),
• $x$ adalah variabel bebas (independent variable),
• $a$ adalah konstanta (intercept),
• $b$ adalah koefisien regresi (slope), yang menunjukkan seberapa besar perubahan $y$ terkait dengan perubahan $x$.

Regresi berganda digunakan untuk memodelkan hubungan antara lebih dari satu variabel bebas dan variabel terikat. Bentuk umum dari regresi berganda adalah:

$$y=a+b_1{x}_1+b_2{x}_2+\cdots +b_n{x}_n$$

Di mana:

• $y$ adalah variabel terikat,
• $x_1,x_2,...,x_n$ adalah variabel bebas,
• $b_1,b_2,...,b_n$ adalah koefisien regresi untuk setiap variabel bebas, yang menunjukkan pengaruh masing-masing variabel terhadap $y$.

Misalkan kita memiliki data hubungan antara jumlah tenaga kerja (x) dan jumlah produksi (y) di sebuah tambang.

Jumlah Tenaga Kerja (x)	Jumlah Produksi (y)
50	200
60	250
70	300
80	350

Kita ingin memodelkan hubungan antara jumlah tenaga kerja dan jumlah produksi menggunakan regresi linear.

Langkah 1: Tentukan rumus regresi

Rumus regresi linear adalah:

$$y=a+bx$$

Di mana $a$ adalah intercept dan $b$ adalah koefisien regresi yang menunjukkan hubungan antara x dan y.

Langkah 2: Hitung koefisien regresi

Menggunakan metode least squares, kita dapat menghitung nilai $a$ dan $b$. Untuk contoh ini, mari kita anggap kita sudah menghitung dan memperoleh hasil:

• $a=100$
• $b=3$

Langkah 3: Gunakan model untuk prediksi

Jika kita ingin memprediksi jumlah produksi untuk 90 tenaga kerja, kita dapat menggunakan rumus regresi yang telah dihitung:

$$y=100+3(90)=100+270=370$$

Jadi, jumlah produksi yang diprediksi dengan 90 tenaga kerja adalah 370.

1.3 Sasaran Pembaca

Buku ini ditujukan bagi mahasiswa, peneliti, dan praktisi yang ingin memahami metode numerik dan pemodelan matematika secara lebih mendalam. Diharapkan setelah membaca buku ini, pembaca dapat menerapkan berbagai metode yang telah dipelajari dalam berbagai kasus nyata, baik dalam penelitian akademik maupun dalam dunia industri.

1.4 Struktur Buku

Setiap bab dalam buku ini dilengkapi dengan:

• ✅ Penjelasan Teoritis: Konsep dasar dan teori yang mendasari metode yang dibahas dengan ilustrasi dan penjelasan mendalam.
• ✅ Algoritma dan Implementasi: Langkah-langkah numerik serta implementasi dalam bahasa pemrograman Python.
• ✅ Contoh Kasus dan Aplikasi: Studi kasus nyata yang menggambarkan bagaimana metode tersebut digunakan dalam berbagai bidang, termasuk rekayasa, keuangan, dan sains data.
• ✅ Latihan dan Soal: Sejumlah soal latihan untuk menguji pemahaman pembaca serta solusi yang dapat membantu memperjelas konsep yang telah dipelajari.