Rozdział 1 Stopy zwrotu

1.1 Stopy zwrotu – definicje

1.1.1 Stopa zwrotu brutto

Stopa zwrotu brutto (total return) to stosunek zrealizowanego przychodu \(X_1\) do poniesionego nakładu \(X_0\). W tym skrypcie oznaczamy ją za pomocą wielkiej “pisanej” litery \(\boldsymbol{\mathcal{R}}\).

\[\begin{equation} \boldsymbol{\mathcal{R}} = \frac{X_1}{X_0} \tag{1.1} \end{equation}\]

W przypadku inwestycji w akcje stopę zwrotu brutto za okres \(t\) wyznacza się na podstawie ceny akcji \(P_{t-1}\) na początku okresu i ceny \(P_t\) na końcu okresu oraz dywidendy \(D_t\) wypłacanej na koniec okresu:

\[\begin{equation} \boldsymbol{\mathcal{R}}_t = \frac{P_t+D_t}{P_{t-1}} \tag{1.2} \end{equation}\]

Warto zauważyć, że jest w pewnym stopniu tak definiowana stopa zwrotu z akcji jest teoretyczna, ponieważ:

  • można ją obliczyć nawet wtedy, jeżeli transakcji nie dokonaliśmy (np. nie sprzedaliśmy kupionej akcji),
  • nie uwzględnia ona kosztów transakcyjnych (np. prowizji za zakup i sprzedaż akcji),
  • dywidenda wypłacana jest z datą późniejszą niż data jej przyznania.

Stopa zwrotu brutto za ostatnich \(k\) okresów to iloczyn \(k\) jednookresowych stóp brutto (od momentu \(t-k\) do momentu \(t\)):

\[\begin{equation} \boldsymbol{\mathcal{R}}_t(k) = \boldsymbol{\mathcal{R}}_t\cdot\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-1}\cdot\cdot\cdot\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-k+1} \tag{1.3} \end{equation}\]

Jeżeli w badanym okresie nie ma dywidend, taka definicja wielookresowej stopy zwrotu ma łatwe uzasadnienie:

\[\begin{equation} \boldsymbol{\mathcal{R}}_t(k) = \boldsymbol{\mathcal{R}}_t\cdot\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-1}\cdot\cdot\cdot\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-k+1} = \left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)\cdot\left(\frac{P_{t-1}}{P_{t-2}}\right)\cdot\cdot\cdot\left(\frac{P_{t-k+1}}{P_{t-k}}\right)=\frac{P_t}{P_{t-k}}, \tag{1.4} \end{equation}\]

jeśli natomiast w trakcie okresu pojawiają się dywidendy, taki wzór zakłada, że są one niezwłocznie inwestowane:

\[\begin{equation} \begin{split} \boldsymbol{\mathcal{R}}_t(k) = \boldsymbol{\mathcal{R}}_t\cdot\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-1}\cdot\cdot\cdot\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-k+1} = \\ \left(\frac{P_t+D_t}{P_{t-1}}\right)\cdot\left(\frac{P_{t-1}+D_{t-1}}{P_{t-2}}\right)\cdot\cdot\cdot\left(\frac{P_{t-k+1}+D_{t-k+1}}{P_{t-k}}\right). \end{split} \tag{1.5} \end{equation}\]

1.1.2 Stopa zwrotu netto

Stopa zwrotu netto (rate of return) to stosunek zrealizowanego dochodu (zysku) do poniesionego nakładu.

\[\begin{equation} R = \frac{X_1-X_0}{X_0} \tag{1.6} \end{equation}\]

W przypadku inwestycji w akcje, analogicznie do równania (1.2):

\[\begin{equation} R_t = \frac{P_t+D_t-P_{t-1}}{P_{t-1}} \tag{1.7} \end{equation}\]

Powiązanie pomiędzy obiema stopami zwrotu jest oczywiste: \[\begin{equation} \boldsymbol{\mathcal{R}} = 1+R \tag{1.8} \end{equation}\]

Wielookresowa prosta stopa zwrotu netto zwykle zakłada, że dywidendy są natychmiast reinwestowane w daną akcję:

\[\begin{equation} R_t(k) = \boldsymbol{\mathcal{R}}_t(k) - 1 = \left(\frac{P_t+D_t}{P_{t-1}}\right)\cdot\left(\frac{P_{t-1}+D_{t-1}}{P_{t-2}}\right)\cdot\cdot\cdot\left(\frac{P_{t-k+1}+D_{t-k+1}}{P_{t-k}}\right) - 1 \tag{1.9} \end{equation}\]

W języku codziennym, jak i w profesjonalnym języku finansistów, fakt, że mówimy o stopie zwrotu brutto lub netto, można wywnioskować na podstawie kontekstu. Na przykład “inwestycja przyniosła trzykrotny zwrot” oznacza, że stopa zwrotu brutto \(\boldsymbol{\mathcal{R}}\) = 3 (stopa netto \(R\) = 2), zaś “mieliśmy 20-procentowy zwrot z inwestycji” oznacza, że prosta stopa netto \(R\) = 0,2 (stopa brutto \(\boldsymbol{\mathcal{R}}\) = 1,2).

1.1.3 Logarytmiczna stopa zwrotu

Logarytmiczna stopa zwrotu (log return), inaczej zwana stopą zwrotu przy kapitalizacji ciągłej, oznaczana w tym skrypcie przez \(r\) może być zdefiniowana następująco:

\[\begin{equation} r_t = \ln(\boldsymbol{\mathcal{R}}_t) = \ln(1+R_t) \tag{1.10} \end{equation}\]

W przypadku braku dywidend:

\[\begin{equation} r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)=\ln P_t-\ln P_{t-1} \tag{1.11} \end{equation}\]

Jeżeli stopy zwrotu są względnie niskie, na przykład w przedziale \((-0{,}2; 0{,}2)\), to wartości stopy logarytmicznej i prostej stopy zwrotu netto są zbliżone.

Zaletą stóp logarytmicznych jest prosta zależność pomiędzy jednookresowymi i wielookresowymi stopami zwrotu:

\[\begin{equation} \begin{split} r_t(k) & = \ln\left(\boldsymbol{\mathcal{R}}_t(k)\right) = \ln(\boldsymbol{\mathcal{R_t}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-1}\cdot\cdot\cdot\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-k+1})=\\ &= \ln(\boldsymbol{\mathcal{R}}_t) + ln(\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-1}) + \cdot\cdot\cdot + \ln(\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-k+1})=\\ & =r_t + r_{t-1} + \cdot\cdot\cdot + r_{t-k+1} \end{split} \tag{1.12} \end{equation}\]

Jeżeli mamy dane logarytmiczne stopy zwrotu, możemy uzyskać stopy proste:

\[\begin{equation} \boldsymbol{\mathcal{R}} = e^r \\ R = e^r-1 \tag{1.13} \end{equation}\]

1.1.4 Indeksy

Indeksy są zdefiniowane dla zestawu papierów (akcji) \(j = 1, ..., n\) na podstawie pewnego sposobu ważenia \(\{w_{jt}\}\), który w ogólności zmienia się w czasie.

\[\begin{equation} I_t = \sum_{j=1}^{n}w_{jt}P{jt} \tag{1.14} \end{equation}\]

Na przykład, jeżeli \(w_{jt} = 1/n\), to indeks jest “indeksem o wagach równych”. Mamy również indeksy ważone ceną i kapitalizacją (https://en.wikipedia.org/wiki/Stock_market_index).

1.2 Hipotezy dotyczące dni handlu

Hipoteza czasu handlu. Wyceny aktywów zmieniają się tylko podczas handlu na giełdzie, więc zwroty są generowane tylko wtedy, gdy odbywa się handel.

Hipoteza czasu kalendarzowego. Wyceny aktywów zmieniają się w sposób ciągły, a zwroty są generowane w czasie kalendarzowym.

Co się dzieje w weekendy według tych dwóch hipotez?

1.3 Margin trading (Handel z wykorzystaniem depozytu zabezpieczającego)

https://bossa.pl/edukacja/kontrakty-opcje/kontrakty-terminowe/depozyty

Wstępny depozyt zabezpieczający to stosunek początkowej gotówki (lub jej równowartości) na rachunku depozytowym do wartości zakupu papierów wartościowych. Na przykład Rezerwa Federalna wymaga 50% (https://www.investopedia.com/terms/i/initialmargin.asp) – brokerzy oczywiście mogą nałożyć wyższe wymogi.

Właściwy depozyt zabezpieczający (tzw. wymagany depozyt utrzymania) to minimalny wymagany stosunek środków pieniężnych na rachunku zabezpieczającym (lub ich równowartości) do bieżącej wartości rynkowej papierów wartościowych. Depozyt służy jako bufor chroniący brokera przed stratami. Gdy spadnie poniżej poziomu utrzymania, inwestor otrzymuje wezwanie do uzupełnienia depozytu zabezpieczającego z prośbą o zdeponowanie dodatkowej gotówki lub likwidację niektórych papierów wartościowych. Jeśli to nie nastąpi, broker jest upoważniony do przywrócenia spełnienia wymogów depozytu zabezpieczającego tą drugą metodą.

Dźwignia implikowana przez depozyt zabezpieczający (inaczej: dźwignia finansowa lub finansowanie dłużne transakcji) powoduje, że zwiększa się zmienność i ryzyko, tj. wzrasta zarówno potencjał zwrotu w górę, jak i w dół.

1.4 Krótka sprzedaż

Przy zwykłym inwestowaniu (pozycjach długich), inwestor chciałby kupować tanio i sprzedawać drogo – czyli zarabiać na wzrostach cen. W przypadku krótkiej sprzedaży inwestor pożycza papier wartościowy (zaciąga dług wyrażony ilością pożyczonych papierów), mając nadzieję, że sprzeda drogo, a potem odkupi tanio, tym samym zarabiając na spadku cen. Można na to spojrzeć, jak na zaciąganie długu oprocentowanego stopą będącą stopą zwrotu danego papieru wartościowego – inwestor zaciągający krótką pozycję chciałby, żeby ta stopa zwrotu była jak najniższa, najlepiej ujemna.

Papiery wartościowe pożycza się od brokera. Zajmujący krótką pozycję mogą ją zamknąć w każdym momencie, odkupując papier wartościowy (oraz pokrywając opłaty i dywidendy).

W przypadku krótkiej sprzedaży również obowiązuje utrzymywanie odpowiednich depozytów.

1.5 Zadania

Zadanie 1.1 W biblijnej przypowieści o talentach trzech sług dostało: pierwszy – pięć talentów, drugi – dwa talenty, trzeci – jeden talent. Dwóch pierwszych podwoiło stan posiadania, trzeci – ukrył i oddał jeden talent. Jakie stopy zwrotu brutto \(\boldsymbol{\mathcal{R}}\) i netto \(R\) osiągnęli? Jaka była łączna stopa zwrotu właściciela majątku? Ile wyniosłyby stopy zwrotu brutto i netto trzeciego sługi, gdyby na czas nieobecności właściciela oddał pieniądze na procent (20% za cały okres) bankierom?

Zadanie 1.2 Pokaż na wykresie, że logarytmiczna stopa zwrotu jest zbliżona do prostej stopy zwrotu netto dla wartości tej drugiej pomiędzy -0,2 i 0,2.

Zadanie 1.3 Cena w momencie \(t_0\) wynosi \(P_0=100\). Ile wynosi cena \(P_2\), jeżeli (przy braku dywidend):

  1. \(R_1\) = 0,1 (10%), \(R_2\) = -0,1 (-10%)

  2. \(r_1\) = 0,1, \(r_2\) = -0,1

Zadanie 1.4 (Ruppert and Matteson 2015) Załóżmy, że kurs pewnej akcji w momencie 1, 2 i 3 wynosił \(P_1\)=95, \(P_2\)=103 i \(P_3\) = 98. Znajdź \(r_3(2)\).

Zadanie 1.5 (Ruppert and Matteson 2015) Ceny akcji i dywidendy pewnej spółki zostały podane w poniższej tabeli.

  1. Ile wynosi \(R_2\)?

  2. Ile wynosi \(R_4(3)\)?

  3. Ile wynosi \(r_3\)?

\(t\) \(P_t\) \(D_t\)
1 52 0.20
2 54 0.20
3 53 0.20
4 59 0.25

Zadanie 1.6 Wyznacz logarytmiczną stopę zwrotu \(r_1\), prostą stopę zwrotu brutto \(\boldsymbol{\mathcal{R}}_1\) i prostą stopę zwrotu netto \(R_1\), jeżeli:

  1. \(R_1\) = 0,1

  2. \(R_1\) = -20%

  3. \(r_1\) = 0,1

  4. \(r_1 = 0{,}9\)

  5. \(\boldsymbol{\mathcal{R}}_1=0{,}9\)

  6. \(\boldsymbol{\mathcal{R}}_1=0{,}99\)

Zadanie 1.7 (Linton 2019) Załóżmy, że wymagany wstępny depozyt zabezpieczający wynosi 50%, wymagany depozyt utrzymania wynosi 25%. Inwestor kupuje 100 akcji, każda po 100 USD, czyli płaci 10 tys. USD, przy czym 4 tys. USD pożycza od brokera. Wynika z tego, że wkład własny (kapitał własny) inwestycji to 6 tysięcy złotych.

  1. Ile wynosi rzeczywisty wstępny depozyt zabezpieczający? Czy jest on powyżej wymaganego poziomu?

  2. Gdyby cena akcji spadła do 70 USD, ile wyniósłby kapitał własny inwestycji? Ile wyniósłby rzeczywisty procentowy depozyt utrzymania w takiej sytuacji? Czy byłby on powyżej wymaganego poziomu?

  3. Przy jakiej cenie nastąpiłby “margin call” (wezwanie do uzupełnienia depozytu)?

  4. Przy jakiej cenie kapitał własny inwestycji byłby ujemny (broker poniósłby stratę, w przypadku nie podjęcia działań zabezpieczających)?

  5. Oprocentowanie pożyczki wynosi 5%, cena w momencie sprzedaży jest wyższa od początkowej o 20%. Ile wynosi stopa zwrotu z inwestycji?

  6. Jeżeli cena w momencie sprzedaży jest niższa od początkowej o 20%. Ile wynosi stopa zwrotu z inwestycji?

Zadanie 1.8 (Linton 2019) Inwestorka pożycza 100 akcji od brokera, a następnie sprzedaje krótko akcje po cenie 100 USD za akcję, co oznacza, że na jej rachunek trafia 10000 USD. Dodatkowo, żeby spełnić wymóg wstępnego depozytu zabezpieczającego w wysokości 50%, inwestorka dodatkowo musi złożyć w depozycie gotówkę lub papiery wartościowe (np. bony skarbowe) o wartości przynajmniej 5000 USD, co oznacza, że na rachunku ma 15 tys. USD.

Jaki będzie zysk inwestorki, z pominięciem opłat, jeżeli w momencie zamknięcia pozycji cena jednej akcji będzie wynosić 75 USD?

Jaka będzie stopa zwrotu?

Przy jakiej cenie akcji nastąpi wezwanie do uzupełnienia depozytu zabezpieczającego (margin call), jeżeli wymagany depozyt utrzymania to 30%?

Literatura

Linton, Oliver. 2019. Financial Econometrics: Models and Methods. Cambridge NewYork, NY Port Melbourne, VIC New Dehli Singapore: Cambridge University Press.
Ruppert, David, and David S. Matteson. 2015. Statistics and Data Analysis for Financial Engineering: With r Examples. 2nd ed. 2015 edition. New York Heidelberg Dordrecht London: Springer.