Rozdział 3 Przykłady prostych modeli ekonometrii finansowej
3.1 Model jednoczynnikowy
Model jednoczynnikowy (jednowskaźnikowy, jednoindeksowy) to uproszczony model do analizy stóp zwrotu. Model taki zakłada, że zmienność stóp zwrotu jest determinowana przez jeden główny czynnik, którego odzwierciedleniem są zwykle stopy zwrotu indeksu giełdowego.
3.1.1 Indeks jako zmienna objaśniająca
W praktyce często model jednoczynnikowy to model, w którym stopy zwrotu \(R_A\) danego instrumentu (np. akcji danej spółki) są zmienną objaśnianą, zaś zmienna objaśniającą są stopy zwrotu \(R_M\) wybranego indeksu giełdowego:
\[R_A = \alpha + \beta_A R_M + \varepsilon \tag{3.1}\]
Stopy zwrotu w tym modelu mogą być zarówno stopami prostymi (netto), jak i stopami logarytmicznymi. Parametr \(\beta_A\) lub jego oszacowanie oznaczane symbolem \(\widehat{\beta}_A\) nazywa się betą danego aktywa. Jak się wydaje, w ten sposób wyznaczane są bety poszczególnych akcji na portalu Yahoo Finance.
3.1.2 Model CAPM
Modelem jednoczynnikowym jest również model CAPM. Przedstawia się go najczęściej w następującej postaci:
\[\mathbb{E}(R_A) = R_F + \beta_A (\mathbb{E}(R_M) - R_F) \tag{3.2}\]
Szacowanie parametru \(\beta_A\) tego przeprowadza się często na bazie następującego równania:
\[R_A - R_F = \alpha_A + \beta_A (R_M - R_F) + \varepsilon \tag{3.3}\]
Zmienną objaśnianą jest tutaj \(R_A - R_F\) (nadwyżka stopy zwrotu danego aktywa nad stopą zwrotu wolną od ryzyka), zaś zmienną objaśniającą \(R_M - R_F\), czyli nadwyżka rynkowej stopy zwrotu na aktywem wolnym od ryzyka (tzw. premia za ryzyko rynkowe).
3.1.3 Testowanie modelu CAPM
Testując model CAPM, zwykle zakłada się, że stopa zwrotu z bonów pieniężnych (treasury bills) stanowi stopę zwrotu wolną od ryzyka \(R_F\), zaś stopa zwrotu z głównego indeksu giełdowego odzwierciedla rynkową stopę zwrotu \(R_M\).
Jeżeli model CAPM dobrze oddaje rzeczywistość,
\(\alpha_A\) dla danego aktywa lub portfela powinna być równa zero, co można sprawdzić, budując model na bazie równania (3.3);
korelacja cząstkowa między pomniejszonymi o \(R_F\) stopami zwrotu różnych aktywów po wyeliminowaniu wpływu premii za ryzyko rynkowe powinna być nieistona statystycznie;
nie będzie możliwe znalezienie innych niż premia za ryzyko rynkowe czynników, które tłumaczą zmienność wielu aktywów.
3.2 Trzyczynnikowy model Famy-Frencha
Eugene Fama i Kenneth French wprowadzili trójczynnikowy model, który można zapisać w następujący sposób
\[E(R_A) = R_F + \beta_A(R_M-R_F)+b_{s,A}\cdot\mathit{SMB}+b_{v,A}\cdot\mathit{HML}+\alpha_A\].
W powyższym wzorze pojawia się \(\beta_A\), który jest podobny do współczynnika beta w modelu CAPM, ponieważ pokazuje wrażliwość danego aktywa na zmiany premii za ryzyko rynkowe. Poza premią za ryzyko rynkowe w modelu pojawiają się także inne czynniki systematyczne:
SMB to skrót od „Small Minus Big” („mała minus duża” kapitalizacja rynkowa) - wartość tego czynnika jest wyznaczana poprzez obliczenie różnicy między stopami zwrotu spółek o małej i dużej kapitalizacji;
HML to skrót od „High Minus Low” („wysoki minus niski” stosunek wartości księgowej do kapitalizacji) - wartość tego czynnika jest wyznaczana poprzez obliczenie różnicy między stopami zwrotu spółek o wysokim i niskim stosunku wartości księgowej do kapitalizacji;
Podobnie jak \(\beta_A\) jest miarą wrażliwości zwrotów na zmiany premii rynkowej, tak współczynniki \(b_{s,A}\) i \(b_{v,A}\) mierzą wrażliwość na zmienność SMB i HML.