Kapitel 7 Mechanische Bewegungsgleichungen

Ein elektrischer Antrieb fungiert schlussendlich als elektromechanischer Energiewandler, dessen Aufgabe darin besteht elektrische Energie möglichst verlustlos in mechanische Energie umzuwandeln. Die mechanische Energie kann dabei durch Drehmomente und Drehzahlen mathematisch beschrieben werden. Unter Berücksichtigung der Vorzeichen dieser zwei physikalischen Grössen, ergeben sich vier verschiedene Betriebszustände, die wiederum in einer Drehmoment-Drehzahl-Ebene dargestellt werden können.

Die vier Quadranten der Drehmoment-Drehzahl-Ebene

Abbildung 7.1: Die vier Quadranten der Drehmoment-Drehzahl-Ebene

Wird hierbei das Verbraucherzählpfeilsystem angewandt, welches sich dadurch auszeichnet, dass bei positiven Leistungswerten eine Leistungsabgabe an die Last erfolgt, dann können Betriebspunkte, die sich sowohl im ersten als auch im dritten Quadranten befinden als motorische Betriebszustände (Leistungsaufnahme der Last) betrachtet werden. Betriebspunkte im zweiten und vierten Quadranten hingegen werden als generatorische Betriebszustände (Leistungsabgabe der Last) betrachtet. Die mechanische Leistung ergibt sich, je nach Art der Bewegung (Rotation oder Translation) aus dem Produkt von Kraft und Geschwindigkeit bzw. dem Produkt aus Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit \(\omega\).

\[ P_{mech} = F\cdot v = M\cdot \omega = M\cdot 2\pi\cdot n \]

7.1 Grundgleichungen

Die Aufgabe eines lektrischen Antriebes besteht darin Kräfte bzw. Drehmomente zu erzeugen, um Massen oder Trägheitsmomente zu beschleunigen.

Kräfteverhältnisse bei der translatorischen Bewegung

Abbildung 7.2: Kräfteverhältnisse bei der translatorischen Bewegung

Wie in Abbildung 7.2 dargestellt wirkt eine antreibende Kraft \(F\) auf eine Masse \(m\) und beschleunigt diese. Die Summe aller Kräfte muss laut Newtonschem Grundgesetz null ergeben.

\[ \sum_{i}{F_{i}} = F-m\cdot a-F_{Reib}\cdot v = F-m\cdot \dot{v}-\mu_{Reib}\cdot v \]

Der Faktor \(\mu_{Reib}\) repräsentiert dabei einen Reibkoeffizienten, der eine geschwindigkeistproportionale Reibkraft erzeugt. Somit führt diese Gleichung zu einer Differentialgleichung erster Ordnung zur Beschreibung des Systemverhaltens.

\[ F=m\cdot \dot{v}+\mu_{Reib}\cdot v \]

Ein ähnliches Bild ergibt sich bei der Betrachtung der rotatorischen Bewegung (siehe Abbildung 7.3). Ein Körper mit einem Trägheitsmoment \(J\) erfährt eine Beschleunigung durch das antreibende Drehmoment \(M\).

Momentenverhältnisse bei der rotatorischen Bewegung

Abbildung 7.3: Momentenverhältnisse bei der rotatorischen Bewegung

In diesem Fall muss die Summe aller Drehmomente null ergeben.

\[ \sum_{i}{M_{i}} = M-J\cdot \alpha-M_{Reib}\cdot v = M-J\cdot \dot{\omega}-\mu_{Reib}\cdot \omega \]

Es ergibt sich auch für diesen Fall eine systembeschreibende DGL erster Ordnung.

\[ M=J\cdot \frac{d\omega}{dt}+\mu_{Reib}\cdot \omega \]

7.1.1 Lösung der Bewegungsgleichung im Zeitbereich

Diese DGL lässt sich, für den Fall eines konstanten Drehmomentes, durch die Methode zur Trennung der Variablen analytisch lösen.

\[ \frac{d\omega}{M-\mu_{Reib}\cdot \omega} = \frac{dt}{J} \]

Dadurch können beide Seiten der Gleichung integriert werden, was eine, bis auf die Konstante \(c\) eindeutige Lösung liefert.

\[ \int{\frac{d\omega}{M-\mu_{Reib}\cdot \omega}} = \int{\frac{dt}{J} + c} \]

\[ -\frac{1}{\mu_{Reib}}\cdot \ln(M-\mu_{Reib}\cdot \omega) = \frac{t}{J}+c \]

\[ \ln(M-\mu_{Reib}\cdot \omega)) = -t\frac{\mu_{Reib}}{J}-\mu_{Reib}\cdot c \]

Der natürliche Logarithmus kann durch beidseitige Anwendung der inversen Funktion (e-Funktion) aufgelöst werden.

\[ M-\mu_{Reib}\cdot \omega = e^{-t\frac{\mu_{Reib}}{J}-\mu_{Reib}\cdot c} \] Da die Eingangsrösse des mechanischen Systems durch das Drehmoment \(M\) und die Ausgangsgrösse durch die Drehzahl \(\omega\) repräsentiert wird, ist es sinnvoll die Gleichung nach \(\omega\) umzustellen.

\[ \omega=\frac{M}{\mu_{Reib}}-e^{-t\frac{\mu_{Reib}}{J}}\cdot \frac{e^{-\mu_{Reib}\cdot c}}{\mu_{Reib}}=\frac{M}{\mu_{Reib}}-x\cdot e^{-t\frac{\mu_{Reib}}{J}} \]

Die Konstante \(x\) kann bestimmt werden, indem der Anfangswert für \(\omega\) null gesetzt wird (\(\omega(t=0)=0\)).

\[ \omega(t=0)=0=\frac{M}{\mu_{Reib}}-x \]

Somit kann die eindeutige Lösung der DGL angeben.

\[ \omega = \frac{M}{\mu_{Reib}} \biggl(1-e^{-t\frac{\mu_{Reib}}{J}}\biggr) = \frac{M}{\mu_{Reib}} \biggl(1-e^{\frac{-t}{T_{mech}}}\biggr) \]

Der Faktor \(\frac{J}{\mu_{Reib}}\) wird dabei als mechanische Zeitkonstante \(T_{mech}\) bezeichnet, da dieser Faktor die Dimension der Zeit aufweist.

\[ \biggl[\frac{J}{\mu_{Reib}} \biggr] = \frac{kg\cdot m^{2}}{Nm\cdot s} = \frac{kg\cdot m^{2}}{\frac{kg\cdot m^{2}}{s}} = s \]

Abbildung 7.4 zeigt die Sprungantwort des mechanischen Systems für verschiedene Trägheitsmomente bei einem Faktor \(\frac{M}{\mu_{Reib}}=1\).

Qualitativer Drehzahlverlauf bei einem Drehmomentsprung und unterschiedlichem Trägheitsmoment (Anfangswert null)

Abbildung 7.4: Qualitativer Drehzahlverlauf bei einem Drehmomentsprung und unterschiedlichem Trägheitsmoment (Anfangswert null)

Wie die Abbildung zeigt, ist das zeitliche Verhalten des Drehzahlverlaufes vom Trägheitsmoment abhängig. Die anfängliche Steigung der Drehzahl kann über die Ableitung der Drehzahlgleichung bestimmt werden.

\[ \frac{d\omega}{dt} = \frac{M}{\mu_{Reib}\cdot T_{mech}} = \frac{M}{J} \]

Der Endwert der Drehzahl hingegen wird nur vom Reibkoeffizienten \(\mu_{Reib}\) beeinflusst. Durch Messung der Sprungantwort lässt sich somit sowohl das Trägheitsmoment als auch der Reibkoeffizient bestimmen.

7.1.2 Systemtheoretische Betrachtung

In der Regelungstechnik wird zur Lösung von DGL und zur Beurteilung verschiedenen Systemverhaltens häufig die Laplace-Transformation herangezogen. Auch bei der mechanischen Grundgleichung ist dieser Ansatz zielführend. Ausgehend von der DGL

\[ M=J\cdot \frac{d\omega}{dt}+\mu_{Reib}\cdot \omega \]

kann eine einfache Überführung in den Laplacebereich erfolgen.

\[ M(s)=J(s\cdot\omega(s)-\omega_{0})+\mu_{Reib}\cdot \omega(s) \]

Wird auch hier der Anfangswert \(\omega_{0}=\omega(0)\) null gesetzt, kann die Gleichung weiter umgeformt werden und liefert die Darstellung der DGL im Laplacebereich.

\[ \omega(s) = \frac{M(s)}{\frac{J}{\mu_{Reib}}s+1} \]

Der Quotient

\[ G(s) = \frac{Ausgangsgrösse}{Eingangsgrösse} \]

liefert die Übertragungsfunktion \(G(s)\), die das statische und dynamische Verhalten des Systems im Laplace-Bereich beschreibt.

\[ G(s) = \frac{\omega(s)}{M(s)} = \frac{1}{\frac{J}{\mu_{Reib}}s+1} \]

Mit Hilfe der Übertragungsfunktion kann die Ausgangsgrösse \(X_{aus}(s)\), bei Kenntnis der Eingangsgrösse \(X_{ein}(s)\) berechnet werden (\(X_{aus}(s)=G(s)\cdot X_{ein}(s)\)).

Die Übertragungsfunktion des betrachteten mechanischen Systems beschreibt somit ein Verzögerungsglied erster Ordnung, was das Verhalten, welches in Abbildung 7.4 dargestellt ist, bestätigt.