8  พันธบัตรและอัตราผลตอบแทน (Bonds and Yield Rates)

Importantหมายเหตุ

ก่อนเริ่มการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วยซิมไพ ขอให้ผู้อ่านทำการเรียกใช้คำสั่งดังต่อไปนี้ก่อน

from sympy import symbols, Eq, solve

เพื่อจะได้ไม่ต้องเรียกใช้งานทุกครั้ง

พันธบัตรเป็นตราสารหนี้ที่ผู้ออกให้คำมั่นว่าจะจ่ายดอกเบี้ยเป็นงวดๆ และจ่ายคืนเงินต้นเมื่อครบกำหนด ในบทนี้จะกล่าวถึงวิธีการคำนวณราคาพันธบัตร การตีความราคาที่สูงหรือต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และการหาอัตราผลตอบแทนที่แท้จริงเมื่อถือพันธบัตรจนครบกำหนด พันธบัตร เป็นคำที่ใช้กับรัฐเป็นผู้ออกตราสารหนี้นี้ ถ้าเป็นเอกชนจะเรียกว่าหุ้นกู้ (dedenture)

8.1 สูตรราคาพันธบัตร (Bond Price Formula)

แผนภาพสมการแห่งมูลค่า

สูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณราคาพันธบัตร $(P)$ คือ $$P=R\cdot a_{\bar{n}|i}+F\cdot v^n$$ โดยที่

• $P$ = ราคาปัจจุบันของพันธบัตร

• $R$ = จำนวนเงินคูปองที่จ่ายในแต่ละงวด

• $F$ = มูลค่าที่ตราไว้ (Face Value)

• $i$ = อัตราผลตอบแทน (ต่อหนึ่งงวด) เป็นอัตราดอกเบี้ยของตลาด

• $n$ = จำนวนงวดทั้งหมดจนกว่าจะครบกำหนด

• $v=\frac{1}{1+i}$

• $a_{\bar{n}|i}=\frac{1-v^n}{i}$ คือมูลค่าปัจจุบันของเงินงวด

ตัวอย่าง พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ 1,000 บาท จ่ายคูปอง 8% ต่อปี จ่ายทุก ครึ่งปี เท่ากับ $R=40$ บาท เป็นเวลา 10 ปี รวม 20 งวด ต้องการรู้ราคาพันธบัตรเมื่ออัตราผลตอบแทนคือ 9% ต่อปี (หรือ 4.5% ต่อครึ่งปี)

from sympy import symbols, Rational, N
i, n, v, F, P, R, a_n = symbols('i n v F P R a_n')
F = 1000
R = 40
i = 0.045
v = 1 / (1 + i)
a_n = (1 - v**n) / i
P = R * a_n + F * v**n
P_val = P.subs({n: 20})
P_val.evalf(5)

${\displaystyle 934.96}$

ราคาพันธบัตรนี้มีมูลค่าเท่ากับ 934.96 บาท

8.2 การขายแบบพรีเมียมและดิสเคานต์ (Premium and Discount)

ราคาของพันธบัตรขึ้นอยู่กับว่าอัตราคูปอง $r$ เทียบกับอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ $i$

• ถ้า $r>i$ $\to$ ขายที่พรีเมียม (ราคาสูงกว่ามูลค่าที่ตราไว้)

• ถ้า $r<i$ $\to$ ขายที่ดิสเคานต์ (ราคาต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้)

• ถ้า $r=i$ $\to$ ขายที่ Par Value (เท่ากับมูลค่าที่ตราไว้)

สูตรอีกแบบหนึ่งที่ช่วยวิเคราะห์ได้ $$P=F+(R-F\cdot i)\cdot a_{\bar{n}|i}$$ มาจากการเปรียบผลตอบแทนที่จะได้รับจากพันธบัตร เทียบกับการลงทุนได้รับจากดอกเบี้ย $i$

ถ้าลงทุนด้วยซื้อพันธบัตรที่ราคา $P$ จะมีแผนภาพตามรูปที่ผ่านมา และถ้าลงทุนด้วยเงิน $F$ บาทที่อัตราดอกเบี้ย $i$ เป็นเวลาเท่ากับการลงทุนในพันธบัตร จะมีแผนภาพดังนี้

เมื่อนำสมการแห่งมูลค่าทั้ง 2 มาลบกัน จะได้ $$\begin{array}{rl}P-F& =R\cdot a_{\bar{n}|i}+F\cdot v^n-iF\cdot a_{\bar{n}|i}-F\cdot v^n\\ P& =F+(R-iF)\cdot a_{\bar{n}|i}\end{array}$$

ซึ่งแสดงว่า ถ้า $R>Fi$ $\to$ ราคาจะสูงกว่ามูลค่าที่ตราไว้ (Premium)

8.3 อัตราผลตอบแทนเมื่อถือจนครบกำหนด (Yield to Maturity, YTM)

YTM คือ อัตราผลตอบแทนที่แท้จริงของผู้ถือพันธบัตร หากถือไว้จนถึงวันครบกำหนด โดยคำนวณจากสมการ $$P=R\cdot a_{\bar{n}|i}+F\cdot v^n$$ เหมือนเดิม แต่ว่าเราไม่ทราบอัตราดอกเบี้ย จึงต้องแก้สมการนี้เพื่อหาอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับจากมากกว่า เทียบเท่า หรือน้อย กว่าอัตราดอกเบี้ยในตลาด

เนื่องจากเป็นการแก้สมการพหุนามทำให้ $i$ จำนวนคำตอบได้สูงสุดเท่ากับจำนวนดีกรี จึงแนะนำให้รู้จัก อีกฟังก์ชันในซิมไพ คือnsolve()

from sympy import symbols, Eq, nsolve, N

i, v, a_n, F, R, P = symbols('i v a_n F R P')
v = 1 / (1 + i)
a_n = (1 - v**20) / i
P = 1000
R = 100
F = 1000
eq = Eq(P, R * a_n + F * v**20)
ytm = nsolve(eq, i, 0.07)
ytm.evalf(2)

${\displaystyle 0.1}$

Noteคำสั่้ง nsolve()

ในซิมไพฟังก์ชัน nsolve() ใช้สำหรับ หาคำตอบของสมการเชิงตัวเลข (numerical solution) ด้วยวิธีทางตัวเลข เช่น Newton-Raphson หรือ secant method ต่างจาก solve() ที่ใช้ วิธีเชิงสัญลักษณ์ (symbolic) ซึ่งอาจหาคำตอบไม่ได้ในบางกรณี

from sympy import symbols, Eq, nsolve
x = symbols('x')
eq = Eq(x**3 - 2*x - 5, 0)

# ใช้ค่าเริ่มต้น x = 2 ในการหาคำตอบเชิงตัวเลข
solution = nsolve(eq, x, 2)
solution.evalf(4)

${\displaystyle 2.095}$

ซึ่งเป็นคำตอบของ $x^3-2x-5=0$ โดยประมาณ

พารามิเตอร์

nsolve(f, symbol(s), guess)

ชื่อ	ความหมาย
f	สมการ หรือระบบสมการ
symbol(s)	ตัวแปรที่ต้องการหาคำตอบ (หนึ่งตัวหรือหลายตัว)
guess	ค่าเริ่มต้นในการเริ่มหาคำตอบ

ข้อควรระวัง

• nsolve() ใช้สำหรับสมการที่ไม่สามารถแก้เชิงสัญลักษณ์ได้ง่าย เช่น สมการพหุนามดีกรีสูง หรือสมการทรานส์เซนเดนทัล (มี $\exp ,\log ,\sin$, ฯลฯ)

• ต้องกำหนด “ค่าเริ่มต้น (initial guess)” ที่เหมาะสม มิฉะนั้นอาจหาคำตอบไม่ได้หรือได้ค่าที่ผิด

เปรียบเทียบกับ solve()

ฟังก์ชัน	วิธีการ	ผลลัพธ์
solve()	เชิงสัญลักษณ์	คำตอบในรูปสูตร
nsolve()	เชิงตัวเลข	ค่าประมาณเชิงทศนิยม

ข้อสังเกตุของพันธบัตรใกล้ครบกำหนด (Bonds Near Maturity)

เมื่อพันธบัตรใกล้ครบกำหนด

• มูลค่าปัจจุบันจะเข้าใกล้กับมูลค่าที่ตราไว้ $F$

• ราคาของพันธบัตรจะอ่อนไหวต่ออัตราคูปองและอัตราดอกเบี้ยน้อยลง

• ความต่างระหว่างราคาและ $F$ มักจะเล็กลง

8.4 แบบฝึกหัดท้ายบท

1. คำนวณราคาพันธบัตร (Bond Price) สร้างสมการราคาพันธบัตร $P=Fr{a}_{\bar{n}|i}+C{v}^n$ และคำนวณราคาพันธบัตรเมื่อ

• $F=\mathrm{1,000}$, $r=6\mathrm{\%}$, $i=5\mathrm{\%}$, $n=10$, $C=F$

2. หา Yield Rate จากราคาพันธบัตร ใช้ solve() หาอัตราผลตอบแทน $i$ ที่ทำให้พันธบัตรราคา 950 บาท โดยใช้สูตรในข้อ 1

3. สร้างฟังก์ชันคำนวณราคาพันธบัตร ให้เขียนฟังก์ชันใน Python ที่รับพารามิเตอร์ $F,r,n,i$ แล้วคืนค่าราคาพันธบัตร

4. คำนวณราคาเมื่อมีการจ่ายคูปองแบบรายครึ่งปี ให้ปรับสูตรเพื่อรองรับการจ่ายคูปอง 2 ครั้ง/ปี (m = 2) และคำนวณราคาพันธบัตรที่มีระยะเวลา 5 ปี

5. คำนวณ Duration แบบ Macaulay Duration ด้วยสูตร $$D=\frac{\sum _{t=1}^{n}t\cdot R\cdot v^t+n\cdot C\cdot v^n}{P}$$ โดยใช้ SymPy แสดงสูตรและหาค่าเมื่อ $R=60$, $C=\mathrm{1,000}$, $v=1/1.05$, $n=10$

6. เปรียบเทียบราคาพันธบัตรเมื่อ Yield เพิ่มขึ้นทีละ 0.5% สร้างกราฟใน Python แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง Yield Rate (i) กับราคาพันธบัตร $P(i)$

7. หา Yield Rate โดยใช้ nsolve() ให้ใช้ nsolve() จาก sympy เพื่อประมาณค่าผลตอบแทน $i$ ที่ทำให้ราคาพันธบัตรเท่ากับ 1,100 บาท

8. อัตราผลตอบแทนเทียบเท่า (Equivalent Yield) จงเปรียบเทียบอัตราผลตอบแทนรายปีแบบจ่ายปีละครั้ง กับแบบจ่ายราย 6 เดือน และหารายปีเทียบเท่า

9. คำนวณราคาพันธบัตรที่ขายด้วย premium และ discount ให้สร้างตัวอย่างพันธบัตรที่ราคาขาย > face value และ < face value แล้วคำนวณราคาทั้งสองกรณี

10. วิเคราะห์ break-even yield หาผลตอบแทนที่ทำให้ราคาพันธบัตรเท่ากับมูลค่าที่ต้องการลงทุน (เช่น 1,000 บาท) และวิเคราะห์ว่าอัตราผลตอบแทนนั้นคุ้มค่าหรือไม่

[1]

จลีพร โกลากุล และ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี, คณิตศาสตร์การเงิน, พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ: คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 1984.

[2]

ประสิทธิ์ พยัคฆพงษ์, คณิตศาสตร์การเงินและการลงทุน, พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์, 2004.

[3]

S. G. Kellison, The Theory of interest. ใน Irwin series in insurance and economic security. Homewood, Ill: R. D. Irwin, 1970.

[4]

มานพ วราภักดิ์, ทฤษฎีดอกเบี้ย = Theory of interest. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2006.

[5]

A. Meurer และคณะ, “SymPy: symbolic computing in Python”, PeerJ Computer Science, ปี 3, น. e103, ม.ค. 2017, doi: 10.7717/peerj-cs.103.

[6]

J. D. Hunter, “Matplotlib: A 2D graphics environment”, Computing in Science & Engineering, ปี 9, ฉบับที่ 3, น. 90–95, 2007, doi: 10.1109/MCSE.2007.55.