4  เงินรายงวดพื้นฐาน (Basic Annuities)

Modified

30 พฤษภาคม 2568

Importantหมายเหตุ

ก่อนเริ่มการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วยซิมไพ ขอให้ผู้อ่านทำการเรียกใช้คำสั่งดังต่อไปนี้ก่อน

from sympy import symbols, Eq, solve

เพื่อจะได้ไม่ต้องเรียกใช้งานทุกครั้ง

พื้นฐานบทนี้ใช้ความรู้เรื่องอนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)

  1. แบบจำกัดจำนวนพจน์ (Finite Geometric Series) Sn=a+ar+ar2++arn1=a1rn1r,r1 และ Sn=ar+ar2++arn1+arn=ar1rn1r,r1
  1. แบบอนันต์ (Infinite Geometric Series) S=a+ar+ar2+ar3+=a1r,เมื่อ |r|<1

4.0.1 การใช้ซิมไพ สำหรับอนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) คืออนุกรมที่พจน์ถัดไปแต่ละพจน์เกิดจากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงที่ r ซึ่งเรียกว่า “อัตราส่วนร่วม” ตัวอย่างเช่น อนุกรม a,ar,ar2,ar3,

อนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัดจำนวนพจน์

from sympy import  Sum, oo, symbols
# กำหนดตัวแปร
a, k, r, n = symbols('a k r n')
# อนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัดจำนวนพจน์
finite_sum = Sum(a * r**k, (k, 0, n - 1))
finite_sum # ไม่ต้องหาผลรวม

k=0n1ark

คำสั่งด้านบนเป็นการสร้างอนุกรม k=0n1ark โดยยังไม่คำนวณผลรวมจริง แต่แสดงในรูปแบบสัญลักษณ์ หากต้องการคำนวณหาผลรวมของอนุกรม สามารถใช้คำสั่ง .doit() ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ในรูปสมการปิด (closed-form) ตามสูตรทางคณิตศาสตร์

finite_sum.doit()

a({nforr=11rn1rotherwise)

อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์

กรณีที่จำนวนพจน์ไม่มีที่สิ้นสุด (อนุกรมอนันต์) เราสามารถกำหนดใน ซิมไพ ได้โดยใช้อักษร oo ซึ่งแทนสัญลักษณ์ของอนันต์ (∞):

# อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์
# เงื่อนไข: |r| < 1
infinite_sum = Sum(a * r**k, (k, 0, oo))
infinite_sum # ไม่ต้องหาผลรวม

k=0ark

ซิมไพจะแสดงอนุกรมในรูปแบบ symbolic โดยยังไม่คำนวณผลรวม

อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์จะมีผลรวมจำกัด ก็ต่อเมื่ออัตราส่วนร่วมมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 หรือ |r|<1 ซึ่งสามารถคำนวณผลรวมได้ด้วยคำสั่ง .doit() เช่นเดียวกัน

infinite_sum.doit() # หาผลรวม

a({11rfor|r|<1k=0rkotherwise)

4.1 เงินงวดสิ้นงวด (Ordinary Annuity)

Ordinary Annuity คือ การชำระเงินงวดเท่ากัน R ทุกสิ้นงวด เป็นระยะเวลา n งวด โดยมีอัตราดอกเบี้ย i คงที่ต่อช่วงเวลา

4.1.1 มูลค่าปัจจุบันของเงินงวดสิ้นงวด (Present Value of Ordinary Annuity)

มูลค่าปัจจุบันของเงินงวดสิ้นงวด คือ มูลค่าของชุดการรับเงินที่เกิดขึ้นอย่างสม่ำเสมอ ณ สิ้นแต่ละงวด โดยมีจำนวนงวดที่แน่นอน และใช้ดอกเบี้ยคงที่ในการคิดลด (discount) ย้อนกลับไปยังมูลค่าในปัจจุบัน

ในสถานการณ์ทั่วไป เงินงวดสิ้นงวดหมายถึง การรับเงินจำนวนคงที่ เช่น 1 หน่วย ในทุกๆ สิ้นงวด เช่น ทุกสิ้นเดือน หรือสิ้นปี โดยจะได้รับเป็นระยะเวลาต่อเนื่องกันทั้งหมด n งวด ซึ่งเงินที่ได้รับในแต่ละงวดในอนาคตจะมีค่าปัจจุบันน้อยลงตามหลักของมูลค่าเงินตามเวลา (Time Value of Money)

เพื่อให้สามารถเปรียบเทียบมูลค่าของชุดเงินงวดเหล่านี้กับมูลค่าเงินในปัจจุบันได้ เราจึงนำเงินแต่ละงวดในอนาคตมาคิดลดด้วยอัตราดอกเบี้ย i ต่อช่วงเวลา ซึ่งสามารถเขียนได้เป็นสมการต่อไปนี้

แผนภาพมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายรายงวด

แผนภาพมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายรายงวด

an|i=k=1nvk=v(k=1n1vk1)=v1vn1v=1vni=1(1+i)ni โดยที่

  • an|i คือ มูลค่าปัจจุบันของเงินงวดสิ้นงวด n งวด ที่ใช้อัตราดอกเบี้ย i

  • v=11+i คือ ค่าคิดลด (discount factor)

  • n คือ จำนวนงวดทั้งหมด

  • i คือ อัตราดอกเบี้ยต่อช่วงเวลา

ดังนั้น PV=Ran|i

4.2 มูลค่าอนาคตของเงินงวดสิ้นงวด (Future Value of Ordinary Annuity)

มูลค่าอนาคตของเงินงวดสิ้นงวด คือ มูลค่ารวมในอนาคตของเงินที่ฝากหรือสะสมไว้เป็นงวดๆ อย่างสม่ำเสมอ ณ สิ้นแต่ละงวด โดยใช้สมมติฐานว่าเงินแต่ละงวดที่สะสมไว้สามารถนำไปลงทุนต่อด้วยอัตราดอกเบี้ยคงที่ i ต่อช่วงเวลา และมีระยะเวลาการสะสมทั้งหมดจำนวน n งวด

ตัวอย่างของสถานการณ์เช่นนี้ ได้แก่ การออมเงินทุกสิ้นเดือนในบัญชีที่มีดอกเบี้ย หรือการฝากเงินเข้ากองทุนสะสมเป็นประจำในทุกสิ้นปี

การคำนวณมูลค่าอนาคตของเงินงวดสิ้นงวดสามารถใช้สมการดังนี้

แผนภาพมูลค่าอนาคตของการจ่ายรายงวด

แผนภาพมูลค่าอนาคตของการจ่ายรายงวด

sn|i=k=1n(1+i)k1=(1+i)n1i

โดยที่

  • sn|i คือ มูลค่าอนาคตของเงินงวดสิ้นงวดจำนวน n งวด ที่ใช้อัตราดอกเบี้ย i

  • i คือ อัตราดอกเบี้ยต่อช่วงเวลา

  • n คือ จำนวนงวดทั้งหมด

หากแต่ละงวดมีจำนวนเงินงวด (เงินออมรายงวด หรือเงินจ่ายประจำงวด) เท่ากับ R มูลค่ารวมในอนาคต (Future Value) ของเงินทั้งหมดเมื่อสิ้นงวดสุดท้ายสามารถคำนวณได้จาก FV=Rsn|i ซึ่งแปลว่า: เราสามารถหามูลค่าเงินที่สะสมไว้ทั้งหมด ณ สิ้นงวดสุดท้าย โดยการนำค่าสัมประสิทธิ์ sn|i คูณกับจำนวนเงินที่จ่ายหรือออมในแต่ละงวด

4.2.1 ความสัมพันธ์ระหว่าง an|i และ sn|i

sn|i=(1+i)nan|i ตัวอย่าง นายสมศักดิ์จะฝากเงินปีละ 1,000 บาท เป็นเวลา 5 ปี โดยฝากทุกสิ้นปี และอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 6 ต่อปี จะมีเงินมูลค่าปัจจุบันเท่ากับเท่าใด วาดรูป

แผนภาพมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายรายงวด การคำนวณหาคำตอบด้วยซิมไพ

from sympy import symbols
# ประกาศตัวแปรพื้นฐาน
n, i = symbols('n i', positive=True)
# ใช้ชื่อแบบ LaTeX
a_ni = symbols('a_{\\overline{n}|i}', real=True)
a_ni = (1-(1+i)**-n)/i
a_ni

1(i+1)ni

แทนค่าทั้งหมดลงไป

PV = 1000*a_ni.subs({i: 0.06, n: 5})
PV.evalf(6)

4212.36

วาดรูปหามูลค่าอนาคตที่เวลา 5 ปี

แผนภาพมูลค่าอนาคต ณ สิ้นปีที่ 5 ของการจ่ายรายงวด

แผนภาพมูลค่าอนาคต ณ สิ้นปีที่ 5 ของการจ่ายรายงวด

FV=1000s5|0.06=1000(1+0.06)510.065,637.09

# ประกาศตัวแปรพื้นฐาน
n, i = symbols('n i', positive=True)
# ใช้ชื่อแบบ LaTeX
s_ni = symbols('a_{\\overline{n}|i}', real=True)
s_ni = ((1+i)**n-1)/i
s_ni

(i+1)n1i

แทนค่าทั้งหมดลงไป

FV = 1000*s_ni.subs({i: 0.06, n: 5})
FV.evalf(6)

5637.09

4.3 เงินงวดต้นงวด (Annuity Due)

เงินงวดต้นงวด (Annuity Due) คือชุดของการชำระเงินที่เกิดขึ้นอย่างสม่ำเสมอโดยเริ่มจ่าย ตอนต้นงวด แทนที่จะจ่ายตอนปลายงวดเหมือนเงินงวดทั่วไป (Ordinary Annuity) เช่น การจ่ายค่าเช่าบ้านในต้นเดือน หรือการชำระเบี้ยประกันล่วงหน้าต้นปี ถือเป็นตัวอย่างของเงินงวดต้นงวด

คุณสมบัติของเงินงวดต้นงวด

  • การชำระเงินแต่ละงวดจะเกิดขึ้น ทันทีที่เริ่มต้นงวด

  • แต่ละงวดมีเวลาในการทบต้นมากกว่าหนึ่งงวด เมื่อเทียบกับเงินงวดปลายงวด

  • ส่งผลให้ มูลค่าปัจจุบัน (PV) และ มูลค่าในอนาคต (FV) ของ Annuity Due สูงกว่า แบบปลายงวดที่มีเงื่อนไขเหมือนกัน

แผนภาพมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายต้นงวด

แผนภาพมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายต้นงวด

เมื่อบุคคลชำระเงินจำนวนเท่ากันในช่วง ต้นของแต่ละงวด ติดต่อกันเป็นเวลา n งวด เงินแต่ละงวดจะมีเวลาสะสมดอกเบี้ยนานกว่าการชำระปลายงวดหนึ่งช่วงเวลา ดังนั้น การคำนวณมูลค่าในอนาคตของเงินงวดต้นงวดจึงต้องคำนึงถึงช่วงเวลาที่แต่ละงวดได้รับดอกเบี้ย

ในกรณีที่เราต้องการหามูลค่าในอนาคตของเงินงวดต้นงวด ณ สิ้นงวดสุดท้าย (คือ ณ เวลาที่ n1) เราสามารถพิจารณา มูลค่าปัจจุบัน ของการจ่ายเงินแต่ละงวดก่อน แล้วจึงสะสมดอกเบี้ยไปยังปลายงวด

มูลค่าปัจจุบันของเงินงวดต้นงวดสามารถแสดงได้โดยผลรวมของมูลค่าลดค่าของแต่ละงวด ซึ่งเริ่มตั้งแต่งวดแรก (งวดที่ 0) ไปจนถึงงวดที่ n1 โดยใช้ ตัวลดค่าปัจจุบัน (v=11+i) สำหรับอัตราดอกเบี้ย i ต่อหนึ่งงวด จากแนวคิดนี้ เราสามารถเขียนสมการได้ดังนี้ a¨n|i=k=0n1vk,โดยที่ v=(11+i) สมการข้างต้นสามารถจัดรูปใหม่เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณ a¨n|i=v(1vn1)i=van1|i

4.3.1 มูลค่าในอนาคตของเงินงวดต้นงวด (Future Value of Annuity Due)

แผนภาพมูลค่าอนาคต ณ สิ้นงวดที่ n

แผนภาพมูลค่าอนาคต ณ สิ้นงวดที่ n

เงินงวดต้นงวด (Annuity Due) คือการชำระเงินในแต่ละงวดที่เกิดขึ้น ตอนต้นงวด แทนที่จะเป็นปลายงวดเหมือนในกรณีของเงินงวดทั่วไป (Ordinary Annuity) ตัวอย่างเช่น การชำระค่าเช่าที่ต้องจ่ายล่วงหน้าก่อนเริ่มเดือน หรือเบี้ยประกันที่ชำระต้นปี

ในการวิเคราะห์ทางการเงิน หากเราต้องการทราบ มูลค่าในอนาคต ของเงินงวดต้นงวดเมื่อสิ้นสุดงวดสุดท้าย จำเป็นต้องคำนึงว่าเงินแต่ละงวดมีระยะเวลาสะสมดอกเบี้ยมากกว่าปกติหนึ่งงวด เพราะถูกจ่ายล่วงหน้าตั้งแต่ต้นงวด

ด้วยเหตุนี้ การคำนวณมูลค่าในอนาคตของเงินงวดต้นงวดจึงใช้หลักการเดียวกับเงินงวดปลายงวด แต่มีการปรับให้สะท้อนว่าเงินแต่ละงวดได้สะสมดอกเบี้ย นานขึ้นหนึ่งช่วงเวลา เมื่อเทียบกับเงินงวดปลายงวด จากหลักการข้างต้น สามารถแสดงสมการได้ดังนี้ s¨n|i=k=1n(1+i)k=(1+i)(1+i)n1i=(1+i)sn|i

สมการนี้แสดงว่า: มูลค่าในอนาคตของเงินงวดต้นงวดเท่ากับ มูลค่าในอนาคตของเงินงวดปลายงวด (Ordinary Annuity) คูณด้วย (1+i) ซึ่งแสดงถึงการสะสมดอกเบี้ยล่วงหน้าหนึ่งงวดในทุกการชำระเงิน

ตัวอย่าง นายสมชายวางแผนออมเงินจำนวน 1,000 บาท ทุกต้นเดือน เป็นเวลา 5 เดือนในบัญชีออมทรัพย์ที่ให้ดอกเบี้ยร้อยละ 5 ต่อเดือน (คิดแบบทบต้นรายเดือน)

  1. จงหามูลค่าปัจจุบันของแผนการออมนี้ ณ เวลาปัจจุบัน

  2. จงหามูลค่าในอนาคตของเงินออมทั้งหมด ณ สิ้นเดือนที่ 5

วาดรูป

แผนภาพมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายต้นงวด

แผนภาพมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายต้นงวด

มูลค่าปัจจุบัน (Present Value) 1000a¨5|i=1000(k=051vk),โดย v=11+i, i=i(12)12=.05/12 มูลค่าในอนาคต (Future Value) ณ สิ้นเดือนที่ 5 1000s¨5|i=1000(k=15(1+i)k), i=i(12)12=.05/12 จะใช้ซิมไพหาคำตอบใช้การคำนวณด้วยสูตรผลรวมโดยตรง

from sympy import  Sum
# ประกาศตัวแปรพื้นฐาน
i, k, n, v= symbols('i k n v', positive=True)
# ใช้ชื่อแบบ LaTeX
adot_ni = symbols('\\ddot{a}_{\\overline{n}|i}', real=True)

adot_ni = 1000*Sum(v**k, (k, 0, n - 1))
adot_ni.doit()

1000({nforv=11vn1votherwise)

# ดอกเบี้ยต่อเดือน  .05/12
PV = adot_ni.subs({v: 1/(1+.05/12), n: 5})
PV.evalf(6)

4958.68

หามูลค่าสะสม วาดรูป

แผนภาพมูลค่าอนาคต ณ สิ้นงวดที่ 5

แผนภาพมูลค่าอนาคต ณ สิ้นงวดที่ 5
# สร้างนิพจน์สำหรับมูลค่าในอนาคต (Annuity Due)
# ใช้ชื่อแบบ LaTeX
sdot_ni = symbols('\\ddot{s}_{\\overline{n}|i}', real=True)

sdot_ni = 1000*Sum((1+i)**k, (k, 1, n))
sdot_ni.doit()

1000(i(i+1)n+1+1)i

# ดอกเบี้ยต่อเดือน  .05/12
FV = sdot_ni.subs({i: .05/12, n: 5})
FV.evalf(6)

5062.85

ก่อนที่จะมีการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการคำนวณ สูตรที่ผ่านมามีความสำคัญมาก เพราะทำให้การคำนวณมีความง่ายมากกว่าที่ใช้การคำนวณตรงโดยใช้ผลรวมของมูลค่าปัจจุบันทั้งหมด หรือผลรวมของมูลค่าอนาคตทั้งหมด ในหนังสือเล่มนี้ก็ยังคงใช้วิธีคำนวณโดยการจัดรูปให้เข้าสูตร เพื่อคงความสวยงามทางคณิตศาสตร์เอาไว้

จากหัวข้อที่ผ่านมา เราสามารถสังเกตุได้ว่า ถ้าเราสามารถเห็นรูปแบบการจ่ายที่มีโครงสร้างสร้างแบบการจ่ายรายงวด เราสามารถเขียนสมการแห่งมูลค่าใหม่ได้

ตัวอย่าง จงเขียนสมการแห่งมูลค่าจากแผนภาพต่อไปนี้

แผนภาพฝากเงินและการถอนเงิน

แผนภาพฝากเงินและการถอนเงิน

รายงวดสีเขียวสามารถเขียนให้เป็น 1000s5|i ณเวลาที่ 4 และ รายงวดสีน้ำเงินสามารถเขียนได้เป็น 1000s5|i ณ เวลาที่ 10 วาดรูปใหม่ได้เป็น

แผนภาพฝากเงินและการถอนเงินใหม่

แผนภาพฝากเงินและการถอนเงินใหม่

หลังจากนั้น กำหนดจุดที่ต้องการเพื่อเขียนสมการแห่งมูลค่าได้ทันที

สมมุติเลือก ที่จุด 0 จงหาอัตราดอกเบี้ยรายปี ที่ทำให้สมการแห่งมูลค่านี้เป็นจริง 1000v4s5|i=1200v10s5|i

i,v = symbols('i v', positive = True, real=True)
s_5i = symbols('s_{\\overline{5}|i}', real=True)
v =1/(1+i)
s_5i=((1+i)**5-1)/i
eq =Eq(1000*v**4*s_5i,1200*v**10*s_5i) #. สร้างสมการ
eq # แสดง equation of value

1000((i+1)51)i(i+1)4=1200((i+1)51)i(i+1)10

แก้สมการด้วยคำสั่ง solve()

solutions = solve(eq,i)
# แสดงคำตอบ
solutions[0].evalf(4)

0.03085

สมการแห่งมูลค่าจะเป็นจริงเมื่ออัตราดอกเบี้ยเท่ากับ 3.09%

ตัวอย่าง ฝากเงินครั้งละ 10,000 ทุกต้นปีเป็นจำนวน 10 ครั้ง ถ้าธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย 5% ต่อปี ต้องใช้เวลาเท่าไหร่ ถึงจะมีเงินสะสมเท่ากับ 200,000 บาท

วาดรูป

แผนภาพฝากเงินและมูลค่าที่ต้องการในอนาคต จัดรูปใหม่จะได้

แผนภาพฝากเงินและมูลค่าที่ต้องการในอนาคตใหม่ สมการแห่งมูลค่าคือ 10000v9s10|i=200000vt

i, v, t = symbols('i v t', positive = True, real=True)
s_10i = symbols('s_{\\overline{10}|i}', real=True)
i =0.05
v =1/(1+i)
s_10i=((1+i)**10-1)/i
eq =Eq(1e4*v**9*s_10i,2e5*v**t) #. สร้างสมการ
eq # แสดง equation of value

81078.2167564406=200000.00.952380952380952t

แก้สมการด้วยคำสั่ง solve()

solutions = solve(eq,t)
# แสดงคำตอบ
solutions[0].evalf(4)

18.51

4.4 เงินรายงวดจ่าย m ครั้งต่อปี (Annuities Payable m Times per Year)

ในทางคณิตศาสตร์การเงิน “annuities payable m times per year” หมายถึงเงินรายงวดที่จ่ายเป็นจำนวนครั้งเท่ากันในแต่ละปี โดยแบ่งปีออกเป็น m งวดเท่า ๆ กัน เช่น รายเดือน (m=12) รายไตรมาส (m=4) หรือรายครึ่งปี (m=2)

การวิเคราะห์มูลค่าปัจจุบัน (present value) และมูลค่าอนาคต (accumulated value) ของอนุกรมประเภทนี้ ต้องใช้ดอกเบี้ยต่อช่วงจ่าย (periodic interest rate) และจำนวนงวดทั้งหมดในรูปของ mn

สัญลักษณ์ที่ใช้

  • i อัตราดอกเบี้ยรายปีที่จ่ายสิ้นปี (effective annual rate)

  • i(m) อัตราดอกเบี้ยที่ใช้ต่อแต่ละงวดเมื่อมี m งวดต่อปี (i.e., nominal rate compounded m times)

  • i(m)m อัตราดอกเบี้ยต่อหนึ่งงวดย่อย

  • n จำนวนปีที่จ่ายรายงวด

  • m×n จำนวนงวดทั้งหมด

  • a¨n|i(m) มูลค่าปัจจุบันของ annuity-immediate ที่จ่าย m ครั้งต่อปี เป็นเวลา n ปี

4.4.1 มูลค่าปัจจุบันของ Annuity-immediate ที่จ่าย m ครั้งต่อปี

a¨n|i(m)=1vnd(m)whered(m)=m(1v1/m) หรือในรูปแบบที่พบได้บ่อยกว่า an|i(m)=1vni(m)/mwithv=11+i

4.4.2 มูลค่าอนาคต (Sinking Fund Formula)

sn|i(m)=(1+i)n1i(m)/m

4.4.3 ตัวอย่างเชิงคำอธิบาย

หากมีการจ่ายเงิน 100 บาททุกเดือน เป็นเวลา 5 ปี โดยมีอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี ทบต้นรายเดือน (m=12,i=0.06) จะสามารถคำนวณมูลค่าปัจจุบันของ annuity นี้ได้โดยใช้ a¨5|0.06(12)=1(1+0.06)50.06/12

ซึ่งสะท้อนถึงมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายเงิน 60 งวด (5 ปี × 12 เดือน)

4.5 แบบฝึกหัดท้ายบท

  1. มูลค่าปัจจุบันของเงินรายงวดปลายงวด

ใช้ SymPy สร้างสูตร an|i=1vni และคำนวณเมื่อ n=10, i=5%

  1. มูลค่าปัจจุบันของเงินรายงวดต้นงวด ใช้สูตร a¨n|i=an|i(1+i) และคำนวณด้วย SymPy

  2. มูลค่าอนาคตของเงินรายงวดปลายงวด ใช้สูตร sn|i=(1+i)n1i และเขียนคำสั่งใน SymPy เพื่อคำนวณเมื่อ n=12, i=6%

  3. ความสัมพันธ์ระหว่าง a, s, และ (1+i)n ให้พิสูจน์ว่า (1+i)n=sn|ian|i

  4. เขียนฟังก์ชัน Python ที่รับ n, i แล้วคืนค่า an|i

  5. วิเคราะห์ความไวของ an|i ต่อการเปลี่ยนแปลงของ i ใช้ diff() หาค่าประมาณ dadi

  6. เปรียบเทียบเงินงวดปลายงวดและต้นงวด เขียนคำสั่ง SymPy คำนวณค่าเปรียบเทียบของ an|i และ a¨n|i เมื่อ i=0.04, n=15

  7. คำนวณเงินที่ต้องสะสมรายเดือนเพื่อให้ได้จำนวนเงิน F ภายใน n ปี ใช้สูตร R=Fsn|i

  8. คำนวณมูลค่าปัจจุบันของการชำระหนี้รายปี R=20,000 เป็นเวลา 8 ปี อัตราดอกเบี้ย 6% ใช้ PV=Ran|i

  9. แสดงผลของการเปลี่ยนแปลง i ต่อ an|i เป็นกราฟด้วย SymPy + matplotlib