1.2 単調増加・単調減少

常に増加し続ける，または減少し続けるような関数を，単調増加とか単調減少するという． 具体的には次のように定義される．

Definition 1.2 (単調増加・単調減少) 関数$f(x)$について，${}^{\forall}x_1, x_2 (x_1 < x_2) \rightarrow f(x_1) < f(x_2)$であるとき，$f(x)$を単調増加関数という． 逆に，${}^{\forall}x_1, x_2 (x_1 < x_2) \rightarrow f(x_1) > f(x_2)$であるとき，$f(x)$を単調減少関数という．

関数値$f(x)$に等号を含める場合は，広義の単調増加（減少）という．これは，少なくとも減少（増加）はしないことを保証する． 等号を含まない上記の定義は狭義の単調増加（減少）と表現することもある．これは量はともかく必ず増加（減少）し続けることを保証する．

Definition 1.3 (逆関数) 関数$y=f(x)$が単調増加（減少）であるとき，$x=g(y)$となる関数$g$を$f$の逆関数といい，$f^{-1}$と表す．

定義より，$f$の結果に対して逆関数$f^{-1}$を作用させれば，もとの入力$x$になる．すなわち，$f$の操作に対して逆の操作を行うという意味で $f^{-1}$を逆関数と呼んでいる．