1.2 単調増加・単調減少

常に増加し続ける，または減少し続けるような関数を，単調増加とか単調減少するという． 具体的には次のように定義される．

Definition 1.2 (単調増加・単調減少) 関数\(f(x)\)について，\({}^{\forall}x_1, x_2 (x_1 < x_2) \rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)であるとき，\(f(x)\)を単調増加関数という． 逆に，\({}^{\forall}x_1, x_2 (x_1 < x_2) \rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)であるとき，\(f(x)\)を単調減少関数という．

関数値\(f(x)\)に等号を含める場合は，広義の単調増加（減少）という．これは，少なくとも減少（増加）はしないことを保証する． 等号を含まない上記の定義は狭義の単調増加（減少）と表現することもある．これは量はともかく必ず増加（減少）し続けることを保証する．

Definition 1.3 (逆関数) 関数\(y=f(x)\)が単調増加（減少）であるとき，\(x=g(y)\)となる関数\(g\)を\(f\)の逆関数といい，\(f^{-1}\)と表す．

定義より，\(f\)の結果に対して逆関数\(f^{-1}\)を作用させれば，もとの入力\(x\)になる．すなわち，\(f\)の操作に対して逆の操作を行うという意味で \(f^{-1}\)を逆関数と呼んでいる．