1.3 指数関数・対数関数

対数関数とは，指数関数の逆関数として定義される関数である．

Definition 1.4 (対数関数) 指数関数$f(x)=a^x, a>0,a\neq1$の逆関数を$\log_a x$と表す．これを対数関数という．

後に性質として紹介するが，対数関数は積を和で表すことができ，数値計算上効率が良い．

Theorem 1.2 (対数の性質) $a,b,x,y > 0, a,b \neq 1, z \in \mathbb R$とする．このとき，以下の性質が成り立つ．

1. $\log_a a = 1$
2. $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
3. $\log_a (x/y) = \log_a x - \log_a y$
4. $\log_a (x^z) = z \log_a x$
5. $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$

また，対数関数は単調増加関数であり，入力の大小関係を保ったままは非常に大きな数を小さく，非常に0に小さい数を大きな負の大きな数に 変換する．もともとのデータのスケールでは扱いにくいオーダーの数値も対数をとると扱いやすくなることがある．