14  Bootstrap

Die bisherige Darstellung der Hypothesentests hat möglicherweise den Eindruck erweckt, dass es eine Reihe von vorgefertigten Testverfahren gibt, die man als Nutzer heraussuchen und anwenden kann. Tatsächlich stellt sich in vielen ökonomischen Anwendungen und vor allem in der empirischen akademischen Forschung oft die Frage, wie man eine Hypothese testen kann, für die es noch keinen vorgefertigten Test gibt. Ökonomen sollten also nicht nur vorgefertigte Tests verstehen und anwenden können, sondern auch in der Lage sein, neue Tests zu entwickeln. In diesem Kapitel wird ein sehr flexibler, genereller, computer-gestützter Ansatz für Hypothesentests vorgestellt, bei dem Monte-Carlo-Simulationen eingesetzt werden. Man nennt diese Methode Bootstrap (oder Bootstrapping). Die Bezeichnung bezieht sich auf die englische Redensart “to pull oneself up by one’s bootstraps”. Warum das ein passender Name ist, wird im folgenden deutlich.

14.1 Monte-Carlo-Simulation der kritischen Grenzen

Um die Grundidee des Bootstraps zu beschreiben, betrachten wir ein konkretes Testbeispiel, das in Kapitel 12.1 bereits ausführlich besprochen wurde, nämlich einen Erwartungswerttest mit den Hypothesen

\[\begin{align*} H_0: \mu&=\mu_0\\ H_1: \mu&\neq\mu_0. \end{align*}\]

Die Teststatistik für diesen Test ist \[ T=\sqrt{n}\frac{\bar X-\mu_0}{S}. \] Wie könnte man die kritischen Grenzen bestimmen, wenn man keine Ahnung vom zentralen Grenzwertsatz und der t-Verteilung hätte, aber zum einen wüsste, wie die Population \(X\) verteilt ist, und zum anderen, dass die Nullhypothese wahr ist?

Konkret nehmen wir an, dass \(H_0:\mu=63\) und \(H_1:\mu\neq 63\), dass der Stichprobenumfang \(n=100\) ist und dass \[ X\sim N(63,4^2). \] Die Nullhypothese ist also korrekt, weil der Erwartungswert der Normalverteilung dem hypothetischen Wert entspricht.

Die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese kann man nun durch eine Monte-Carlo-Simulation mit den Methoden aus Kapitel 7.2 beliebig genau ermitteln. Das prinzipielle Vorgehen ist fast genauso wie in Kapitel 12.5, in dem wir Fehlerwahrscheinlichkeiten für den Erwartungswerttest durch Monte-Carlo-Simulationen bestimmt haben. Wir interessieren uns jetzt jedoch für das \((\alpha/2)\text{-}\)Quantil (also die untere kritische Grenze) und das \((1-\alpha/2)\)-Quantil (die obere kritische Grenze) der Teststatistik.

Der R-Code für die Monte-Carlo-Simulation sieht so aus:

# Anzahl der Simulationsdurchläufe
R <- 10000

# Initialisierung eines Vektors, um die
# Werte der Teststatistik aufzunehmen
teststat <- rep(0, R)

# Parameter
alpha <- 0.05
mu0 <- 63
mu <- mu0
sigma <- 4
n <- 100

# Schleife
for(r in 1:R){
  
  x <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)
  teststat[r] <- sqrt(n) * (mean(x) - mu0)/sd(x)
  
}

Wenn die Schleife durchgelaufen ist, enthält der Vektor teststat die R Realisationen der Teststatistik (unter der Nullhypothese). Die gesuchten Quantile kann man nun mit Hilfe der R-Funktion quantile bestimmen. Sie sind

quantile(teststat, prob=c(alpha/2, 1-alpha/2))

     2.5%     97.5% 
-1.989735  1.937391 

Diese Werte liegen sehr nah an den theoretisch hergeleiteten kritischen Grenzen, die sich aus der t-Verteilung ergeben, nämlich

qt(c(alpha/2, 1-alpha/2), df=n-1)

[1] -1.984217  1.984217

Wenn die Anzahl der Schleifendurchläufe erhöht wird, dann sind die Unterschiede noch kleiner.

Es ist also mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen möglich, die kritischen Werte aus der Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese zu finden, wenn man die wahre Verteilung von \(X\) kennt. Das Problem für eine praktische Anwendung ist aber offensichtlich: Man kennt die wahre Verteilung von \(X\) nicht. Der Ansatz ist also nur als Computersimulation machbar, aber nicht von praktischer Relevanz. Es gibt jedoch einen Trick, der nun erklärt wird.

14.2 Stichprobe und Pseudo-Stichproben

Die Idee der Bootstrap-Methode ist eigentlich naheliegend: Da wir die Verteilung von \(X\) nicht kennen, brauchen wir eine Schätzung dieser Verteilung. Es gibt mehrere Möglichkeiten die Verteilung von \(X\) aus einer Stichprobe \(X_1,\ldots,X_n\) zu schätzen. Die typische Methode beim Bootstrap besteht darin, die empirische Verteilung der konkreten Stichprobe als beste Annäherung an die Populationsverteilung anzusehen. Man nennt diese Bootstrap-Methode “nichtparametrisch”.

Ein Problem muss noch gelöst werden: Die Nullhypothese wird von der Original-Stichprobe im allgemeinen nicht exakt erfüllt, möglicherweise wird sie nicht einmal ungefähr erfüllt. Eine Simulation würde also nicht die gesuchte Verteilung der Teststatistik unter Gültigkeit der Nullhypothese ermitteln. Daher muss die Original-Stichprobe so angepasst werden, dass sie die Nullhypothese erfüllt. Dabei soll die Verteilung der Original-Stichprobe möglichst wenig verändert werden.

Für den Erwartungswerttest sieht die Anpassung so aus, dass alle Stichprobenelemente der Original-Stichprobe, also \(x_1,\ldots,x_n\) um \(\mu_0-\bar x\) verschoben werden. Die dadurch entstehende empirische Verteilung ist die Bootstrap-Populationsverteilung. Wir nennen sie \(X^0\) mit den Ausprägungen \[ x_i^0=x_i-\bar x+\mu_0,\quad i=1,\ldots,n. \] Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X^0\) versieht jeden dieser Werte mit der Wahrscheinlichkeit \(1/n\). Der Erwartungswert von \(X^0\) ist (vgl. Kapitel 4.4)

\[\begin{align*} E(X^0)&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^0\\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x+\mu_0)\\ &= \mu_0+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i -\bar x\\ &= \mu_0, \end{align*}\]

so dass die Nullhypothese erfüllt ist.

Nun ermittelt man die Verteilung der Teststatistik mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen unter der Annahme, dass die Populationsverteilung nicht \(X\) ist (denn die ist unbekannt), sondern \(X^0\) (denn die ist bekannt). Das ist der Kern der Bootstrap-Methode, es handelt sich also um eine Monte-Carlo-Simulation der Verteilung der Teststatistik, bei der die unbekannte Verteilung der Population \(X\) durch die bekannte und an die Nullhypothese angepasste empirische Verteilung der Stichprobe \(X^0\) ersetzt wird. Im folgenden nennen wir diese Art von Simulation “Bootstrap-Simulation” oder kurz “Bootstrap”.

Für die Bootstrap-Simulation muss in jedem Schleifendurchlauf eine neue Stichprobe aus der Bootstrap-Population \(X^0\) gezogen werden. Diese Ziehungen nennt man Pseudo-Stichproben oder Resamples. Eine Pseudo-Stichprobe \(X^b_1,\ldots,X^b_n\) (der Superindex \(b\) steht für bootstrap) aus \(X^0\) lässt sich mit der R-Funktion sample ziehen.

x0 <- x - mean(x) + mu0
xb <- sample(x0, size=n, replace=TRUE)

Man zieht also aus der an die Nullhypothese angepassten Original-Stichprobe wie aus einer Urne \(n\) Elemente (size=n). Nach jedem Zug wird das gezogene Element wieder zurückgelegt (replace=TRUE), so dass ein Stichprobenelement der Original-Stichprobe durchaus mehrfach in der Pseudo-Stichprobe landen kann. Andere Elemente der Original-Stichprobe tauchen dafür in der Pseudo-Stichprobe gar nicht auf.

14.3 Bootstrap-Simulation

Die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese wird durch eine Bootstrap-Simulation mit vielen Schleifendurchläufen ermittelt. Die Anzahl der Durchläufe nennen wir \(B\). In jedem Schleifendurchlauf wird eine Pseudo-Stichprobe \(X_1^b,\ldots,X_n^b\) vom Umfang \(n\) aus der Population \(X^0\) gezogen. Aus jeder Pseudo-Stichprobe berechnet man den Wert der Bootstrap-Teststatistik, \[ T^b=\sqrt{n}\frac{\overline{X^b}-\mu_0}{S^b}, \] wobei \[ \overline{X^b}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X^b_i \] das Stichprobenmittel der Pseudo-Stichprobe und \[ S^b=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(X^b_i-\overline{X^b}\right)} \] die Stichprobenstandardabweichung der Pseudo-Stichprobe sind.

Nachdem die Schleife \(B\)-mal ausgeführt wurde, liegen \(B\) Werte der Bootstrap-Teststatistik vor. Das \((\alpha/2)\)-Quantil dieser Werte ist die untere kritische Grenze, das \((1-\alpha/2)\)-Quantil die obere kritische Grenze. Wenn die Original-Teststatistik unter der unteren oder über der oberen kritischen Grenze liegt, wird die Nullhypothese verworfen.

Wir gehen nun den R-Code für die Bestimmung der kritischen Grenzen beim Erwartungswerttest Schritt für Schritt durch. Der hypothetische Wert sei \(\mu_0=63\). Die Bootstrap-Methode basiert auf der Original-Stichprobe x. Die \(n=80\) konkreten Stichprobenelemente seien in dem Datensatz bootstrap1.csv unter dem Namen originalstichprobe abgespeichert.

D <- read.csv("../data/bootstrap1.csv")
head(D)

  originalstichprobe
1              58.62
2              56.98
3              63.83
4              61.51
5              64.87
6              54.45

Die Daten werden in dem Vektor x abgelegt.

x <- D$originalstichprobe
n <- length(x)

Aus der Original-Stichprobe wird die Original-Teststatistik berechnet. Ihr Wert ist

mu0 <- 63
teststat <- sqrt(n)*(mean(x) - mu0)/sd(x)
print(teststat)

[1] -2.348181

Vor dem Start der Bootstrap-Schleife wird ein Vektor teststatb initialisiert, in dem die Werte der Bootstrap-Teststatistik gesammelt werden können. Die Zahl der Bootstrap-Wiederholungen setzen wir auf \(B=10000\).

B <- 10000
teststatb <- rep(0, B)

Nun folgt die eigentliche Bootstrap-Routine. In jedem Schleifendurchlauf wird eine Pseudo-Stichprobe xb aus der an die Nullhypothese angepassten konkreten Stichprobe x0 gezogen. Aus ihr wird die Teststatistik berechnet und als ein Element in dem Vektor teststatb abgespeichert.

for(b in 1:B){
  
  x0 <- x - mean(x) + mu0
  xb <- sample(x0, size=n, replace=TRUE)
  teststatb[b] <- sqrt(n)*(mean(xb) - mu0)/sd(xb)
  
}

Aus den \(B\) Bootstrap-Werten der Teststatistik errechnet man die kritischen Grenzen mit der quantile-Funktion. Das Signifikanzniveau setzen wir auf 0.05.

alpha <- 0.05
quantile(teststatb, 
         prob=c(alpha/2, 1-alpha/2))

     2.5%     97.5% 
-2.037775  1.913316 

Der Wert der Original-Teststatistik (-2.35) liegt nicht zwischen diesen beiden Werten, sondern ist kleiner als die untere kritische Grenze. Die Nullhypothese wird also abgelehnt.

Eine Besonderheit des Bootstrapverfahrens besteht darin, dass die kritischen Grenzen speziell für die Original-Stichprobe bestimmt werden. Eine andere Original-Stichprobe führt zu anderen kritischen Grenzen. Natürlich gibt es auch einen Zufallseinfluss durch das Ziehen der Pseudo-Stichproben. Er wird jedoch (aufgrund des Gesetzes der großen Zahl) immer kleiner, wenn man die Zahl der Durchläufe \(B\) erhöht.

14.4 Weitere Bootstrap-Beispiele

In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, wie einige weitere Hypothesentests mit Hilfe der Bootstrap-Methode durchgeführt werden können. Die einzige Schwierigkeit der Bootstrap-Tests besteht darin, die Original-Stichprobe so anzupassen, dass die Nullhypothese erfüllt wird.

14.4.1 Zwei Erwartungswerte

Wir verwenden die Notation aus Kapitel 12.4. Es gibt nun zwei Original-Stichproben, nämlich \(x_1,\ldots,x_m\) und \(y_1,\ldots,y_n\). Sie können unterschiedlich lang sein. Wie kann man die Stichproben so anpassen, dass die Nullhypothese \[ H_0:\mu_X=\mu_Y \] erfüllt ist?

Es gibt mehrere naheliegende Möglichkeiten: (i) Man verschiebt die \(X\)-Werte so, dass ihr Durchschnitt dem Durchschnitt der \(Y\)-Werte entspricht; (ii) man verschiebt die \(Y\)-Werte so, dass ihr Durchschnitt dem Durchschnitt der \(X\)-Werte entspricht; (iii) man verschiebt sowohl die \(X\)-Werte als auch die \(Y\)-Werte so, dass ihre Durchschnitte dem Gesamtdurchschnitt entsprechen. Tatsächlich hat die Art der Verschiebung keinen Einfluss auf das Testergebnis. Im folgenden Code-Beispiel wird die Variante (i) gewählt.

Zuerst werden die Daten der Original-Stichproben eingelesen.

D <- read.csv("../data/bootstrap2.csv")
head(D)

  gruppe  wert
1      x 63.29
2      x 62.05
3      y 70.37
4      x 57.92
5      x 58.26
6      x 56.54

Nun zieht man aus diesem Dataframe die beiden Stichproben heraus und speichert sie als x und y ab.

x <- D$wert[D$gruppe == "x"]
y <- D$wert[D$gruppe == "y"]

Die Stichprobenumfänge sind

m <- length(x)
m

[1] 50

und

n <- length(y)
n

[1] 80

Aus den Original-Stichproben errechnet man den Wert der Teststatistik

teststat <- (mean(x) - mean(y))/sqrt(var(x)/m + var(y)/n)
teststat

[1] -1.461187

Für die Anpassung an die Nullhypothese werden alle Elemente der \(X\)-Stichprobe um \(\bar y-\bar x\) verschoben. Die \(Y\)-Stichprobe wird nicht verändert. Beide Bootstrap-Populationen haben daher den Erwartungswert \(\bar y\). Die Nullhypothese ist also erfüllt.

x0 <- x - mean(x) + mean(y)
y0 <- y

Der weitere R-Code sieht wie folgt aus:

B <- 10000
teststatb <- rep(0, B)

for(b in 1:B){
  
  xb <- sample(x0, size=m, replace=TRUE)
  yb <- sample(y0, size=n, replace=TRUE)
  teststatb[b] <- (mean(xb) - mean(yb))/sqrt(var(xb)/m + var(yb)/n)
  
}

Die kritischen Grenzen sind auf einem Niveau von 5 Prozent

alpha <- 0.05
quantile(teststatb,
         prob=c(alpha/2, 1-alpha/2))

     2.5%     97.5% 
-1.979591  1.925092 

Die Teststatistik (-1.46) liegt zwischen den kritischen Grenzen, daher wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Erwartungswerte sind nicht signifikant unterschiedlich.

14.4.2 Varianz-Test

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man einen Bootstrap-Test in einer neuen Situation anwenden kann. Wir möchten testen, ob die Varianz von \(X\) einen vorgegebenen Wert \(\sigma_0^2\) annimmt. Die Hypothesen sind

\[\begin{align*} H_0: \sigma^2 &= \sigma_0^2\\ H_1: \sigma^2 &\neq \sigma_0^2. \end{align*}\]

Wie könnte eine Teststatistik aussehen? Die einfachste Lösung ist die Stichprobenvarianz \[ T=S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2. \] Die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese wird durch eine Bootstrap-Simulation bestimmt. Wenn die Teststatistik, die sich aus den Werten der Original-Stichprobe ergibt, kleiner ist als die untere kritische Grenze oder größer als die obere kritische Grenze, dann wird die Nullhypothese abgelehnt.

Der R-Code wird nun vorgestellt. Zuerst wird die Originalstichprobe eingelesen.

D <- read.csv("../data/bootstrap3.csv")
head(D)

  originalstichprobe
1             0.4042
2             1.0354
3             0.3947
4             1.5765
5             1.3795
6             0.3585

Die Werte aus dem Dataframe werden in den Vektor x geschrieben.

x <- D$originalstichprobe

Die Stichprobenlänge ist

n <- length(x)
n

[1] 100

Der Wert der Teststatistik lautet

teststat <- var(x)
teststat

[1] 0.6274378

Es soll getestet werden, ob die Varianz \(\sigma_0^2=0.5\) beträgt. Um die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese zu simulieren, muss die Original-Stichprobe so angepasst werden, dass sie die Nullhypothese erfüllt. Die Varianz kann durch eine Umskalierung verändert werden (Kapitel 3.8). Dabei muss man beachten, dass sich bei einer Multiplikation aller Werte mit einer Konstanten die Varianz im Quadrat erhöht. Die geeignete Umskalierung ist also: \[ x_i^0=x_i\cdot\sqrt{\frac{\sigma_0^2}{s^2}}. \] Die Bootstrap-Schleife sieht wie folgt aus:

B <- 10000
teststatb <- rep(0, B)

for(b in 1:B){
  
  x0 <- x * sqrt(0.5/teststat)
  xb <- sample(x0, size=n, replace=TRUE)
  teststatb[b] <- var(xb)
  
}

Aus den Bootstrap-Teststatistiken werden die kritischen Grenzen bestimmt. Das Signifikanzniveau sei 5 Prozent.

alpha <- 0.05
quantile(teststatb,
         prob=c(alpha/2, 1-alpha/2))

     2.5%     97.5% 
0.2756240 0.7680902 

Der Wert der Teststatistik (0.6274) liegt zwischen den kritischen Grenzen. Die Nullhypothese wird also nicht abgelehnt.

14.4.3 Unabhängigkeitstest

Die Bootstrap-Version des Unabhängigkeitstests (Kapitel 13.2) ist bemerkenswert, weil sie nicht nur bei ausreichend großen Stichproben zuverlässig funktioniert, sondern auch, wenn die Faustregel zur Mindestbesetzung der Tabelleneinträge verletzt ist.

Wir verwenden die Notation aus Kapitel 13.2. Die Träger von \(X\) und \(Y\) sind partitioniert in \[ A_1,\ldots,A_J\quad\text{und}\quad B_1,\ldots,B_K. \] In der Häufigkeitstabelle geben die Einträge \(N_{jk}\) für \(j=1,\ldots,J\) und \(k=1,\ldots,K\) an, wie oft in der Stichprobe die Kombination \((A_j,B_k)\) vorkommt. Die Randverteilungen sind \(N_{j\cdot}\) für \(X\) und \(N_{\cdot k}\) für \(Y\).

Wie lässt sich die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese, d.h. unter Unabhängigkeit, simulieren? Wenn \(X\) und \(Y\) unabhängig sind, können sie separat voneinander aus ihren jeweiligen Original-Stichproben gezogen werden. Man zieht also \(X^b\) aus \(x_1,\ldots,x_n\) und \(Y^b\) aus \(y_1,\ldots,y_n\). Die gemeinsame Verteilung \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\) wird nicht gebraucht, weil die Bootstrap-Simulation unter der Nullhypothese der Unabhängigkeit stattfindet.

Als Beispiel reproduzieren wir das Beispiel aus Kapitel 13.2: Sind die Tagesrenditen von Siemens und Zalando unabhängig voneinander? Der R-Code sieht so aus:

renditen <- read.csv("../data/tagesrenditen.csv")
s <- renditen$siemens
z <- renditen$zalando
n <- length(s)

A_breaks <- c(-Inf, -1.4, -0.6, 0.1, 0.9, 1.6, Inf)
B_breaks <- c(-Inf, -3, -1.5, 0, 1.3, 3.1, Inf)

Die Vektoren s und z enthalten die Original-Stichproben, also die beobachteten Tagesrenditen von Siemens und Zalando. Die Partitionsgrenzen sind in A_breaks und B_breaks gespeichert. Sie bleiben in den Bootstrap-Simulationen unverändert.

In der Bootstrap-Schleife zieht man aus s und z unabhängig voneinander die Pseudo-Stichproben sb und zb. Aus ihnen bestimmt man den Wert der Teststatistik und speichert ihn ab. Da die Berechnung der Teststatistik recht langsam ist, wird die Bootstrap-Schleife nur 1000 Mal durchlaufen.

B <- 1000
teststatb <- rep(0, B)

for(b in 1:B){
  
  # Ziehung der Pseudo-Stichproben
  sb <- sample(s, size=n, replace=TRUE)
  zb <- sample(z, size=n, replace=TRUE)
  
  # Diskretisierung
  sb_d <- cut(sb, A_breaks)
  zb_d <- cut(zb, B_breaks)
  
  # Berechnung der Teststatistik
  Nb_siemens <- table(sb_d)
  Nb_zalando <- table(zb_d)
  Nb <- table(sb_d, zb_d)
  teststatb[b] <- 0
  for(j in 1:6){
    for(k in 1:6){
      aux <- Nb_siemens[j]*Nb_zalando[k]/n
      teststatb[b] <- teststatb[b] + (Nb[j,k]-aux)^2/(aux)
    }
  }
}

Gesucht ist nun das obere \((1-\alpha)\)-Quantil. Man erhält für ein Signifikanzniveau von 5 Prozent

alpha <- 0.05
quantile(teststatb, 1-alpha)

     95% 
38.33005 

Der Wert der Teststatistik beträgt 130.9, er liegt also deutlich im kritischen Bereich. Die Nullhypothese wird verworfen. Die Tagesrenditen hängen statistisch signifikant miteinander zusammen.

14.4.4 Anpassungstest

Die Bootstrap-Version des Anpassungstests (Kapitel 13.3) ist ist auch dann anwendbar, wenn die Faustregel zur Mindestbesetzung der Partitionseinträge nicht erfüllt ist. Wir verwenden die Notation aus Kapitel 13.3. Die Träger von \(X\) ist partitioniert in \[ A_1,\ldots,A_J. \] Die Null- und Alternativhypothesen sind

\[\begin{align*} H_0&: ~P(X\in A_j)=\pi_j,\quad j=1,\ldots,J\\ H_1&: ~\text{nicht }H_0, \end{align*}\]

wobei sich die theoretischen Wahrscheinlichkeiten \(\pi_1,\ldots,\pi_J\) aus der zu testenden Verteilungsannahme und der Partition errechnen lassen.

Im Gegensatz zu Pseudo-Stichproben, die aus der Original-Stichprobe gezogen wurden, bietet es sich beim Anpassungstest an, die Pseudo-Stichproben einfach aus der Verteilung zu ziehen, die in der Nullhypothese behauptet wird.

Zur Illustration wiederholen wir ein Beispiel aus Kapitel 13.3. Die Nullhypothese behauptet, dass die Anzahl der Kunden, die innerhalb einer Viertelstunde bei einer Hotline anrufen, einer Poisson-Verteiung mit dem Parameter \(\lambda=4\) folgt. Aus den Daten der Original-Stichprobe sind die folgenden Häufigkeiten bekannt:

x_j <- 0:9
n_j <- c(6,27,78,81,72,64,33,23,9,7)

J <- length(x_j)
n <- sum(n_j)

Es gab also 7 Viertelstunden mit jeweils 9 Anrufen, 9 Viertelstunden mit 8 Anrufen etc. Die theoretischen Wahrscheinlichkeiten für die Ausprägungen “0” bis “8” sowie “9 oder mehr” sind

pi_j <- c(dpois(0:8, lambda=4),
          1-ppois(8, lambda=4))

Aus diesen Angaben ergab sich in Kapitel 13.3 als Original-Teststatistik der Wert 10.3. Wie bestimmt man mit einer Bootstrap-Simulation die kritische Grenze? Der R-Code sieht wie folgt aus:

B <- 10000
teststatb <- rep(0, B)
 
for(b in 1:B){
  
  # Ziehung der Pseudo-Stichprobe
  xb <- rpois(n, lambda=4)
  
  # Bestimmung der Häufigkeiten
  Nb <- rep(0, J)
  for(i in 1:9){
    Nb[i] <- sum(xb == (i-1))
  }
  Nb[10] <- sum(xb >= 9)
  
  # Berechnung der Teststatistik
  teststatb[b] <- sum((Nb - n*pi_j)^2/(n*pi_j))
  
}

Zur Erklärung: In der Schleife wird zuerst die Pseudo-Stichprobe aus der hypothetischen Poisson-Verteilung gezogen. Anschließend werden die Häufigkeiten der 10 Ausprägungen “0” bis “8” und “9 oder mehr” ausgezählt und der Wert der Teststatistik berechnet. Aus den \(B\) Werten wird das \((1-\alpha)\)-Quantil als kritische Grenze ermittelt. Es ist für das Signifikanzniveau 0.05

alpha <- 0.05
quantile(teststatb, prob=1-alpha)

     95% 
17.01731 

Da der Wert der Original-Teststatistik mit 10.3 kleiner ist als der kritische Wert, wird die Nullhypothese nicht verworfen. Die Hypothese, dass die Anzahl der Anrufe innerhalb einer Viertelstunde einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter \(\lambda=4\) folgt, kann nicht abgelehnt werden.

14.5 Fazit

Die Bootstrap-Methode ist ein sehr nützliches Instrument für die statistische Inferenz. Man kann mit Hilfe von Computersimulationen die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese simulieren und auf diese Weise den kritischen Bereich bestimmen. Auf welche Weise das genau geschehen soll, hängt zum Teil vom Einzelfall ab. Daher ist es sehr wichtig, dass man ein tiefes Verständnis der statistischen Inferenz entwickelt. Dazu gehört auch, dass man die klassischen Testverfahren gründlich durchdacht hat. Ein reines Anwenden von “Kochrezepten” führt oft in die Irre und bringt auch keinen Spaß.