3 Wahrscheinlichkeit
3.1 Definition
Manche Ereignisse sind weniger wahrscheinlich als andere. Wie hoch die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist, wird durch eine Abbildung (Funktion) angegeben.
Diese Eigenschaften, die eine Wahrscheinlichkeit erfüllen muss, sind intuitiv sinnvoll und können nicht aus irgendwelchen Fakten hergeleitet werden, daher spricht man auch von Axiomen. Etwas allgemeiner und präziser wurden diese Axiome 1933 von Andrey Kolmogorov (1903-1987) für eine saubere mathematische Fundierung der Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt.
Aus diesen Axiomen lassen sich einige Rechenregeln ableiten, zum Beispiel:
Komplementärereignis: \(P(\bar A)=1-P(A)\)
Additionssatz: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
Monotonität: Wenn \(A\subseteq B\), dann ist \(P(A)\le P(B)\).
3.2 Laplace-Experimente
Eine besonders einfache Art von Zufallsvorgängen sind die sogenannten Laplace-Experimente.
Beachten Sie, dass es sich dabei um eine Aussage handelt, die aus unserem Alltagswissen herrührt, nicht aus mathematischen Überlegungen oder Herleitungen! Ein typisches, einfaches Beispiel für ein Laplace-Experiment sind Würfelwürfe. Es ist aus unserem Alltagswissen heraus plausibel, davon auszugehen, dass alle Augenzahlen eines normalen Würfels gleich wahrscheinlich sind. Auch bei einer Münze ist es naheliegend, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf und die Wahrscheinlichkeit für Zahl gleich sind. Hingegen würde man beim Werfen eines Kronkorkens nicht unbedingt vermuten, dass beide Seiten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit oben liegen. Hier liegt also kein Laplace-Experiment vor.
Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis \(A\) eintritt, leicht zu ermitteln. Sie beträgt \[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}, \] also die Anzahl der Ergebnisse in \(A\) dividiert durch die Anzahl aller Ergebnisse. Um Aussagen über Wahrscheinlichkeiten zu treffen, muss man also abzählen, wie viele Ergebnisse in den Mengen sind. Das ist manchmal sehr einfach, kann aber bei großen Mengen kompliziert sein. In solchen Fällen hilft der Teilbereich der Mathematik weiter, den man “Kombinatorik” nennt. Wir gehen in diesem Kurs jedoch nicht näher auf kombinatorische Probleme ein, sondern beschränken uns auf Mengen, bei denen es einfach ist, die Anzahl ihrer Elemente zu bestimmen.
Die Wahl der Ergebnismenge sollte immer so erfolgen, dass das weitere Vorgehen möglichst einfach und elegant ist. Wenn die Ergebnismenge so gewählt werden kann, dass ein Laplace-Experiment vorliegt, sollte man das tun.
3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Manchmal gibt es begrenzte Informationen über einen Zufallsvorgang. Dann kennt man zwar nicht das realisierte Ergebnis, kann aber die Menge der möglichen Ergebnisse eingrenzen. Dadurch ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse.
Die Notation \(A|B\) steht nicht für ein bestimmtes Ereignis, sondern zeigt an, dass wir eine neue Art von Wahrscheinlichkeit betrachten, nämlich die bedingte Wahrscheinlichkeit. Beim Sprechen über Wahrscheinlichkeiten ist es nicht immer einfach (aber sehr wichtig!), zwischen der Wahrscheinlichkeit \(P(A\cap B)\) und der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) zu unterscheiden. Wenn man \(P(A\cap B)\) meint, spricht man von der Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) und \(B\) eintreten. Wenn man \(P(A|B)\) meint, sagt man \(A\) gegeben \(B\), oder: \(A\) wenn \(B\), oder: \(A\) unter der Bedingung \(B\). Wenn man ausdrücklich angeben möchte, dass eine Wahrscheinlichkeit keine bedingte Wahrscheinlichkeit ist, nennt man sie auch eine unbedingte Wahrscheinlichkeit (engl. unconditional probability).
Beispiel: Erwerbsstatus und Geschlecht
Bei einer Umfrage werden Personen zufällig ausgewählt und befragt. Sei \(A\) das Ereignis “die befragte Person ist weiblich”. Sei \(B\) das Ereignis “die befragte Person arbeitet in Teilzeit”. Zwischen der (unbedingten) Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) und der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(B|A)\) besteht ein Unterschied. Die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) steht dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person in Teilzeit arbeitet, und diese Person kann männlich oder weiblich sein. Dagegen ist \(P(B|A)\) die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Frau in Teilzeit arbeitet.
In den Medien werden manchmal bedingte Wahrscheinlichkeiten berichtet, ohne dass das explizit erwähnt wird. Oftmals sind die berichteten bedingten Wahrscheinlichkeiten gar nicht die, für die man sich eigentlich interessiert, weil die Bedingung und das Bedingte quasi falsch herum angeordnet sind. Man interessiert sich für \(P(A|B)\), berichtet wird aber \(P(B|A)\).
Beispiel: Medizinischer Schnelltest
Es wird berichtet, dass ein medizinischer Schnelltest mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent eine infizierte Person korrekt als infiziert (positiv) erkennt und ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent eine nicht infizierte Person als nicht infiziert erkennt (negativ). Sei \(A\) das Ereignis “infiziert” und \(B\) das Ereignis “Test positiv”. Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind bedingte Wahrscheinlichkeiten, und zwar \(P(B|A)=0.99\) und \(P(\bar B|\bar A)=0.99\). Als Testanwender interessiert man sich jedoch eher für die bedingte Wahrscheinlichkeit, tatsächlich infiziert zu sein, wenn der Test positiv ausfällt, also für \(P(A|B)\). Oder auch für die bedingte Wahrscheinlichkeit infiziert zu sein, obwohl der Test negativ ausfällt, also \(P(A|\bar B)\).
Wie kann man eine bedingte Wahrscheinlichkeit “umdrehen”? Wie verhält sich \(P(B|A)\) zu \(P(A|B)?\) Das sehen wir in Kürze im Kapitel 3.5.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind auch nützlich, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mehrere Ereignisse gemeinsam passieren. Dazu formen wir die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit einfach um. Aus \[ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \] wird \[ P(A\cap B)={P(B)P(A|B)}. \] Das lässt sich auf mehr als zwei Ereignisse erweitern:
\[\begin{align*} P(A\cap B \cap C)&=P(C)P(B|C)P(A|B\cap C)\\ P(A\cap B\cap C\cap D)&=P(D)P(C|D)P(B|C\cap D)P(A|B\cap C\cap D) \end{align*}\]
Diese Formeln sind bei näherer Betrachtung intuitiv: Die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\), \(B\) und \(C\) gemeinsam eintreten, ergibt sich, indem man zuerst eine der unbedingten Wahrscheinlichkeiten nimmt (z.B. \(P(C)\)). Nun ist \(C\) quasi eingetreten und wir arbeiten unter der Bedingung \(C\) weiter. Die Wahrscheinlichkeit \(P(C)\) wird jetzt mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des nächsten Ereignisses multipliziert, also \(P(B|C)\). Nun sind \(B\) und \(C\) eingetreten, und auf der nächsten Stufe multiplizieren wir deshalb mit \(P(A|B\cap C)\). Eine andere Reihenfolge der Bedingungen wäre natürlich ebenfalls möglich, z.B. \[ P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A\cap B). \] Für jede Reihenfolge gelangt man zum gleichen Ergebnis.
Beispiel: Kündigungswahrscheinlichkeiten
Eine Bank möchte die Dauer ihrer Geschäftsbeziehungen modellieren. Dazu definiert sie die Ereignisse \(A_d\): “die Geschäftsbeziehung besteht seit \(d\) Jahren” für \(d=0,1,\ldots,D\). Die Bank kennt (aus Erfahrung) die Wahrscheinlichkeit für eine Kündigung in Abhängigkeit von der Dauer (und geht davon aus, dass sich diese Wahrscheinlichkeiten im Laufe der Zeit nicht verändern). Mit \(k_{d,d+1}\) wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass ein Kunde, der schon seit \(d\) Jahren Kunde ist, innerhalb des nächsten Jahres kündigt. Es handelt sich also um die bedingten Wahrscheinlichkeiten \[
k_{d,d+1}=1-P(A_{d+1}|A_d).
\] Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neukunde (\(d=0\)) nach 5 Jahren immer noch Kunde ist, beträgt
\[\begin{align*} P(A_5)&=P(A_5|A_4)P(A_4|A_3)P(A_3|A_2)P(A_2|A_1)P(A_1|A_0)\\ &=(1-k_{4,5})(1-k_{3,4})(1-k_{2,3})(1-k_{1,2})(1-k_{0,1}). \end{align*}\]
3.4 Totale Wahrscheinlichkeit
Aus mehreren bedingten Wahrscheinlichkeiten lässt sich eine unbedingte Wahrscheinlichkeit errechnen. Dazu zerlegen wir den Ergebnisraum \(\Omega\) in eine Partition. Unter einer Partition versteht man eine Zerlegung in disjunkte Mengen \(A_1, A_2, \ldots, A_n\), so dass die Vereinigungsmenge der \(A_1,\ldots, A_n\) wieder \(\Omega\) ergibt. Die “Partitionierung eines Rinds” könnte etwa so aussehen:
Das Rind wird also vollständig in Teilmengen aufgeteilt, und alle Teilmengen zusammen ergeben wieder das gesamte Rind.
Zur Begründung: Da \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) eine Partition ist, gilt
\[\begin{align*} P(B) &= P((B\cap A_1)\cup (B\cap A_2)\cup\ldots\cup(B\cap A_n))\\ &= P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\ldots+P(B\cap A_n)\\ &= P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)P(A_n). \end{align*}\]
Eine besonders simple Partition ist die Unterteilung in \(A\) und \(\bar A\). Dann lautet die Formel \[ P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A). \]
Die unbedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als gewichtete Summe aller bedingten Wahrscheinlichkeiten, die Gewichtung erfolgt durch die Wahrscheinlichkeiten der bedingenden Ereignisse. Dieser Zusammenhang ist dann besonders nützlich, wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten schon bekannt oder einfach zu ermitteln sind, die unbedingte Wahrscheinlichkeit jedoch schwierig zu finden ist.
3.5 Satz von Bayes
Der Satz von Bayes setzt die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P(A|B)\) und \(P(B|A)\) zueinander in Beziehung.
Um die Bedingung und das Bedingte zu vertauschen, braucht man also die beiden unbedingten Wahrscheinlichkeiten. Die Herleitung des Satzes von Bayes ergibt sich aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. Wegen
\[\begin{align*} P(A|B) &= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\ P(B|A) &= \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \end{align*}\]
gilt \[ P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A). \] Daraus folgt durch Umstellen unmittelbar der Satz von Bayes.
3.6 Unabhängigkeit
Eine alternative (fast äquivalente) Definition der Unabhängigkeit lautet so: Die Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen unabhängig, wenn gilt \[ P(A|B)=P(A) \] bzw. wenn \[ P(B|A)=P(B). \] Die Definition über die bedingten Wahrscheinlichkeiten ist etwas intuitiver. Wenn das Wissen darüber, ob \(A\) eingetreten ist oder nicht, für die Wahrscheinlichkeit von \(B\) keine Rolle spielt (und umgekehrt), dann sind \(A\) und \(B\) unabhängig.
Achten Sie darauf, Unabhängigkeit nicht mit Disjunktheit zu verwechseln. Zur Erinnerung: Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind disjunkt, wenn \(A\cap B=\emptyset\), so dass \(P(A\cap B)=0\). Disjunkte Ereignisse können also nicht beide zusammen eintreten. Wenn \(A\) eintritt, kann man sicher sein, dass \(B\) nicht eintritt. Und wenn \(B\) eintritt, kann man sicher sein, dass \(A\) nicht eintritt. Unabhängige Ereignisse können hingegen sehr wohl zusammen eintreten.