第 5 章 Panel

參考資料：

  • Principles of Econometrics with R, Constantin Colonescu: Chapter 15

  • Panel Data Econometrics in R: The plm Package, Yves Croissant and Giovanni Millo.

5.1 效應評估模型

提高啤酒稅（BeerTax）是否有助減低車禍死亡率（mrall）？

mrall=mrall−BeerTax+β∗BeerTax

資料：美國56洲，1982-1988年資料

00.511.522.50.10.150.20.250.30.350.4
1988198719861985198419831982beertaxI(mrall * 1000)

5.2 遺漏變數偏誤

每個州的飲酒文化不同，愛喝酒的州自然「車禍死亡率」高，如果愛喝酒的州的「啤酒稅」也高，那比較「啤酒稅」高低的州，其「死亡率」帶有比較「愛喝酒程度」高低的意含。

「州愛喝酒程度」並不會真的有這個變數，這時有以下解決方法：

  • 找替代變數（即proxies）來當控制變數。

  • 找工具變數保留BeerTax中不與mrall−BeerTax相關的部份。

  • 依遺漏變數變動面向特質，去除mrall−BeerTax中受遺漏變數影響的部份。

5.3 訊息拆解

令W代表「州愛喝酒程度」。上面的論述表示：

  • W與mrall−BeerTax有關

  • W與BeerTax有關

我們可使用W對mrall−BeerTax進行訊息拆解。

拆解後的結果如何？

mrall−BT=E(mrall−BT|W)+(mrall−BT−E(mrall−BT|W))

5.4 固定效果模型

透過訊息拆解我們可以把效應模型寫成：

mrall=(mrall−BT−E(mrall−BT|W))+E(mrall−BT|W)+β∗BeerTax

其中令 mrall−BT,−W≡mrall−BT−E(mrall−BT|W) 故效應結構可以寫成： mrall=mrall−BT,−W+E(mrall−BT|W)+β∗BeerTax

mrall−BT,−W 為「去除」W影響的「非啤酒稅造成的車禍死亡因素」：

  • 它與W無關。

  • 若兩筆資料有相同飲酒文化，即W相同，他們的E(mrall−BT|W)會相同。

「假設」一個地方的飲酒文化「不隨時間改變」，即同一州在不同時點的W相同。


我們使用下標i代表第i個州，下標t代表第t期資料，令 E(mrall−BT,it|Wi)=αi 故我們的效應模型可以寫成： mrallit=mrall−BT,−W,it+αi+β∗BeerTaxit 其中αi為第i個州的固定效果：

  • 只有下標i，因為資料若來自相同州，其內含的效果是固定相同的。

回顧：

我們由一開始的效應模型： mrallit=mrall−BT,it+β∗BeerTaxit 擔心BeerTax與mrall−BT有關，原因是W從中作祟。要對付它，我們把它從mrall−BT分離出來，再加上對它認知，認為W在同一州內是固定值，故分離出來的部份可以寫成αi，也就是說： mrall−BT,it=mrall−BT,−W,it+αi 因此效應式可以寫成： mrallit=mrall−BT,−W,it+αi+β∗BeerTaxit 此時

  • BeerTax與mrall−BT,−W無關
  • BeerTax與α有關

mrallit=mrall−BT,−W,it+αi+β∗BeerTaxit 這條效應迴歸式要能做估計使用只有當我們有αi資料可進行複迴歸估計時。實際上是，我們「沒有αi資料」但知道「αi在同一州內固定」。

5.5 差分最小平方法

考慮「同一州」，兩個時點t=0,1的效應式： mralli0=mrall−BT,−W,i0+αi+β∗BeerTaxi0mralli1=mrall−BT,−W,i1+αi+β∗BeerTaxi1

考慮如下的迴歸模型：

mralli1−mralli0=β0+β1(BeerTaxi1−BearTaxi0)+ϵi

請問ϵ代表什麼？又OLS下ˆβ1會是β∗的一致性估計嗎？

OLS的母體迴歸線代表 E(mralli1−mralli0|BeerTaxi1−BeerTaxi0)=E(mrall−BT,−W,i1−mrall−BT,−W,i0|BeerTaxi1−BeerTaxi0)+β∗(BeerTaxi1−BeerTaxi0) 其中mrall−BT,−W,it與BeerTaxit已無關連，故 E(mrall−BT,−W,i1−mrall−BT,−W,i0|BeerTaxi1−BeerTaxi0)=E(mrall−BT,−W,i1−mrall−BT,−W,i0) 因此 β0=E(mrall−BT,−W,i1−mrall−BT,−W,i0)β1(BeerTaxi1−BeerTaxi0)=β∗(BeerTaxi1−BeerTaxi0)ϵi=(mrall−BT,−W,i1−mrall−BT,−W,i0)−E(mrall−BT,−W,i1−mrall−BT,−W,i0)


回顧： mrallit=mrall−BT,−W,it+αi+β∗BeerTaxit 是無法用來估計效應的迴歸模型，阻礙來源是αi。差分在這裡拿掉了這層阻礙而得到 mralli1−mralli0=β∗(BeerTaxi1−BearTaxi0)+(mrall−BT,−W,i1−mrall−BT,−W,i0)

5.6 組內差異最小平方法

回顧我們的效應結構： mrallit=mrall−BT,−W,it+αi+β∗BeerTaxit

如果t超過兩期，考慮用組內平均為差分比較的點。

若x1,x2,...,xn為同一群組資料，他們與組內平均的差分即代表各自組內差異，即x1−ˉx,x2−ˉx,...,xn−ˉx其中ˉx=∑ni=1xi/n。

令 ¯mralli=T∑t=1mrallit/T¯BeerTaxi=T∑t=1BeerTaxit/T¯mrall−BT,−W,i=T∑t=1mrall−BT,−W,it/T

則

mrallit−¯mralli=β∗(BeerTaxit−¯BeerTaxi)+(mrall−BT,−W,it−¯mrall−BT,−W,i)

固定效果模型下，我們可以以最小平方法估計下面的迴歸式： mrallit−¯mralli=β0+β1(BeerTaxit−¯BeerTaxi)+ϵit 其中ˆβ1即為β∗的一致性估計

另外，在數學上我們可以證明組內差異最小平方法，和以下使用虛擬變數為複迴歸控制變數的ˆβ1相同： mrallit=N∑k=1αiDki+β1BeerTaxit+ϵit 其中虛擬變數Dk=1若資料來自第k個州，故組內差異最小平方估計又稱為虛擬變數最小平方估計(Least Square Dummy Variable estimation, LSDV)。

0.10.20.30.40.50.60.70.80.140.160.180.20.220.240.26
2316965beertaxI(mrall * 1000)

5.7 常見的固定效果模型

固定效果泛指效應殘差效果（即這裡的mrall−BT,it）可以再進一步分離出「在一群資料中固定不變」的部份（即這裡的αi=E(mrall−BT,it|Wi)），我們使用下標來呈現固定效果的固定不變面向（即這裡的αi）。

在追踪資料中，常見的固定效果面向有以下兩個面向：

  • Identity fixed effect: αi

  • Time fixed effect: δt

如： mrall−BT,it=mrall−BT,−Wi,−Zt+αi+δt 其中

  • Wi為造成效應係數估計偏誤的變數，它在i面向固定不變。

  • Zt為造成效應係數估計偏誤的變數，它在t面向固定不變。

範例：Zt為全美國的景氣狀況。

迴歸模型忽略「全美國景氣狀況」會造成效應係數估計偏誤的經濟故事是什麼？

固定效果下的效應結構模型： mrallit=mrall−BT,−W,−Z,it+αi+δt+β∗BeerTaxit 對應的迴歸模型： mrallit=αi+δt+β1BeerTaxit+ϵit

  • 迴歸模型通常不寫常數項(β0)，常見固定效果寫法已包含了常數項。（在某些狀況為了方便說明，才會把β0分離出來——有沒有寫β0都可以。）
  • 這裡因為常數項是隱含的，所以ϵit的定義和之前一樣： ϵit=mrall−BT,−W,−Z,it−E(mrall−BT,−W,−Z,it|BT,W,Z)

5.8 認定問題

效應變數變動面向

假設每一州的啤酒稅在樣本期間都「不隨」時間改變，考慮以下的固定效果效應模型： mrallit=mrall−BT,−W,it+αi+β∗BeerTaxi

使用組內差異最小平方法估計會有什麼問題？

LSDV虛擬變數個數

LSDV法下的迴歸模型： mrallit=N∑k=1αkDki+β1BeerTaxit+ϵit

考慮這個迴歸模型： mrallit=β0+N∑k=1αkDki+β1BeerTaxit+ϵit 它多了常數項，在OLS估計時會有什麼問題？


固定效果下的效應結構模型： mrallit=mrall−BT,−W,−Z,it+αi+δt+β∗BeerTaxit 對應的迴歸模型： mrallit=αi+δt+β1BeerTaxit+ϵit (1) 使用組內差異最小平方法要如何demean去除固定效果？
(2) 使用LSDV估計，若使用以下的迴歸模型表示，它會有什麼問題？ mrallit=N∑k=1αkDki+T∑j=1δjBjt+β1BeerTaxit+ϵit

5.9 廣義的固定效果模型

接下來我們以固定效果只在identity(i)及time(t)面向固定來總結。

效應結構模型：

mrallit=mrall−BT,it+β∗BeerTaxit

但 mrall−BT,it⊥̸

複迴歸控制

先思考造成(5.1)的變數有哪些——統計上稱這些變數為混淆變數(confounder)。Confounder中有資料的（令為Z）可進一步用來擴充模型成為：

mrall_{it}=mrall_{-BT,-Z,it}+\beta^*BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}

其中： mrall_{-BT,-Z}=mrall_{-BT}-\mathbb{E}(mrall_{-BT}|Z)

固定效果模型

Confounder中沒有資料但在某些面向固定的，假設分成以下兩類：

  • W_i：在同個identity下固定。
  • V_t：在同個time下固定。

則擴充效應模型成為：

\begin{eqnarray} mrall_{it}=mrall_{-BT,-(Z,W,V),it}+\beta^*BeerTax_{it}+\\ \alpha_i+\delta_t+\gamma'Z_{it} \tag{5.2} \end{eqnarray}

其中： mrall_{-BT,-(Z,W,V),it}=mrall_{-BT,it}-\mathbb{E}(mrall_{-BT,it}|Z_{it},W_i,V_t) 且假設
  • \mathbb{E}(mrall_{-BT,it}|Z_{it},W_i,V_t)=\alpha_i+\delta_t+\gamma'Z_{it}
  • mrall_{-BT,-(Z,W,V),it}\perp BeerTax_{it}

(5.2)是相當廣義的固定效果效應模型——有兩個面向的固定效果及控制變數。

  1. (5.2)所對應的迴歸模型長怎麼樣？
  2. 使用組內差異最小平方法要如何估計？
  3. 使用LSDV最小平方法要如何估計？

5.10 異質變異

考慮如下的固定效果迴歸模型： mrall_{it}=\alpha_{i}+\beta_{1}BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}+\epsilon_{it} 令 \begin{eqnarray} \overrightarrow{\epsilon}_{i}=\left[\begin{array}{c} \epsilon_{i1}\\ \epsilon_{i2}\\ \vdots\\ \epsilon_{iT} \end{array}\right] \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \textbf{e}=\left[\begin{array}{c} \overrightarrow{\epsilon}_{1}\\ \overrightarrow{\epsilon}_{2}\\ \vdots\\ \vdots\\ \overrightarrow{\epsilon}_{N} \end{array}\right] \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mathbb{E}(\textbf{ee}'|X)=\mathbb{E}\left[\begin{array}{ccccc} \mathbb{E}(\overrightarrow{\epsilon}_{1}\overrightarrow{\epsilon}_{1}'|X) & \mathbb{E}(\overrightarrow{\epsilon}_{1}\overrightarrow{\epsilon}_{2}'|X) & \cdots & \cdots & \mathbb{E}(\overrightarrow{\epsilon}_{1}\overrightarrow{\epsilon}_{N}'|X)\\ \mathbb{E}(\overrightarrow{\epsilon}_{2}\overrightarrow{\epsilon}_{1}'|X) & \mathbb{E}(\overrightarrow{\epsilon}_{2}\overrightarrow{\epsilon}_{2}'|X) & & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ \mathbb{E}(\overrightarrow{\epsilon}_{N}\overrightarrow{\epsilon}_{1}'|X) & \mathbb{E}(\overrightarrow{\epsilon}_{N}\overrightarrow{\epsilon}_{2}'|X) & & & \mathbb{E}(\overrightarrow{\epsilon}_{N}\overrightarrow{\epsilon}_{N}'|X) \end{array}\right] \end{eqnarray}

其中X代表資料訊息，這裡包含資料來自的i,t及BeerTax_{it},Z_{it}值。

\mathbb{E}(\textbf{ee}'|X)會長什麼樣？

5.11 隨機效果模型

回顧效應模型： mrall_{it}=mrall_{-BT,-Z,it}+\beta^*BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}

隨機效果模型(Random Effect model)的設定：

  • 使用迴歸模型：
    \begin{eqnarray} mrall_{it}=\beta_0+\beta_{1}BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}+\nu_{it} \tag{5.3} \end{eqnarray}

  • 假設\nu_{it}具有某種結構。
  • 含常數項，\beta_0=\mathbb{E}(mrall_{-BT,-Z,it})，所以 \nu_{it}=mrall_{-BT,-Z,it}-\mathbb{E}(mrall_{-BT,-Z,it})

  • 我們可訊息拆解出\nu_{it}的固定效果項： \nu_{it}=\alpha_i+(\nu_{it}-\mathbb{E}(\nu_{it}|W_i)) 其中\alpha_i=\mathbb{E}(\nu_{it}|W_i)

  • 令\epsilon_{it}=v_{it}-\mathbb{E}(v_{it}|W_i)，則：
    \nu_{it}=\alpha_i+\epsilon_{it}


要有什麼假設才能保證(5.3)式迴歸模型\beta_1最小平方估計式為\beta^*的一致性估計式？


假設

  • var(\alpha_i|X)=\sigma_{\alpha}^2
  • var(\epsilon_{it}|X)=\sigma^2
  • cov(\epsilon_{it},\epsilon_{is}|X)=0

令 \textbf{v}=\left[\begin{array}{c} \nu_{11}\\ \vdots\\ \nu_{1T}\\ \nu_{21}\\ \vdots\\ \nu_{2T}\\ \vdots\\ \nu_{NT} \end{array}\right]

請問\mathbb{E}(\textbf{vv}'|X)會長怎麼樣？


隨機效果模型與GLS

給定迴歸模型： mrall_{it}=\beta_0+\beta_{1}BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}+\nu_{it} 及其\mathbb{E}(\textbf{vv}'|X)=\Omega。

此迴歸模型的GLS估計要怎麼做？


隨機效果模型帶有高度誤差項假設，故不建議使用。

5.12 Hausman檢定

固定效果模型(FE)

表示使用組內差異最小平法方去估算以下迴歸模型中的\beta_1: mrall_{it}=\beta_0+\beta_{1}BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}+\alpha_i+\epsilon_{it}

隨機效果模型(RE)

表示使用GLS去估算以下迴歸模型中的\beta_1: mrall_{it}=\beta_0+\beta_{1}BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}+\nu_{it}

  • 其中\nu_{it}=\alpha_i+\epsilon_{it}

假設

  • RE下「關於variance、covariance的假設」都成立。
  • \epsilon_{it} \perp BeerTax_{it} | \alpha_i,Z_{it}

考慮以下的虛無假設

\textbf{H0}: \alpha_i \perp BeerTax_{it} |Z_{it}

在虛無假設下，隨機效果模型（RE）與固定效果模型（FE）的估算方式，何者有一致性？