第 1 章 OLS

1. “受教育年限越高，是否年薪會越高？”
   這裡的解釋變數($X$)與被解釋變數($Y$)分別是什麼？而$\varepsilon$又可能代表那些東西？

1.1 因果關連

2. 小明高中畢業，目前年薪30萬元。要驗證「若小明有上大學，他可獲得較高的年薪」，請問要做什麼樣的情境比較？

$i$代表小明：

被解釋變數	情境
$Y_{0i}$	只有高中畢業的小明
$Y_{1i}$	有大學畢業的小明

考慮以下的比較： $$Y_{0i}-Y_{1i}$$ 由於都是小明(i)，所以上述比較具備有大學文憑帶給小明的薪資效果（具有因果詮釋力）。

3. 小娟大學畢業，目前年薪60萬元。要驗證「若小娟沒有上大學，她可獲得的年薪會變低」，請問要做什麼樣的情境比較？

$j$代表小娟：

被解釋變數	情境
$Y_{0j}$	只有高中畢業的小娟
$Y_{1j}$	有大學畢業的小娟

在上面的兩個例子，都有一個情境的薪資是觀察不到的。令Y代表觀察到的薪資（可能是大學薪資$Y_1$，也可能是高中薪資$Y_0$，視對象實際有無上大學而定）；則
$$Y_k=Y_{0k}+(Y_{1k}-Y_{0k}) T_{k}$$ 這裡$k$泛指任何人。上式表示：

每一個有大學文憑的人（即T=1），他的實際薪資是他的「高中文憑薪資」再加上「大學學歷效果」所造成。

令$\delta_k\equiv Y_{1k}-Y_{0k}$代表每個人的大學文憑效果。

假設每個人的文憑效果相同$\delta_k=\delta$, 則： $$Y_k=Y_{0k}+\delta T_{k}$$ 這裡的$\delta$即為我們所要估計的效應值。

效應值是邏輯論述下的描述，並不是所謂的迴歸模型，也還不涉及任何統計操作。

1.2 效應評估

給定效應模型： $$\begin{equation} Y_k=Y_{0k}+\delta T_{k} \tag{1.1} \end{equation}$$

我們想進一步評估效應參數$\delta$。

4. 考慮用$Y_{1j}-Y_{0i}$代表上大學（對上只有高中畢業）給小明和小娟帶來的薪資效果，你需要什麼假設？

• 小娟若沒有上大學，她現在的薪資和小明一樣。($Y_{0i}=Y_{0j}$)

任選兩個人他們的高中文憑薪資要相同的可能性很低，你會怎麼做呢？

隨機抽不同學歷的兩「群」人（最好大樣本），比較他們的薪資差異。

考慮以下平均薪資差異： $$\bar{Y}_{college}-\bar{Y}_{highschool}$$

針對(1.1)式，上式是在估計什麼？

$\mathbb{E}(Y|T=1)-\mathbb{E}(Y|T=0)$

1.3 選擇偏誤

$\mathbb{E}(Y|T=1)-\mathbb{E}(Y|T=0)$會等於$\delta$嗎?

$\mathbb{E}(Y_{0}|T=1)-\mathbb{E}(Y_{0}|T=0)+\delta$

隨機抽樣下，大學畢業生的平均「高中文憑薪資」與高中畢業生的平均「高中文憑薪資」有很大的機會是不同的。

你可以想到造成不同的理由嗎？

經濟直覺：

立足點高的人（即「高中文憑薪資」高的）比較傾向上大學（即選擇接受T＝1的試驗）, 所以單純比較實際大學平均薪資與實際高中平均薪資，其中的差異除了反應大學文憑效果外，也反應了立足點差異程度。

若個體立足點高低會影響其選擇接受試驗與否，此時造成的效應評估偏誤稱之為「選擇偏誤（selection bias）」。

要能對因果關係進行合理評估，除了邏輯上兩者要存在可能因果外，還需要：

• 個體會不會被treated（即最後有沒有上大學，T），必需與個體還沒決定（或被決定）接受treated「前」的狀態（即只拿高中文憑的薪資成就，$Y_0$）無關。

另外，

• 隨機抽樣（random sampling）並不一定產生隨機試驗（random assignment of treatments）的效果。

1.4 條件式獨立

有些時候「立足點」與「受試選擇」會有關連（以至於產生選擇偏誤），主要是透過某些影響立足點的變數造成。

考慮如下情境：

1. 「高中文憑薪資」與「上大學」的關連主要是透過「家庭所得」：

   *「家庭所得」越高的家庭，小孩就算只有高中文憑，家庭資源也會使得他們的薪資表現不錯。

   *「家庭所得」越高，個人越可能選擇「上大學」。

2. 其他有可能影響「高中文憑薪資」的因素，假設都不會影響個人「上大學」決策。

比較來自相同「家庭所得」的一大群人，若當中有大學文憑的平均薪資與只有高中文憑的平均薪資有差異，這差異會是「高中文憑薪資」立足點差異造成的嗎？

在固定「家庭所得（HIncome）」條件下，「高中文憑薪資」（立足點）與「上大學」彼此無關連，此稱為條件獨立（conditional independence），數學表示為： $$\begin{equation} Y_{0i}\perp T_i | HIncome_i \tag{1.2} \end{equation}$$ 它也意含 $$\mathbb{E}(Y_{0i}|HIncome_i,T_i)=\mathbb{E}(Y_{0i}|HIncome_i)。$$

1.5 複迴歸模型

比較母體中同家庭所得層次樣本，此時有無「上大學」兩群人的平均薪資差異： $$\mathbb{E}(Y|T=1,HIncome)-\mathbb{E}(Y|T=0,HIncome)，$$ 會得到大學文憑效應值嗎？

$$\begin{align} \begin{split} \mathbb{E}(Y|T&=1,HIncome)-\mathbb{E}(Y|T=0,HIncome)\\&=\mathbb{E}(Y_{0}|T=1,HIncome)-\mathbb{E}(Y_{0}|T=0,HIncome)+\delta\\&=\mathbb{E}(Y_{0}|HIncome)-\mathbb{E}(Y_{0}|HIncome)+\delta\\&=\delta \end{split} \tag{1.3} \end{align}$$

隨機變數訊息拆解

任何隨機變數一定可以被拆解成「可被解釋變數捕捉」的部份和「無法由被解釋變數捕捉」的部份，例如： $$Y=\mathbb{E}(Y|T,HIncome)+(Y-\mathbb{E}(Y|T,HIncome))$$ 令$\varepsilon=Y-\mathbb{E}(Y|T,HIncome)$，則： $$Y=\mathbb{E}(Y|T,HIncome)+\varepsilon.$$ 其中 $$\begin{align} \mathbb{E}(Y|T,HIncome) =\mathbb{E}(Y_{0}|T,HIncome)+\delta T =\mathbb{E}(Y_{0}|HIncome)+\delta T \end{align}$$ 若$\mathbb{E}(Y_{0}|HIncome)=\beta_0+\beta_1HIncome$為線性關連，則 $$\begin{equation} Y=\beta_0+\beta_1HIncome+\delta T+\varepsilon \tag{1.4} \end{equation}$$ 表示用迴歸模型(1.4)所得到的母體迴歸線可以用來代表$\mathbb{E}(Y|T,HIncome)$。

幾個重要觀念

1. 迴歸模型可以幫我們得到$\mathbb{E}(Y|T,HIncome)$值。
   
2. 但$\mathbb{E}(Y|T,HIncome)$是否有助於提煉出所要的效應值得回到效應模型來看。
   

由本節的問題討論，我們得知：

若「高中文憑薪資高低」（立足點）與「上大學與否」在相同「家庭所得」條件下會獨立，即(1.2)條件獨立成立，則上述複迴歸式的OLS估計式可以得到大學文憑效應的合理估計。

當迴歸分析的目的在衡量「因果效應」時，我們使用複迴歸的目的在於：

• 確保「試驗變數」與「立足點」在相同「控制背景」下，具有《條件性獨立》的特質。