第 1 章 OLS
- “受教育年限越高，是否年薪會越高？”
這裡的解釋變數(\(X\))與被解釋變數(\(Y\))分別是什麼？而\(\varepsilon\)又可能代表那些東西？
1.1 因果關連
- 小明高中畢業，目前年薪30萬元。要驗證「若小明有上大學，他可獲得較高的年薪」，請問要做什麼樣的情境比較？
\(i\)代表小明：
| 被解釋變數 | 情境 |
|---|---|
| \(Y_{0i}\) | 只有高中畢業的小明 |
| \(Y_{1i}\) | 有大學畢業的小明 |
考慮以下的比較： \[Y_{0i}-Y_{1i}\] 由於都是小明(i)，所以上述比較具備有大學文憑帶給小明的薪資效果（具有因果詮釋力）。
- 小娟大學畢業，目前年薪60萬元。要驗證「若小娟沒有上大學，她可獲得的年薪會變低」，請問要做什麼樣的情境比較？
\(j\)代表小娟：
| 被解釋變數 | 情境 |
|---|---|
| \(Y_{0j}\) | 只有高中畢業的小娟 |
| \(Y_{1j}\) | 有大學畢業的小娟 |
在上面的兩個例子，都有一個情境的薪資是觀察不到的。令Y代表觀察到的薪資（可能是大學薪資\(Y_1\)，也可能是高中薪資\(Y_0\)，視對象實際有無上大學而定）；則
\[Y_k=Y_{0k}+(Y_{1k}-Y_{0k}) T_{k}\] 這裡\(k\)泛指任何人。上式表示：
每一個有大學文憑的人（即T=1），他的實際薪資是他的「高中文憑薪資」再加上「大學學歷效果」所造成。
令\(\delta_k\equiv Y_{1k}-Y_{0k}\)代表每個人的大學文憑效果。
假設每個人的文憑效果相同\(\delta_k=\delta\), 則： \[Y_k=Y_{0k}+\delta T_{k}\] 這裡的\(\delta\)即為我們所要估計的效應值。
效應值是邏輯論述下的描述，並不是所謂的迴歸模型，也還不涉及任何統計操作。
1.2 效應評估
給定效應模型： \[\begin{equation} Y_k=Y_{0k}+\delta T_{k} \tag{1.1} \end{equation}\]
我們想進一步評估效應參數\(\delta\)。
- 考慮用\(Y_{1j}-Y_{0i}\)代表上大學（對上只有高中畢業）給小明和小娟帶來的薪資效果，你需要什麼假設？
- 小娟若沒有上大學，她現在的薪資和小明一樣。(\(Y_{0i}=Y_{0j}\))
任選兩個人他們的高中文憑薪資要相同的可能性很低，你會怎麼做呢？
隨機抽不同學歷的兩「群」人（最好大樣本），比較他們的薪資差異。
考慮以下平均薪資差異： \[\bar{Y}_{college}-\bar{Y}_{highschool}\]
針對(1.1)式，上式是在估計什麼？
\(\mathbb{E}(Y|T=1)-\mathbb{E}(Y|T=0)\)
1.3 選擇偏誤
\(\mathbb{E}(Y|T=1)-\mathbb{E}(Y|T=0)\)會等於\(\delta\)嗎?
\(\mathbb{E}(Y_{0}|T=1)-\mathbb{E}(Y_{0}|T=0)+\delta\)
隨機抽樣下，大學畢業生的平均「高中文憑薪資」與高中畢業生的平均「高中文憑薪資」有很大的機會是不同的。
你可以想到造成不同的理由嗎？
立足點高的人（即「高中文憑薪資」高的）比較傾向上大學（即選擇接受T＝1的試驗）, 所以單純比較實際大學平均薪資與實際高中平均薪資，其中的差異除了反應大學文憑效果外，也反應了立足點差異程度。
若個體立足點高低會影響其選擇接受試驗與否，此時造成的效應評估偏誤稱之為「選擇偏誤（selection bias）」。
要能對因果關係進行合理評估，除了邏輯上兩者要存在可能因果外，還需要：
- 個體會不會被treated（即最後有沒有上大學，T），必需與個體還沒決定（或被決定）接受treated「前」的狀態（即只拿高中文憑的薪資成就，\(Y_0\)）無關。
另外，
- 隨機抽樣（random sampling）並不一定產生隨機試驗（random assignment of treatments）的效果。
1.4 條件式獨立
有些時候「立足點」與「受試選擇」會有關連（以至於產生選擇偏誤），主要是透過某些影響立足點的變數造成。
考慮如下情境：「高中文憑薪資」與「上大學」的關連主要是透過「家庭所得」：
*「家庭所得」越高的家庭，小孩就算只有高中文憑，家庭資源也會使得他們的薪資表現不錯。
*「家庭所得」越高，個人越可能選擇「上大學」。
- 其他有可能影響「高中文憑薪資」的因素，假設都不會影響個人「上大學」決策。
比較來自相同「家庭所得」的一大群人，若當中有大學文憑的平均薪資與只有高中文憑的平均薪資有差異，這差異會是「高中文憑薪資」立足點差異造成的嗎？
在固定「家庭所得（HIncome）」條件下，「高中文憑薪資」（立足點）與「上大學」彼此無關連，此稱為條件獨立（conditional independence），數學表示為： \[\begin{equation} Y_{0i}\perp T_i | HIncome_i \tag{1.2} \end{equation}\] 它也意含 \[\mathbb{E}(Y_{0i}|HIncome_i,T_i)=\mathbb{E}(Y_{0i}|HIncome_i)。\]
1.5 複迴歸模型
比較母體中同家庭所得層次樣本，此時有無「上大學」兩群人的平均薪資差異： \[\mathbb{E}(Y|T=1,HIncome)-\mathbb{E}(Y|T=0,HIncome)，\] 會得到大學文憑效應值嗎？
\[\begin{align} \begin{split} \mathbb{E}(Y|T&=1,HIncome)-\mathbb{E}(Y|T=0,HIncome)\\&=\mathbb{E}(Y_{0}|T=1,HIncome)-\mathbb{E}(Y_{0}|T=0,HIncome)+\delta\\&=\mathbb{E}(Y_{0}|HIncome)-\mathbb{E}(Y_{0}|HIncome)+\delta\\&=\delta \end{split} \tag{1.3} \end{align}\]
隨機變數訊息拆解
任何隨機變數一定可以被拆解成「可被解釋變數捕捉」的部份和「無法由被解釋變數捕捉」的部份，例如： \[Y=\mathbb{E}(Y|T,HIncome)+(Y-\mathbb{E}(Y|T,HIncome))\] 令\(\varepsilon=Y-\mathbb{E}(Y|T,HIncome)\)，則： \[Y=\mathbb{E}(Y|T,HIncome)+\varepsilon.\] 其中 \[\begin{align} \mathbb{E}(Y|T,HIncome) =\mathbb{E}(Y_{0}|T,HIncome)+\delta T =\mathbb{E}(Y_{0}|HIncome)+\delta T \end{align}\] 若\(\mathbb{E}(Y_{0}|HIncome)=\beta_0+\beta_1HIncome\)為線性關連，則 \[\begin{equation} Y=\beta_0+\beta_1HIncome+\delta T+\varepsilon \tag{1.4} \end{equation}\] 表示用迴歸模型(1.4)所得到的母體迴歸線可以用來代表\(\mathbb{E}(Y|T,HIncome)\)。
幾個重要觀念
- 迴歸模型可以幫我們得到\(\mathbb{E}(Y|T,HIncome)\)值。
- 但\(\mathbb{E}(Y|T,HIncome)\)是否有助於提煉出所要的效應值得回到效應模型來看。
若「高中文憑薪資高低」（立足點）與「上大學與否」在相同「家庭所得」條件下會獨立，即(1.2)條件獨立成立，則上述複迴歸式的OLS估計式可以得到大學文憑效應的合理估計。
當迴歸分析的目的在衡量「因果效應」時，我們使用複迴歸的目的在於：
- 確保「試驗變數」與「立足點」在相同「控制背景」下，具有《條件性獨立》的特質。