第 7 章 Difference-in-Differences (DiD) Estimation

• What’s new in Econometrics? Difference-in-Differences Estimation, Imbens and Wooldridge, NBER, 2007.

7.1 效應評估模型

效應問句：

“提高最低工資是否會減少就業？”

“最低工資提高是否餐廳的全職員工數會減少？”

假設$MinWage$為「最低工資有提高」的虛擬變數，$FEmp$為餐廳全職員工數。

效應模型長怎麼樣？

$$FEmp=FEmp_{\ MinWage=0}+\beta^*MinWage$$

令$i$代表第$i$家餐廳，則效應模型可以寫成： $$FEmp_i=FEmp_{0,i}+\beta^*MinWage_i$$ 考慮如下的迴歸模型： $$FEmp_i=\beta_0+\beta_1 MinWage_i+\epsilon_i$$

要有什麼條件，迴歸模型的OLS估計才會有效應係數的一致性估計？

這些餐廳在「沒有受到最低工資提高影響下的員工數」（$FEmp_{0,i}$）不與「有無受到最低工資提高影響」（$MinWage_i$）有關。

因為迴歸模型的$\epsilon=FEmp_{0}-\mathbb{E}(FEmp_0)$，所以代表數學上$MinWage$與$\epsilon$無關。

7.2 個體資料對上總體變數

通常最低工資政策是對整個國家或整個州適用，以美國為例，在1992年4月，新澤西州(NJ)的最低工資由$4.25調高到了$4.50，但鄰近的賓州(PA)，則維持在$4.25。

若資料均來自1992年4月以後的時間，則$MinWage=1$與$MinWage=0$會分別代表NJ與PA的餐廳。

令$s$表示餐廳所屬的州，則原本的效應模型可以寫成： $$\begin{eqnarray} FEmp_{is}=FEmp_{0,is}+\beta^*MinWage_{s} \tag{7.1} \end{eqnarray}$$

這裡$MinWage$只有下標$s$，因為同一州內的餐廳適用相同的政策。1992年4月以後的資料，$MinWage$將資料區分成兩群：

• 實驗組(treatment group,$MinWage=1$)：NJ
  
• 控制組(control group,$MinWage=0$)：PA

若效應模型(7.1)已滿足獨立性條件（即無忽略變數估計偏誤可能）:

1. 請設定迴歸模型。
   
2. 說明迴歸模型中$MinWage$係數代表實驗組與控制組$FEmp$的母體平均相減。

7.3 訊息拆解

餐廳的型態（大型連鎖、咖啡店、小吃店等等）會影響員工僱用量。

先考慮個體層級的效應關係： $$FEmp_{is}=FEmp_{0,is}+\beta^*MinWage_{s}$$

請對$FEmp_{0}$進行訊息拆解。

$$FEmp_{0,is}=FEmp_{0,is}-\mathbb{E}(FEmp_{0,is}|type_{is})+\mathbb{E}(FEmp_{0,is}|type_{is})$$

7.4 複迴歸模型

考慮控制$type$的效應模型： $$\begin{eqnarray} FEmp_{is} =FEmp_{0,-type,is}+\beta^*MinWage_s+\gamma'type_{is} \tag{7.2} \end{eqnarray}$$ 其中 $$FEmp_{0,-type,is}=FEmp_{0,is}-\mathbb{E}(FEmp_{0,is}|type_{is})$$

考慮如下的迴歸模型：
$$FEmp_{is} =\beta_0+\beta_1 MinWage_s+\epsilon_{is}$$ 1. 請問母體迴歸係數代表什麼？
2. 假設效應模型(7.2)中$FEmp_{0,-type,is}$與$MinWage_s$無關連。母體迴歸係數要等於$\beta^*$的條件是什麼？

在思考怱略變數偏誤(omitted variable bias)時，可能的confounder都必需放在（依實驗組/控制組分的）加總層級來思考。

範例中，可能的confounder是$type_{is}$（即懷疑它會影響$FEmp_{is}$），我們必需思考

• 是否實驗組（即$MinWage=1$）裡的 $type$母體平均與控制組（即$MinWage=0$）裡的$type$母體平均不同——也就是「是否$\mathbb{E}(type_{is}|MinWage_s)\neq\mathbb{E}(type_{is})$？」。

Confounder思考，以type為例：

1. $type_{is}$會影響$FEmp_{0,is}$嗎?
   
2. $\mathbb{E}(type_{is}|MinWage_s)\neq\mathbb{E}(type_{is})$嗎？

7.5 固定效果

組固定效果

效應模型： $$FEmp_{is}=FEmp_{0,is}+\beta^*MinWage_{s}$$

多數時候實驗組/控制組在政策還沒施行前，他們就存在組間的特質差異，也就是 $$FEmp_{0,is}=FEmp_{0,-\alpha_s,is}+\alpha_s$$ 其中$\alpha_s$代表因組而異的confounder效果。

提出一個組層級且不隨時間改變的confounder。

若組層級的confounder不隨時間改變，你會如何去除此confounder的影響？

考慮不同期的資料並用時間下標$t$區分，則效應模型可以寫成： $$FEmp_{ist}=FEmp_{0,-\alpha_s,ist}+\alpha_s+\beta^*MinWage_{st}$$

若沒有其他confounder，我們可以估計以下迴歸模型：
$$FEmp_{ist}=\alpha_s+\beta^* MinWage_{st}+\epsilon_{ist}$$

在1992年4月NJ才調高最低工資，PA維持不變。若資料均來自1992年4月以後，上述迴歸模型會有什麼估計問題？

時間固定效果

一旦引入時間，我們可以考慮「因時而異」但「不因組而異」的confounder。

針對我們的範例，提出一個「因時而異」但「不因組而異」的confounder。

上述的變數表示應進一步分離出時間固定效果，故效應模型可寫為： $$FEmp_{ist}=FEmp_{0,-(\alpha_s,\delta_t),ist}+\alpha_s+\delta_t+\beta^*MinWage_{st}$$

所對應的迴歸模型為：
$$FEmp_{ist}=\alpha_s+\delta_t+\beta^* MinWage_{st}+\epsilon_{ist}$$

資料追踪/不追踪

雖然$FEmp_{ist}$有到個別餐廳（即有下標$i$），然而固定效果只到組層級（即下標$s$），因此在估計上我們並不需要追踪同一家餐廳——各期抽樣的餐廳可以不同。

如果資料是追踪資料可以嗎？

7.6 時間效果固定/不固定

起始效應模型： $$FEmp_{ist}=FEmp_{0,ist}+\beta^*MinWage_{st}$$ 接著對$FEmp_{0,ist}$進行「組」及「時間」面向的訊息拆解： $$FEmp_{0,ist}=FEmp_{0,-(\alpha_s,\delta_t),ist}+\alpha_s+\delta_t$$ 其中 $$\begin{align} \alpha_s+\delta_t & \equiv \mathbb{E}(FEmp_{0,ist}|s,t)\\ FEmp_{0,-(\alpha_s,\delta_t),ist} & = FEmp_{0,ist}-\mathbb{E}(FEmp_{0,ist}|s,t) \end{align}$$ 而得到效應模型： $$FEmp_{ist}=FEmp_{0,-(\alpha_s,\delta_t),ist}+\alpha_s+\delta_t+\beta^*MinWage_{st}$$

注意： $$\mathbb{E}(FEmp_{0,ist}|s,t) \equiv \alpha_s+\delta_t$$ 是假設的結果。

此線性關係對NJ和PA有什麼隱含假設？

7.7 差中差(Difference-in-differences, DD)估計法

效應模型： $$FEmp_{ist}=FEmp_{0,-(\alpha_s,\delta_t),ist}+\alpha_s+\delta_t+\beta^*MinWage_{st}$$

迴歸模型： $$\begin{eqnarray} FEmp_{ist}=\alpha_s+\delta_t+\beta^*MinWage_{st}+\epsilon_{ist} \tag{7.3} \end{eqnarray}$$

由於MinWage=1與0的州必需要在「無提高最低工資下」，其預期（平均）餐廳全職顧用人數要有相似的時間趨勢，要找到這樣的比較對象不容易。一般：

• 組內的成員類型不會太多，比如：MinWage=0的組只有PA，但沒有其他州。

  • 令$D1=1$代表來自第1個州（NJ）的虛擬變數。

另外，我們通常只比較一個政策前後的影響，所以：

• 只有政策施行前$t=0$與施行後$t=1$兩期。

  • 令$B1=1$代表政策施行「後」的虛擬變數。

考慮迴歸模型： $$FEmp_{ist}=\alpha_s+\delta_t+\beta_1MinWage_{st}+\epsilon_{ist}$$

若使用虛擬變數估計，則對應的虛擬變數迴歸模型要怎麼寫？

$$FEmp_{ist}=\beta_0+\alpha_1D1_s+\delta_1B1_t+\beta_1MinWage_{st}+\epsilon_{ist}$$ 其中，$MinWage_{st}=1$只有當資料來自NJ(即$D1_s=1$)且在政策施行「後」(即$B1_t=1$)，故 $$MinWage_{st}=D1_s\times B1_t$$ 上述迴歸式也可以寫成： $$FEmp_{ist}=\beta_0+\alpha_1D1_s+\delta_1B1_t+\beta_1D1_s\times B1_t+\epsilon_{ist}$$

依據上題的迴歸模型，請填入下面四種情境的被解釋變數期望值及對應的參數：

State	t=0	t=1
NJ
PA

在這個設計裡：

• NJ為實驗組(experimental group)；PA為控制組(control group)

• 使用政策前的資料是為了找出兩組的立足點差別。

• 使用控制組前後期的差異是為了找出時間效果加以從實驗組剔除。

7.8 DD迴歸模型設計

2015年8月：北市3項老人福利政策施予對象以年滿65歲以上老人為主，只要持有敬老悠遊卡就可享有乘車優惠。

• 悠遊卡福利比較

效應問句：“新政策是否增加老人行動力？”

你的「被解釋變數」會選什麼？

你的實驗組與控制組會選誰？

這兩組會有什麼立足點的問題？針對個別問題你會如何解決？

7.9 誤差項自我相關與異質變質

回顧

假設資料$Y_i$由平均為$\mu$、變異數為$\sigma^2$的母體分配抽出。針對樣本平均$\bar{Y}=\sum_{i=1}^N Y_i/N$，我們知道$\mathbb{E}(\bar{Y})=\mu$，但這個$\mu$的點估計式有多不準要用$var(\bar{Y})$來衡量。

說明 $$var(\bar{Y})=\frac{\sigma^{2}}{N}+\frac{\sum_{i\neq j} cov(Y_i,Y_j)}{N^2}$$

上式包含了兩個資料上的訊息：
1. 單筆資料自己的變異。
2. 兩筆資料間的關聯。

當我們有進一步的訊息時(令$\mathcal{I}$表示所有的訊息)，除了估計式可能改變外，我們對估計式不準確性的認知也應該會隨之改變。若假設訊息沒改變$\mu$的點估計式，則我們所需要理解的不準確度必需寫成 $$var(\bar{Y})=\frac{\sigma_{\mathcal{I}}^{2}}{N}+\frac{\sum_{i\neq j} cov(Y_i,Y_j|\mathcal{I})}{N^2}$$ 其中$\sigma_{\mathcal{I}}^2=var(Y_i|\mathcal{I})$。

迴歸模型誤差

迴歸模型： $$FEmp_{ist}=\alpha_s+\delta_t+\beta_1MinWage_{st}+\epsilon_{ist}$$ 裡頭的訊息包含：

1. 資料來自的州(s)與時間(t)
   
2. 每筆資的解釋變數MinWage值

嚴格上來說，我們也知道資料來自那個餐廳，即i的值，但在多數DD應用上我們不是使用追踪資料，所以它並不會產生額外的訊息價值，我們在此可忽略。

對應這個模型，估計式的不準確度衡量牽涉到：

在樣本訊息$\mathcal{I}$裡，關係到估計式不準確度的統計量即為：

1. 每筆誤差項的$var(\epsilon_{ist}|\mathcal{I})$

2. 任兩筆誤差項的$cov(\epsilon_{ist},\epsilon_{i's't'}|\mathcal{I})$

這也是迴歸式誤差項共變異矩陣($\Omega$)所要描述的訊息: $$\Omega=\mathbb{E}(ee'|\mathcal{I})$$ 其中$e=[\epsilon_{1,NJ,0},\epsilon_{2,NJ,0},\dots,\epsilon_{N,PA,1}]'$。

針對$var(\epsilon_{ist}|\mathcal{I})$及以下三類誤差項之共變異數(covariance)說明你認為它需要捕捉或表達什麼樣的結構：

1. NJ在政策前後所抽出的(非追踪)第1家餐廳： $$\epsilon_{1,NJ,0},\epsilon_{1,NJ,1}$$

2. NJ在政策前所抽出的第1、2家餐廳： $$\epsilon_{1,NJ,0},\epsilon_{2,NJ,0}$$ NJ在政策後所抽出的第1、2家餐廳： $$\epsilon_{1,NJ,1},\epsilon_{2,NJ,1}$$

3. 在政策前，NJ與PA所抽出的第1 家餐廳： $$\epsilon_{1,NJ,0},\epsilon_{1,PA,0}$$
   在政策後，NJ與PA所抽出的第1家餐廳： $$\epsilon_{1,NJ,1},\epsilon_{1,PA,1}$$
   

7.10 聚類標準誤(cluster standard error)

假設我們可以將誤差項訊息拆解成：
$$\epsilon_{ist}=\eta_{st}+v_{ist}$$ 其中$\eta_{st}$在訊息拆解下自然與$v_{ist}$無關。為方便表示，以下書寫先暫時不寫訊息符號($\mathcal{I}$)，但其實是有的。此時， $$\begin{align} var(\epsilon_{ist}) & = var(\eta_{st})+var(v_{ist})\\ cov(\epsilon_{ist},\epsilon_{is't'}) & =cov(\eta_{st},\eta_{s't'}) \end{align}$$

在我們的範例裡$s=NJ,PA$，$t=0,1$，若我們將資料依$s$與$t$的不同分群

State	t=0	t=1
NJ	G1	G2
PA	G3	G4

則我們有G1-G4共四群誤差項的變異數及跨群間的共變異數需要去留意，當誤差項有聚類（clustering）可能時，必需要適當的調整估計式標準誤。

參考資料

• Cluster and Stratified Sampling,Imbens and Wooldridge, 2007.

• Inference with difference-in-differences with a small number of groups: a review, simulation study and empirical application using SHARE data