BLOQUE 1: Modelos Económicos Lineales

• Este bloque pretende recoger el testigo a muchas de las ideas matemáticas con las que ya has trabajado en bachillerato y primaria. Sin embargo, vamos a darles un nuevo enfoque: ¿por qué no intentamos que una función nos sirva para hacer predicciones (de la misma manera que se hace en el mundo científico)? ¿Por qué no aprendemos nuevas maneras de visualizar información en el que se involucran varias variables?
• Combinaremos el aprendizaje con sesiones de clase invertida (es decir, el alumno/a debe trabajar en la clase previamente a esta, de tal forma que pueda haber discusión sobre los puntos complicados de la sesión y los ejercicios propuestos) y clase magistral (el docente desarrollará las ideas clave en una clase más tradicional)
• Este texto (que no debería sustituir a un buen libro de cálculo) es una referencia a modo de notas de clase que, además, contiene enlaces a vídeos de youtube preparados por el autor para motivar y reforzar ideas

Referencias de interés

• Stewart, J. (2009). Calculus: Concepts and contexts. Cengage Learning.
• STEWART, James; CLEGG, Daniel K.; WATSON, Saleem. Calculus: early transcendentals. Cengage Learning, 2020.
• SYDSAETER, Knut; HAMMOND, Peter. Matemáticas para el análisis económico. Pearson Educación, 1996.
• SIMON, Carl P., et al. Mathematics for economists. New York: Norton, 1994.
• SMITH, Robert T.; MINTON, Roland B.; RAFHI, Ziad AT. Cálculo de varias variables: trascendentes tempranas. McGraw-Hill Interamericana, 2019.

Clase 1: relaciones lineales entre magnitudes económicas

La función más sencilla con la que has trabajado en toda tu educación previa es la recta:

\[ y=a+bx \]

donde la \(y\) es la variable dependiente y la \(x\) es la variable independiente.

La pendiente no tiene por qué llamarse \(m\), ni de ninguna otra forma: lo que importa es la expresión, no las letras con las que denominemos a sus componentes.

¿Cómo se interpreta \(a\)?

Es la ordenada en el origen. Es el valor de la \(y\) cuando \(x=0\).

¿Cómo se interpreta \(b\)?

Es la pendiente. Cuánto cambia \(y\) ante incrementos de \(x\) en una unidad.

• Si \(b>0\), el incremento de \(y\) ante incrementos de \(x\) es positivo (\(x,y\) son proporcionales)
• Si \(a<0\), el incremento de \(y\) ante incrementos de \(x\) es negativo (\(x,y\) son inversamente proporcionales)

¿Para qué se utiliza en Economía?

Cuando queremos hacer modelos sencillos para entender la, compleja y difícil de conocer al detalle, realidad.

La ecuación de una recta se puede obtener dependiendo de la información que se nos proporcione

Nombre	información que me dan	Ecuación
punto-pendiente	\(b,(x_{0},y_{0})\)	\(y-y_{0}=b(x-x_{0})\)
Dos puntos	\((x_{0},x_{1}),\left(y_{0},y_{1}\right)\)	\(y-y_{0}=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0})\)
Intersección con los ejes	\(x=b,y=a\)	\(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1\)

Diremos que dos rectas \(y=c+m_{1}x\), \(y=d+m_{2}x\) son paralelas si las pendientes son iguales (\(m_{1}=m_{2})\). Son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 \((m_{1}m_{2}=-1)\). Dibuja, en geogebra dos rectas paralelas y perpendiculares y asegúrate de que se cumple.

Ejercicio 1

Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas. Dibújalas.

1. \(20x-24y-30=0\)

2. \(2x-3=0\)

3. \(4y+5=0\)

-Escribe una ecuación para una recta que pase por el punto \((-3,2)\) y que sea paralela a \(3x-5y+8=0\). Dibújalas.

-Escribe una ecuación para una recta que pasa por el punto \((2,-4)\) y es perpendicular a \(x-4y+8=0\). Dibújalas.

-Un punto \(A\) es colineal a una recta \(r\), si el punto está en la recta (\(A\subset r).\) Estudia si los siguientes puntos son colineales: \(A(-5,3),B(-1,8),C(3,0).\) Busca una manera de encontrar dos puntos colineales a cualquier recta.

Ejercicio 1

Del modelo lineal siguiente:

\[ Esperanza\:de\:vida=a+b\times a\tilde{n}o\equiv y=a+bx \]

calcula el valor para \(a\) y \(b\) usando los puntos \((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1})\equiv(1948,66.3)(2019,81.3)\). ¿Qué predicción obtienes para la esperanza de vida para el año 2039? Justifica por qué.

Ejercicio 2

Los antropólogos usan un modelo lineal para relacionar la longitud del fémur humano con la altura del individuo. Esto es importante, ya que permite, ante el hallazgo parcial de un esqueleto, predecir la altura que tenía el individuo. Usa los siguientes datos para proporcionar un modelo que nos permita realizar dicha predicción (puedes hacerlo con Excel, por ejemplo, o a mano).

Longitud Fémur	Altura
50.1	178.5
44.5	168.3
48.3	173.6
42.7	165
45.2	164.8
39.5	155.4
44.7	163.7
38	155.8

Arqueólogos trabajando en Pompeya, cuando hallaron un caballo petrificado

• Un individuo tiene un fémur con longitud 43 cmts ¿Qué altura aproximada tendrá?
• Se encuentra a un individuo con longitud de fémur 58 ctms con una altura de 180 ctms. ¿Qué sugiere este resultado sobre el uso del modelo?

(Adaptado de Stewart)

Clase 2: resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Puedes ver el siguiente vídeo:

En el vídeo se empieza, de forma sencilla, recordando la idea de un sistema de ecuaciones. En el siguiente ejercicio, dibuja los siguientes sistemas con la intención de que digas cuántas soluciones tiene. Utiliza las propiedades de la recta que estudiaste en clases anteriores para intentar ver cómo se construyen sistemas con una, ninguna o infinitas soluciones

\(\begin{cases} 2x+3y=12\\ x+y=5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x+3y=12\\ 4x+6y=24 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x+3y=12\\ 2x+3y=7 \end{cases}\)

Ejercicio 2 (minutos 2:36 a 4:26 del vídeo)

Di cuáles de los siguientes sistemas son lineales. Discute la solución de todos ellos utilizando GEOGEBRA (no uses ningún método de solución analítica)

• \(\begin{cases} x+y-3z=0\\ -x+y+z=0\\ x-3y-z=0 \end{cases}\)

• \(\begin{cases} 3x+y-\frac{1}{2}z=3\\ 2x+y=1\\ z=2 \end{cases}\)

• \(\begin{cases} x+y-3z=1\\ -x+y+z=0\\ 2x+2y-6z=2 \end{cases}\)

• \(\begin{cases} z=5/(xy)\\ x+y+z=3\\ x+2y-z=10 \end{cases}\)

¿Por qué preferimos los sistemas lineales a los no lineales? :)

Escritura matricial de un sistema de ecuaciones

Recuerda que una matriz es un instrumento matemático para organizar y manipular la información disponible y, además, es un elemento clave en el Álgebra Lineal.

Se suele notar con letras mayúsculas. Por ejemplo, decimos que la matriz \(A\) es de dimensión \(m\times n\) si está formada por entradas con \(m\) filas y \(n\) columnas:

\[ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array}\right] \]

Usaremos las matrices para escribir los sistemas de ecuaciones. Para ello, tenemos que ver cómo se multiplica una matriz por un vector: recuerda que es el sumatorio del producto de los elementos de las filas de la matriz de la izquierda con los de las columnas de la matriz de la derecha (no se puede cambiar el orden)

\[ \left[\begin{array}{cccc} {\color{red}a_{11}} & {\color{red}a_{12}} & {\color{red}...} & {\color{red}a_{1n}}\\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{blue}a_{22}} & {\color{blue}...} & {\color{blue}a_{2n}}\\ ... & ... & ... & ...\\ {\color{lime}a_{m1}} & {\color{lime}a_{m2}} & {\color{lime}...} & {\color{lime}a_{mn}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {\color{red}b_{1}}\\ {\color{red}b_{2}}\\ {\color{red}...}\\ {\color{red}b_{n}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} {\color{red}a_{11}b_{1}+a_{12}b_{2}+...+a_{1n}b_{n}}\\ {\color{blue}a_{21}b_{1}+a_{22}b_{2}+...+a_{2n}b_{n}}\\ {\color{red}...}\\ {\color{lime}a_{m1}b_{1}+a_{m2}b_{2}+...+a_{mn}b_{n}} \end{array}\right] \]

Ejercicio 3

Realiza estos productos (en caso de que sea posible)

• \(\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1\\ 3 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right]\)

• \(\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1\\ 3 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right]\)

• \(\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1\\ 3 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 \end{array}\right]\)

¿Qué concluyes sobre las propiedades del producto de matrices? ?Es siempre posible multiplicar dos matrices?

Finalmente llegamos a donde queríamos: escribir un sistema de ecuaciones en forma matricial. Por ejemplo, del sistema que se propone en el vídeo sobre la empresa que dona parte de su beneficio y paga impuestos:

\[ \begin{cases} x+0.1y+0.1z=10000\\ 0.05x +z=5000\\ 0.4x+y+0.4z=40000 \end{cases} \]

Ahora, tendremos por un lado la matriz de coeficientes \(A\) , por otro, el vector de incógnitas

\(\left[\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right]\)

y, finalmente, el vector de términos independientes \(\left[\begin{array}{c} 10000\\ 5000\\ 40000 \end{array}\right].\) Escribimos, usando las propiedades anteriores:

\[ A \left[\begin{array}{ccc} x\\ y\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 28\\ 0\\ 1 \end{array}\right]. \]

Ahora, debemos rellenar la matriz \(A\) para que diga lo que deseamos:

\[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0.1 & 0.1\\ 0.05 & 0 & 1\\ 0.4 & 1 & 0.4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 10000\\ 5000\\ 40000 \end{array}\right]. \]

Hemos reescrito el sistema en forma matricial. Trabajaremos con ello a partir de ahora.

Ejercicio 4

Supón que una economía tiene tres industrias punteras: bloggers, instagramers y modistas (que hacen la ropa que sugieren bloggers e instagramers). Supón que la producción de cada sector se distribuye entre los diversos sectores como en la siguiente tabla:

De Bloggers	De Instagrammers	De modistas	Comprada por:
\(0\)	\(0.4\)	\(0.6\)	Bloggers
\(0.6\)	\(0.1\)	\(0.2\)	Instagrammers
\(0.4\)	\(0.5\)	\(0.2\)	Modistas

Las entradas en una columna representan el porcentaje de la producción total de un sector concreto (por eso suman 1). Por ejemplo, la primera columna dice que la producción de Bloggers va en un 60% a los instagrammers y en un 40% a los Modistas.

• Si los precios de producción de cada sector son \(p_b\),\(p_i\),\(p_m\), respectivamente, ¿cuáles son los precios de equilibrio que hacen que los ingresos de un sector igualen a los gastos?

Fíjate, si leemos por filas, obtenemos que de la primera fila, el sector de los Bloggers recibe (y, por tanto, paga) un \(40%\) de la producción de los instagrammers y un \(60%\) d elos modistas. La industria de los bloggers, por tanto, deberá distribuir sus costes como sigue:

\[ p_b=0.4p_i+0.6p_m \]

• Expresa el resto de ecuaciones del sistema y propón su expresión matricial.

Metodología para la resolución de sistemas de Ecuaciones

Una vez sabemos escribir sistemas de ecuaciones en forma matricial, vamos a trabajar con ellos. Empecemos con los que tienen matriz de coeficientes cuadrada (es decir, la dimensión de \(A\) es \(n\times n\)).

\[ \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ ...\\ b_{n} \end{array}\right], \]

En forma matricial, podemos escribirlos de forma compacta utilizando las letras en “rojo”:

\[ \underset{{\color{red}A}}{\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array}\right]}\underset{{\color{red}X}}{\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{array}\right]}=\underset{{\color{red}B}}{\left[\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ ...\\ b_{n} \end{array}\right]}, \]

es decir, el sistema será

\[ AX=B \]

(nota que, en lenguaje matricial, no ponemos ningún signo para denotar el producto).

Como ya sabemos, si el determinante de \(A\) es distinto de cero, podemos hacer uso de la matriz inversa:

• La inversa de una matriz cuadrada \(A\), con \(det(A)\neq0\) es una matriz, llamada \(A^{-1}\), que verifica \[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]

donde \(I\) es la matriz identidad:

\(I=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... & 0\\ ... & 0 & \ddots & ...\\ 0 & 0 & ... & 1 \end{array}\right].\)

De nuestro sistema previo, tenemos entonces que despejar \(X\), que es la incógnita del sistema. Si usamos la propiedad de la inversa: \[ A^{-1}AX=A^{-1}B \]

Por lo que la solución del sistema será: \[ X=A^{-1}B \]

¿Cómo obtenemos a mano la inversa de una matriz? Debes, primero, verificar que:

• la matriz \(A\) es cuadrada
• \(det(A)\neq0\)

Definimos el determinante de \(A\) como \(det(A)\) o \(\left|A\right|\), como el resultado de:

• \(\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\)

• \(\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|={a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}}-{(a_{31}a_{22}a_{13}+a_{21}a_{12}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})}\)

• No vamos a aportarte nada nuevo de lo que ya sabes del bachillerato

• Se puede hacer para matrices \(n\times n\) usando el método de los menores. En este curso no necesitaremos tales cálculos.

• Aprenderemos a hacerlo con Excel

Ahora, utilizando el determinante, podemos calcular- a mano- la inversa de una matriz:

• caso 1: \(2\times2\). Es muy fácil De la matriz \(A=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\)

1. calculamos el determinante \(\left|A\right|\), si es distinto de cero

2. la inversa es: \(A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left[\begin{array}{cc} a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11} \end{array}\right]\)

• caso 2: \(3\times3.\) Usaremos la matriz de adjuntos

De la matriz \(A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]\)

La inversa será \(A^{-1}={\frac{1}{\left|A\right|}}(adjA)^{t}\)

• ¿Qué es \(adj(A)\)? : es un conjunto de determinantes tomados de submatrices de orden 2 de acuerdo con la siguiente expresión: \(Adj(A)_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\), donde \(M_{ij}\) es el determinante que se obtiene de la submatriz donde se eliminan la fila \(i\) y la columna \(j\). Por ejemplo, de la matriz

\(A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right]\)

el \(\left[adj(A)\right]_{11}\) significa que eliminamos la fila 1 y la columna 1 y calculamos el determinante:

\(\left[adj(A)\right]_{11}=\left|\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 2 \end{array}\right|=2\)

Nota que la expresión \((-1)^{i+j}\) implica que los determinantes van afectados por un signo: \(sign(Adj(A))=\left[\begin{array}{ccc}+ & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{array}\right]\)

• Mezclando todo, tenemos la matriz de adjuntos \(adj(A).\) Finalmente, la trasponemos.

La traspuesta de una matriz \(B^{t}\) intercambia las filas y columnas de la matriz. Por ejemplo, \(\left[\begin{array}{cc} 5 & 1\\ 2 & 3\\ 0 & -1 \end{array}\right]^{t}=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 2 & 0\\ 1 & 3 & -1 \end{array}\right]\).

Usamos el símbolo \(t\).

Hemos necesitado definir la traspuesta, porque aparece en la definición de inversa: \(A^{-1}={\frac{1}{\left|A\right|}(adjA)^{{\color{red}t}}}\)

Entonces, finalmente, la inversa de \(A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right]\)

se obtendrá de la siguiente forma:

• Calcula el determinante \(\left|A\right|=(2+2+0)-(-1+0+8)=-3\)
• calcula los adjuntos \[ adjA=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 1\\ -4 & 3 & -2\\ -3 & 3 & -3 \end{array}\right] \]

• Obtén su traspuesta \[ adjA^{t}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -4 & -3\\ -2 & 3 & 3\\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right] \]

• Tienes la inversa! \[ A^{-1}=\frac{1}{-3}\left[\begin{array}{ccc} 2 & -4 & -3\\ -2 & 3 & 3\\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -2/3 & 4/3 & 1\\ 2/3 & -1 & -1\\ -1/3 & 2/3 & 1 \end{array}\right] \]

Clase 3: Más sobre sistemas de ecuaciones y cálculo matricial

El rango de la matriz \(A\) es el orden (dimensión) de la mayor submatriz con determinante distinto de cero. Por ejemplo, de la siguiente matriz \(A\),

\[ A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4\\ 1 & 1 & 5\\ -1 & 0 & -2 \end{array}\right] \]

como \(A\) es una matriz \(3\times3\), el rango debería ser, como mucho, 3. Sin embargo: \[ \left|A\right|=0 \]

entonces, deberemos analizar las submatrices. Por ejemplo, hay un montón de \(2\times2\) submatrices de \(A\)

\[ A=\left[\begin{array}{ccc} {\color{magenta}2} & {\color{magenta}0} & 4\\ {\color{magenta}1} & {\color{magenta}1} & 5\\ -1 & 0 & -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} 2 & {\color{magenta}0} & {\color{magenta}4}\\ 1 & {\color{magenta}1} & {\color{magenta}5}\\ -1 & 0 & -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4\\ {\color{magenta}1} & {\color{magenta}1} & 5\\ {\color{magenta}-\color{magenta}1} & {\color{magenta}0} & -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4\\ 1 & {\color{magenta}1} & {\color{magenta}5}\\ -1 & {\color{magenta}0} & {\color{magenta}-\color{magenta}2} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} {\color{magenta}2} & {\color{magenta}0} & 4\\ 1 & 1 & 5\\ {\color{magenta}-\color{magenta}1} & {\color{magenta}0} & -2 \end{array}\right],... \]

como puedes ver, al menos hay una matriz de orden 2 con determinante distinto de cero. Esto implica que el rango de \(A\) es 2 . Diremos, entonces, que \(rg(A)=2\).

Con sólo encontrar una submatriz con determinante distinto de cero, ya puedes parar.

Ejercicio 1

Busca el rango de las siguientes matrices:

• \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & -4 & -1 \end{array}\right)\)

• \(B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right)\)

• \(C=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & -1 & 2\\ 0 & -1 & 1 & -2\\ 2 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)\)

Finalmente: ¡TEOREMA DE EXISTENCIA DE SOLUCIONES!

Cualquier sistema de ecuaciones se puede escribir usando su matriz “ampliada”. Creamos una nueva matriz, por ejemplo \(\overline{A}\), pegando la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes como sigue:

\[ \overline{A}=\left[\left.{A}\right|\color{red}B\right]. \]

Por ejemplo, del sistema: \[ \begin{cases} x+y+z=28\\ x+y-3z=0\\ x-y=-1 \end{cases} \]

su matriz ampliada es

\[ \overline{A}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -3\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\begin{array}{c} {\color{red}2\color{red}8}\\ {\color{red}0}\\ {\color{red}-\color{red}1} \end{array}\right] \]

Introducimos ahora un teorema que nos permite usar la matriz ampliada para decidir qué tipo de soluciones tiene un sistema:

Teorema de Existencia de Soluciones para Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones con \(n\) variables es:

• Compatible determinado: si rg\((A)=\) rg (\(\overline{A})\)= \(n\)
• compatible indeterminado: si rg (\(A)=\) rg (\(\overline{A}\))\(<n\)
• Incompatible si rg\((A)<\) rg (\(\overline{A})\)

Ejercicio2

Clasifica los sistemas siguientes usando el teorema

• \(\begin{cases} 2x+3y=12\\ 2x+y=4 \end{cases}\)

• \(\begin{cases} x+y=12\\ 2x+2y=24 \end{cases}\)

-\(\begin{cases} 2x+3y=12\\ 2x+3y=7 \end{cases}\)

Nota, por ejemplo, que la matriz ampliada del sistema 3 es: \(\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 12\\ 2 & 3 & 7 \end{array}\right)\) el rango de la matriz de coeficientes es 1, pero el rango de la ampliada es 2.

Un método de solución:REGLA DE CRAMER

Esta regla nos ayudará a resolver sistemas de \(n\) ecuaciones con \(n\) variables tal que: \[ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ ...\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{cases} \]

para obtener la solución, para cada \(x_{i}\), donde \(i=1,2,...,n\),

\[ x_{i}=\frac{\left|\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & ... & {\color{red}b_{1}} & {\color{red}...} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & {\color{red}b_{2}} & {\color{red}...} & a_{2n}\\ ... & ... & ... & {\color{red}...} & {\color{red}...} & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & {\color{red}b_{n}} & {\color{red}{\color{red}...}} & a_{nn} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1i} & {\color{red}...} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2i} & {\color{red}...} & a_{2n}\\ ... & ... & ... & {\color{red}...} & {\color{red}...} & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{ni} & {\color{red}{\color{red}...}} & a_{nn} \end{array}\right|} \]

Si el sistema es Compatible Determinado:

\[ \begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_{1}\\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_{2}\\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_{3} \end{cases} \]

donde \(A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right],\) tendremos

\[ x=\frac{\left|\begin{array}{ccc} {\color{green}b_{1}} & a_{12} & a_{13}\\ {\color{green}b_{2}} & a_{22} & a_{23}\\ {\color{green}b_{3}} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|}{\left|A\right|},y=\frac{\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & {\color{green}b_{1}} & a_{13}\\ a_{21} & {\color{green}b_{2}} & a_{23}\\ a_{31} & {\color{green}b_{3}} & a_{33} \end{array}\right|}{\left|A\right|},z=\frac{\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & {\color{green}b_{1}}\\ a_{21} & a_{22} & {\color{green}b_{2}}\\ a_{31} & a_{32} & {\color{green}b_{3}} \end{array}\right|}{\left|A\right|} \]

Sólo consiste en calcular determinantes!

Ejercicio 3

Resuelve este sistema usando la regla de Cramer

\[ \begin{cases} x+y+z=28\\ x+y-3z=0\\ x-y=1 \end{cases} \]

Si el sistema es compatible indeterminado, lo veremos con un ejemplo. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \begin{cases} x+2y+z=2\\ 2x\:\:\:\,+2z=4\\ x+y+z=2 \end{cases} \] si obtenemos la matriz ampliada \[ \left[\left.\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|\begin{array}{c} 2\\ 4\\ 2 \end{array}\right] \] por un lado, \(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=0\), y tenemos sub-matrices de orden 2 con determinante distinto de cero (por ejemplo, \(\left|\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 0 \end{array}\right|=-4)\). Observa cómo el rango de la ampliada es también 2 (para ello, calcula los determimantes de \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2\\ 2 & 0 & 4\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 4\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right]\) y observa que todos son cero!). Así que el sistema tiene infinitas soluciones. Esto nos dice que nos sobra una ecuación y que, por tanto, nos podemos deshacer de ella. Nos deshacemos de la tercera ecuación y elegimos la variable \(z\) como parámetro: \[ \begin{cases} x+2y=2-z\\ 2x\:\:\:\,=4-2z \end{cases} \] usamos Cramer para resolverlo: \[ x=\frac{\left|\begin{array}{cc} 2-z & 2\\ 4-2z & 0 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 0 \end{array}\right|}=\frac{-8+4z}{-4}=2-z \] \[ y=\frac{\left|\begin{array}{cc} 1 & 2-z\\ 2 & 4-2z \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 0 \end{array}\right|}=\frac{0}{-4}=0 \]

por lo que la solución será:

\[ x=2-z,y=0, \]

y \(z\in\mathbb{R}\)

Ejercicio 4

Busca el planteamiento del Ejercicio 4 de la clase anterior, discútelo y resuélvelo.

Ejercicio EBAU Madrid 2021

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \(a\)

\[ \begin{cases} x+y-z=-1\\ x-y+a^2z=3\\ 2x-y+z=4 \end{cases} \]

• Discute el sistema en función de los valores del parámetro \(a\).
• Resuelve el sistema, a mano, para \(a=1\).
• Resuelve el sistema, usando Excel, para \(a=2\)

Clase 4: El modelo de Leontief

Presta atención al siguiente enunciado:

Una determinada economía está constituida por dos sectores industriales, energías renovables y agroalimentario. Para producir por 1 euro en el sector de energías renovables se requieren 0.40 euros del mismo sector y 0.35 euros del sector agroalimentario. Para producir por 1 euro en el sector agroalimentario se requieren 0.55 euros del propio sector y 0.20 euros del sector de energías renovables. Asimismo, se sabe que, semanalmente, la demanda externa del sector de energías renovables es por valor de 74.000 euros y la demanda externa del sector agroalimentario es por valor de 86.000 euros.

• ¿Cuál será el plan de producción semanal de cada sector industrial?

Vamos a hacer una tabla para poder entender el problema. A esta tabla se le conoce input-output, puesto que nos permite establecer, para cada sector, lo que consume (INPUTS) de lo que produce (su OUTPUT propio) y de lo que producen otros sectores (los OUTPUT de otras empresas). En este caso, esta sería la tabla:

FIG1. Un dibujo del modelo

Fíjate cómo funciona: es una Economía que sólo tiene dos sectores. Cada sector, de cada euro que produce, necesita reinvertir en seguir produciendo y de cada euro que produce el otro sector, necesita una parte para producir. De ahí el gráfico que te he hecho con los dos sectores y cómo se distribuye el flujo. ¿A que así se entiende mejor?

Por otra parte, hay una demanda externa: esto es, gente que quiere comprar energías renovables y productos agroalimentarios: hay que satisfacerlos.

Bien, ahora deberemos formular el modelo matemático. La idea de este modelo es muy simple: el output, que es la planificación de cuánto tiene que producir cada industria, tiene que ser igual a la suma de los inputs: es decir, empecemos por el sector de las energías renovables. Llamaremos \(x\) a su output, en euros, que es lo que tiene que producir. Por un lado, debe invertir 0.4 euros por cada euros que produce, es decir \(0.4x\). Por otro lado, del sector agroalimentario necesitará 0.2 euros por cada euro que produce, esto es \(0.2y\). Finalmente, debe satisfacer una demanda de 74000. Entonces, el output, \(x\), tendrá que ser igual a la suma de los inputs y la ecuación será: \[ x=0.4x+0.2y+74000 \]

En el otro sector, el \(y,\) es fácil ver que la ecuación será:

\[ y=0.35x+0.55y+86000 \]

Como ves, si construyes la tabla como he hecho yo, es fácil ver que el modelo lo construyes a partir de las filas de la tabla. Y luego hay que sumarle la demanda externa:

FIG2. Un dibujo del modelo

Ahora deberemos resolver el sistema. Para ello, es aconsejable escribirlo en forma matricial y operar:

\[ \left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0.4 & 0.2\\ 0.35 & 0.55 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 74000\\ 86000 \end{array}\right] \]

Tenemos que despejar el vector \(\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right],\)que es la producción que nos interesa \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} 0.4 & 0.2\\ 0.35 & 0.55 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 74000\\ 86000 \end{array}\right] \]

como ves, ha “aparecido la matriz identidad” (que es lo análogo a multiplicar por 1 en escalares). Si no, no podríamos realizar la resta de matrices por tener diferente dimensión. Sacando factor común:

\[ \left(\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} 0.4 & 0.2\\ 0.35 & 0.55 \end{array}\right]\right)\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 74000\\ 86000 \end{array}\right] \]

\[ \left[\begin{array}{cc} 0.6 & -0.2\\ -0.35 & 0.45 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 74000\\ 86000 \end{array}\right] \]

Ahora, para “despejar” las incógnitas, mutiplicamos en ambos lados por la inversa (como ya aprendimos en las primeras clases).

\[ \left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0.6 & -0.2\\ -0.35 & 0.45 \end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c} 74000\\ 86000 \end{array}\right] \]

y recuerda lo fácil que es invertir una matriz 2x2:

\(\left[\begin{array}{cc} 0.6 & -0.2\\ -0.35 & 0.45 \end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{0.2}\) \(\left[\begin{array}{cc} 0.45 & 0.2\\ 0.35 & 0.6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2.25 & 1\\ 1.75 & 3 \end{array}\right]\)

Entonces, \[ \left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0.6 & -0.2\\ -0.35 & 0.45 \end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c} 74000\\ 86000 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2.25 & 1\\ 1.75 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 74000\\ 86000 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 252500\\ 387500 \end{array}\right] \]

y ya tenemos el plan de producción: el sector de energías renovables ha de producir \(252500\) euros y el agroalimentario, \(387500.\)

Clase 5: Diagonalización de matrices cuadradas

Nos planteamos la siguiente pregunta. ¿Cuánto sale \(\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]^{5}\) ?

Como ya sabes, esto implica resolver: \[ \left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right] \]

lo cual no es nada directo e inmediato. Pensemos, ahora, en cuánto sale \(\left[\begin{array}{cc} 3 & 0\\ 0 & 5 \end{array}\right]^{5}?\)

Esta es más sencilla, al ser una matriz diagonal puesto que el resultado es: \[ \left[\begin{array}{cc} 3 & 0\\ 0 & 5 \end{array}\right]^{5}=\left[\begin{array}{cc} 243 & 0\\ 0 & 3125 \end{array}\right] \]

Como vemos, entonces, si tenemos una matriz diagonal y pretendemos elevarla a la potencia \(k\), es fácil:

\[ \mathbf{D}=\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{1}\\ & \lambda_{2}\\ & & ...\\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right]\Rightarrow\mathbf{D}^{k}=\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{1}^{k}\\ & \lambda_{2}^{k}\\ & & ...\\ & & & \lambda_{n}^{k} \end{array}\right] \]

Por lo tanto, deberíamos apostar por encontrar la manera de “diagonalizar” una matriz. No consiste, exactamente, en convertir cualquier matriz en diagonal (eso es imposible), sino en tratar de buscar una matriz diagonal, y una matriz \(\mathbf{P}\), invertible, tales que:

\[ \mathbf{A}=\mathbf{PDP^{-1}} \]

¿Por qué queremos eso?

Veamos que, elevar ahora a la potencia \(k\) es menos “desagradable” \[ \mathbf{A}^{k}=\underset{}{\underset{k\:veces}{\underbrace{\mathbf{PD}\mathbf{P}^{-1}\mathbf{PD}\mathbf{P}^{-1}...\mathbf{PD}\mathbf{P}^{-1}}}=\mathbf{P}\mathbf{D}^{k}\mathbf{P}^{-1}.} \]

Ahora lo que tenemos que hacer es ser capaces de encontrar la matiz \(\mathbf{P}\) y la matriz \(\mathbf{D}\). No siempre será posible. Cuando lo sea, diremos que la matriz en cuestión, \(\mathbf{A}\), es diagonalizable.

La diagonalización: procedimiento

Para diagonalizar una matriz, debemos seguir un conjunto de pasos, laboriosos, pero sencillos. El primero

• PASO 1. Buscar los “autovalores” que son los elementos de la matriz \(\mathbf{D}=\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0\\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right]\)

Para ello, tendremos que resolver la ecuación de segundo grado, pues vamos a trabajar sólo con matrices 2x2, que se obtiene de aquí:

\[ \left|\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}\right|=0 \]

Ejemplo, obtén los autovalores de la matriz \[ \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right] \]

Siguiendo el procedimiento, tenemos que resolver: \[ \left|\mathbf{\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]}-\left[\begin{array}{cc} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{array}\right]\right|=0 \]

que, operando, \[ \left|\left[\begin{array}{cc} 3-\lambda & 2\\ 2 & 3-\lambda \end{array}\right]\right|=0 \]

El determinante, igualado a cero, resulta ser

\[ (3-\lambda)^{2}-4=0 \] Es fácil ver que la solución de esta ecuación de segundo grado es:

\[ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=5 \]

• PASO 2. Buscar los elementos de la matriz \(\mathbf{P}\)

Esto es más laborioso. Hay que resolver, para cada autovalor, un sistema de ecuaciones. En teoría: \[ \left(\mathbf{A}-\lambda_{1}\mathbf{I}\right)\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right] \]

\[ \left(\mathbf{A}-\lambda_{2}\mathbf{I}\right)\left[\begin{array}{c} x_{2}\\ y_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right] \]

y la matriz \(\mathbf{P}\), será \[ \mathbf{P}=\left[\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2}\\ y_{1} & y_{2} \end{array}\right] \]

En nuestro ejemplo: tenemos que \(\lambda_{1}=1\)

\[ \left(\mathbf{A}-\lambda_{1}\mathbf{I}\right)\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right]\Rightarrow\left(\mathbf{\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]}-\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right)\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right]\Rightarrow \]

\[ \mathbf{\left[\begin{array}{cc} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{array}\right]}\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right]\Rightarrow2x_{1}+2y_{1}=0\Rightarrow x_{1}=-y_{1} \]

es un sistema compatible indeterminado y necesitamos dar un valor a \(y_{1}\) para obtener \(x_{1}\). Da igual, puedes poner el que quieras. Como queremos números “fáciles” diremos que \(y_{1}=1.\) Entonces, \(x_{1}=-1.\) Ya tenemos:

\[ \mathbf{P}=\left[\begin{array}{cc} -1 & x_{2}\\ 1 & y_{2} \end{array}\right] \]

Ahora, analicemos qué pasa con \(\lambda_{2}=5\)

\[ \left(\mathbf{A}-\lambda_{2}\mathbf{I}\right)\left[\begin{array}{c} x_{2}\\ y_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right]\Rightarrow\left(\mathbf{\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]}-\left[\begin{array}{cc} 5 & 0\\ 0 & 5 \end{array}\right]\right)\left[\begin{array}{c} x_{2}\\ y_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right]\Rightarrow \]

\[ \mathbf{\left[\begin{array}{cc} -2 & 2\\ 2 & -2 \end{array}\right]}\left[\begin{array}{c} x_{2}\\ y_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right]\Rightarrow-2x_{2}+2y_{2}=0\Rightarrow x_{2}=y_{2} \]

DE nuevo, necesitamos dar un valor a \(y_{2}\) para obtener \(x_{2}\). Daremos, de nuevo, \(y_{2}=1\). Por tanto, \(x_{2}=1\) y ya tenemos la matriz

\[ \mathbf{P}=\left[\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right] \]

Diremos que la matriz es diagonalizable si \(\mathbf{P}\) es invertible (determinante distinto de cero). Como ves, en este caso, es así. Hay un resultado importante:

TODAS LAS MATRICES SIMÉTRICAS SON DIAGONALIZABLES

Pues bien, ya puedes escribir \[ \left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right]^{-1} \]

Y, además, puedes obtener de forma sencilla la potencia que buscábamos:

\[ \left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]^{5}=\left[\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1^{5} & 0\\ 0 & 5^{5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right]^{-1} \]

\[ \left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]^{5}=\left[\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 3125 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & -1 \end{array}\right]=\left(\frac{1}{-2}\right)\left[\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 3125 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & -1 \end{array}\right] \]

\[ \left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]^{5}=\left(\frac{1}{-2}\right)\left[\begin{array}{cc} -1 & 3125\\ 1 & 3125 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & -1 \end{array}\right]=\left(\frac{1}{-2}\right)\left[\begin{array}{cc} -3126 & -3124\\ -3124 & -3126 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1563 & 1562\\ 1562 & 1563 \end{array}\right] \]