6  Transformasi Linear

Transformasi Linear diterapkan pada berbagai aspek, seperti pemodelan geologi, perhitungan cadangan mineral, optimasi rute penggalian, serta analisis struktur geoteknik. Dengan menguasai konsep dasar ini, mahasiswa Teknik Pertambangan diharapkan dapat mengembangkan keterampilan analitis yang diperlukan untuk menghadapi tantangan di lapangan dan melakukan perencanaan tambang yang lebih efisien dan aman.

6.1 Definisi Transformasi Linear

Transformasi linear adalah suatu fungsi yang memetakan vektor dari satu ruang vektor ke ruang vektor lainnya dengan cara yang mempertahankan operasi dasar dalam ruang vektor tersebut.

6.2 Transformasi Linear 2D

Transformasi linear dapat diklasifikasikan menjadi beberapa jenis berdasarkan cara mereka mempengaruhi vektor dalam ruang vektor 2D.

6.2.1 Transformasi Identitas 2D

Mari kita visualisasikan transformasi identitas untuk vektor $(2,3)$.

6.2.2 Transformasi Nol 2D

Mari kita visualisasikan transformasi untuk vektor $(2,3)$.

6.2.3 Transformasi Rotasi 2D

Rotasi adalah transformasi linear yang memutar vektor di sekitar titik asal (0, 0) dalam bidang dua dimensi. Dalam konteks ini, kita akan memutar vektor $(2,3)$ sejauh 90 derajat.

Untuk rotasi 90 derajat, kita konversi ke radian:

$$\theta ={90}^{\circ }=\frac{\pi }{2}\text{radian}$$

Hitung $\cos (\theta )$ dan $\sin (\theta )$:

• $\cos ({90}^{\circ })=0$
• $\sin ({90}^{\circ })=1$

Maka, matriks rotasi untuk sudut 90 derajat menjadi:

$$R_{90}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

Vektor yang ingin kita rotasi adalah $(2,3)$. Selanjutnya, kalikan matriks rotasi dengan vektor asli:

$$R_{90}(\mathbf{v})=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 2+(-1)\cdot 3\\ 1\cdot 2+0\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)$$

Jadi, hasil rotasi vektor $(2,3)$ sejauh 90 derajat adalah $(-3,2)$.

6.2.4 Transformasi Refleksi 2D

Mari kita pertimbangkan vektor asli $(2,3)$ dan kita akan menghitung refleksinya terhadap sumbu $x$ dan sumbu $y.$ Menghitung Hasil Refleksi:

1. Refleksi terhadap Sumbu $X$:

   $$R_x(\mathbf{v})=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$

2. Refleksi terhadap Sumbu $Y$:

   $$R_y(\mathbf{v})=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$$

3. Refleksi terhadap Garis $y=x$:

   $$R_{y=x}(\mathbf{v})=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$

Jadi, hasil refleksi vektor $(2,3)$ adalah:

• Refleksi terhadap sumbu x: $(2,-3)$
• Refleksi terhadap sumbu y: $(-2,3)$
• Refleksi terhadap garis $y=x:(3,2)$

Mari kita visualisasikan refleksi vektor $(2,3)$ terhadap sumbu $x$ dan sumbu $y$.

6.2.5 Transformasi Penskalaan 2D

Pertimbangkan vektor asli $(2,3)$ dan kita akan skalakan vektor ini dengan beberapa faktor skalar $k=2$ dan $k=0.5$ untuk melihat efek penskalaan.

1. Penskalaan dengan Faktor $k=2$: $$S_2(\mathbf{v})=\left(\begin{array}{c}2\cdot 2\\ 2\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$$

2. Penskalaan dengan Faktor $k=0.5$: $$S_{0.5}(\mathbf{v})=\left(\begin{array}{c}0.5\cdot 2\\ 0.5\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1.5\end{array}\right)$$

Jadi, hasil penskalaan vektor $(2,3)$ adalah:

• Dengan faktor $k=2:(4,6)$
• Dengan faktor $k=0.5:(1,1.5)$

Mari kita visualisasikan vektor asli $(2,3)$ dan hasil penskalaan dengan faktor $k=2$ dan $k=0.5$.

6.2.6 Transformasi Penyerapan 2D

Pertimbangkan vektor asli $(2,3)$, dan kita akan melakukan shearing horizontal dengan faktor $k_x=1.5$ dan shearing vertikal dengan faktor $k_y=0.5$. Menghitung Hasil Shearing, sebagai berikut;

1. Shearing Horizontal dengan Faktor $k_x=1.5$:

   $$S_h(2,3)=\left(\begin{array}{c}2+1.5\cdot 3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6.5\\ 3\end{array}\right)$$

2. Shearing Vertikal dengan Faktor $k_y=0.5$:

   $$S_v(2,3)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3+0.5\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$$

Jadi, hasil shearing vektor $(2,3)$ adalah:

• Shearing horizontal dengan faktor $k_x=1.5:(6.5,3)$
• Shearing vertikal dengan faktor $k_y=0.5:(2,4)$

Mari kita visualisasikan vektor asli $(2,3)$ dan hasil shearing dengan faktor $k_x=1.5$ untuk horizontal dan $k_y=0.5$ untuk vertikal.

6.3 Transformasi Linear 3D

Dalam ruang 3D, transformasi linear dapat diterapkan ke vektor untuk menghasilkan efek seperti rotasi, refleksi, atau scaling. Berikut adalah beberapa contoh transformasi umum beserta ilustrasinya.

6.3.1 Transformasi Identitas 3D

Transformasi identitas tidak mengubah posisi atau arah vektor. Jika kita memiliki vektor $\mathbf{v}=(2,3,5)$, maka hasil transformasi identitas adalah:

$$I(\mathbf{v})=\mathbf{v}$$

6.3.2 Transformasi Nol 3D

Transformasi nol adalah jenis transformasi yang mengubah semua komponen vektor menjadi nol, menghilangkan informasi arah dan besarannya. Jika kita memiliki vektor $\mathbf{v}=(2,3,5)$, maka hasil transformasi nol adalah:

$$T_0(\mathbf{v})=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

Dengan kata lain, transformasi nol memetakan setiap vektor dalam ruang 3D ke vektor nol $(0,0,0)$.

6.3.3 Transformasi Rotasi 3D

Rotasi dalam ruang 3D dapat didefinisikan sebagai perubahan posisi vektor melalui sudut tertentu ($\theta$) di sekitar sumbu (X, Y, atau Z).

Rrotasi 3D dapat dilakukan dengan matriks rotasi untuk rotasi di sekitar sumbu X, Y, dan Z masing-masing adalah sebagai berikut:

1. Rotasi di sekitar sumbu X: $$R_x(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ 0& \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$$

2. Rotasi di sekitar sumbu Y: $$R_y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& 0& \sin (\theta )\\ 0& 1& 0\\ -\sin (\theta )& 0& \cos (\theta )\end{array}\right]$$

3. Rotasi di sekitar sumbu Z: $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Untuk memutar vektor $\mathbf{v}$ di sekitar sumbu tertentu, kita kalikan vektor tersebut dengan matriks rotasi yang sesuai. Misalkan vektor $\mathbf{v}$ didefinisikan sebagai:

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$ Maka hasil rotasi ${\mathbf{v}}^{\prime }$ dapat diperoleh dengan: $${\mathbf{v}}^{\prime }=R(\theta )\cdot \mathbf{v}$$

di mana $R(\theta )$ adalah matriks rotasi sesuai sumbu yang dipilih. Andaikan Vektor awal $(1,2,3)$ dan dilakukan Transformasi Rotasi 3D, perhatikan visualisasi berikut:

6.3.4 Transformasi Refleksi 3D

Refleksi dalam ruang 3D dapat didefinisikan sebagai perubahan posisi vektor dengan cara membalikkan komponennya di sepanjang sumbu atau bidang tertentu. Misalnya, jika kita melakukan refleksi terhadap bidang XY, maka komponen Z dari vektor akan diubah tanda.

Matriks refleksi untuk masing-masing bidang koordinat dalam 3D adalah sebagai berikut:

1. Refleksi terhadap bidang XY: $$R_{XY}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$

2. Refleksi terhadap bidang YZ: $$R_{YZ}=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

3. Refleksi terhadap bidang XZ: $$R_{XZ}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Untuk memantulkan vektor $\mathbf{v}$ terhadap bidang tertentu, kita kalikan vektor tersebut dengan matriks refleksi yang sesuai. Misalkan vektor $\mathbf{v}$ didefinisikan sebagai:

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

Maka hasil refleksi ${\mathbf{v}}^{\prime }$ dapat diperoleh dengan: $${\mathbf{v}}^{\prime }=R\cdot \mathbf{v}$$

di mana $R$ adalah matriks refleksi sesuai bidang yang dipilih. Andaikan Vektor awal $(1,2,3)$ dan dilakukan Transformasi Refleksi 3D, perhatikan visualisasi berikut:

6.3.5 Transformasi Penskalaan 3D

Transformasi penskalaan adalah proses yang digunakan untuk mengubah ukuran objek dalam ruang tiga dimensi. Dengan penskalaan, kita dapat memperbesar atau memperkecil dimensi objek sesuai dengan kebutuhan. Transformasi ini dapat dilakukan secara uniform (seragam) di mana faktor penskalaan adalah sama untuk semua sumbu, atau non-uniform (tidak seragam) di mana faktor penskalaan berbeda untuk setiap sumbu.

Dalam konteks transformasi penskalaan, kita dapat mendefinisikan transformasi sebagai berikut:

$${\mathbf{v}}^{\prime }=S\cdot \mathbf{v}$$

di mana:

• $\mathbf{v}$ adalah vektor posisi awal,
• ${\mathbf{v}}^{\prime }$ adalah vektor posisi setelah penskalaan,
• $S$ adalah matriks penskalaan.

Matriks penskalaan di ruang 3D dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut:

$$S=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right]$$

Di mana: - $s_x$, $s_y$, dan $s_z$ adalah faktor penskalaan untuk sumbu X, Y, dan Z, masing-masing.

Misalkan kita memiliki vektor $\mathbf{v}$ yang dinyatakan sebagai:

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

Setelah penskalaan, vektor baru ${\mathbf{v}}^{\prime }$ dapat diperoleh melalui:

$${\mathbf{v}}^{\prime }=S\cdot \mathbf{v}=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{s}_x\cdot x\\ s_y\cdot y\\ s_z\cdot z\end{array}\right]$$

Berikut adalah contoh visualisasi dari vektor asli dan hasil penskalaan. Misalhkan vektor awal $(1,2,3), Vektor baru ${\mathbf{v}}^{\prime }$ setelah penskalaan dapat diperoleh melalui:

$${\mathbf{v}}^{\prime }=S\cdot \mathbf{v}=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 0.5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$

1. Baris Pertama: $$2\cdot 1+0\cdot 2+0\cdot 3=2$$

2. Baris Kedua: $$0\cdot 1+3\cdot 2+0\cdot 3=6$$

3. Baris Ketiga: $$0\cdot 1+0\cdot 2+0.5\cdot 3=1.5$$

Vektor baru setelah penskalaan menjadi:

$${\mathbf{v}}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ 1.5\end{array}\right]$$

6.3.6 Transformasi Penyerapan 3D

Dalam konteks transformasi penyerapan, kita dapat mendefinisikan transformasi sebagai berikut:

$${\mathbf{v}}^{\prime }=H\cdot \mathbf{v}$$

di mana:

• $\mathbf{v}$ adalah vektor posisi awal,
• ${\mathbf{v}}^{\prime }$ adalah vektor posisi setelah penyerapan,
• $H$ adalah matriks penyerapan.

Matriks penyerapan di ruang 3D dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut:

$$H=\left[\begin{array}{ccc}1& s{h}_{xy}& s{h}_{xz}\\ s{h}_{yx}& 1& s{h}_{yz}\\ s{h}_{zx}& s{h}_{zy}& 1\end{array}\right]$$

Di mana:

• $s{h}_{xy}$, $s{h}_{xz}$, $s{h}_{yx}$, $s{h}_{yz}$, $s{h}_{zx}$, dan $s{h}_{zy}$ adalah faktor penyerapan untuk masing-masing kombinasi sumbu.

Misalkan kita memiliki vektor $\mathbf{v}$ yang dinyatakan sebagai:

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

Setelah penyerapan, vektor baru ${\mathbf{v}}^{\prime }$ dapat diperoleh melalui:

$${\mathbf{v}}^{\prime }=H\cdot \mathbf{v}=\left[\begin{array}{ccc}1& s{h}_{xy}& s{h}_{xz}\\ s{h}_{yx}& 1& s{h}_{yz}\\ s{h}_{zx}& s{h}_{zy}& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+s{h}_{xy}\cdot y+s{h}_{xz}\cdot z\\ s{h}_{yx}\cdot x+y+s{h}_{yz}\cdot z\\ s{h}_{zx}\cdot x+s{h}_{zy}\cdot y+z\end{array}\right]$$

Misalkan kita menggunakan faktor penyerapan sebagai berikut:

• $s{h}_{xy}=0.5$
• $s{h}_{xz}=0.2$
• $s{h}_{yx}=0.1$
• $s{h}_{yz}=0.3$
• $s{h}_{zx}=0.4$
• $s{h}_{zy}=0.1$

Dengan vektor awal $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$, maka kita dapat menghitung vektor baru ${\mathbf{v}}^{\prime }$ sebagai berikut:

$${\mathbf{v}}^{\prime }=H\cdot \mathbf{v}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.5& 0.2\\ 0.1& 1& 0.3\\ 0.4& 0.1& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$

Hasil dari perhitungan di atas adalah:

$${\mathbf{v}}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}2.6\\ 3.0\\ 3.6\end{array}\right]$$

Jadi, hasil dari transformasi penyerapan pada vektor $(1,2,3)$ adalah $(2.6,3.0,3.6)$.

Berikut adalah contoh visualisasi dari vektor asli dan hasil penyerapan.

6.4 Transformasi Linear $n-D$

Transformasi linear dapat diklasifikasikan menjadi beberapa jenis berdasarkan bagaimana mereka mempengaruhi vektor dalam ruang berdimensi $n$. Berikut adalah beberapa jenis transformasi linear yang umum dalam dimensi $n$.

6.4.1 Transformasi Identitas

Transformasi identitas adalah transformasi yang tidak mengubah vektor. Untuk vektor $\mathbf{v}$ dalam ruang vektor berdimensi $n$, transformasi identitas $I_n$ dinyatakan sebagai:

$$I_n(\mathbf{v})=\mathbf{v}$$

Sifat Transformasi Identitas:

• Mempertahankan Arah dan Magnitudo: Vektor tetap dalam arah dan panjang yang sama.
• Matriks Identitas $n\times n$:

$$I_n=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$

6.4.2 Transformasi Nol

Transformasi nol mengubah setiap vektor menjadi vektor nol. Untuk setiap vektor $\mathbf{v}$ dalam ruang berdimensi $n$, transformasi nol $T$ adalah:

$$T(\mathbf{v})=\mathbf{0}$$

Sifat Transformasi Nol:

• Menghasilkan Vektor Nol: Semua vektor menjadi vektor nol.
• Matriks Nol $n\times n$:

$$0_n=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$$

6.4.3 Transformasi Rotasi

Rotasi di ruang dimensi lebih tinggi adalah rotasi di sekitar dua sumbu, misalnya sumbu $x_i$ dan $x_j$. Dalam $n$-dimensi, rotasi di sekitar dua sumbu (misalnya, $x_1$ dan $x_2$) dengan sudut $\theta$ dinyatakan sebagai matriks rotasi $R_{ij}(\theta )$, dengan blok $2\times 2$ di posisi $i$ dan $j$:

$$R_{ij}(\theta )=\left(\begin{array}{cccc}\ddots & & & \\ & \cos (\theta )& -\sin (\theta )& \\ & \sin (\theta )& \cos (\theta )& \\ & & & \ddots \end{array}\right)$$

Dimana hanya elemen-elemen di baris dan kolom $i$ dan $j$ yang dipengaruhi rotasi.

6.4.4 Transformasi Refleksi

Refleksi dalam $n$ dimensi adalah refleksi terhadap suatu hiperbidang. Misalnya, refleksi terhadap hiperbidang yang tegak lurus terhadap sumbu $x_i$ dapat dinyatakan dengan matriks refleksi $R_i$, yang mengubah tanda komponen $i$ dari vektor:

$$R_i=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & -1\end{array}\right)$$

6.4.5 Transformasi Penskalaan

Penskalaan dalam $n$ dimensi memperbesar atau memperkecil setiap komponen vektor dengan skalar $k$. Untuk vektor $\mathbf{v}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, penskalaan menjadi:

$$S_k(\mathbf{v})=\left(\begin{array}{c}k\cdot x_1\\ k\cdot x_2\\ ⋮\\ k\cdot x_n\end{array}\right)$$

Atau dalam bentuk matriks penskalaan:

$$S_k=\left(\begin{array}{cccc}k& 0& \cdots & 0\\ 0& k& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & k\end{array}\right)$$

6.4.6 Transformasi Penyerapan

Shearing dalam $n$ dimensi menggeser satu komponen vektor berdasarkan komponen lainnya. Misalnya, shearing horizontal (mengubah komponen $x_i$ berdasarkan $x_j$) dapat dinyatakan sebagai:

$$S_{ij}(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_i+k_{ij}\cdot x_j\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

Atau dalam bentuk matriks shearing:

$$S_{ij}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & k_{ij}& 0\\ & ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right)$$

6.5 Sifat Transformasi Linear

Secara formal, transformasi linear $T$ dari ruang vektor $V$ ke ruang vektor $W$ memenuhi dua sifat utama berikut:

6.5.1 Aditif (Penambahan Vektor)

$$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$$

Artinya, transformasi dari penjumlahan dua vektor sama dengan penjumlahan transformasi masing-masing vektor.

6.5.2 Homogenitas (Perkalian Skalar)

$$T(c\mathbf{v})=cT(\mathbf{v})$$

Artinya, jika sebuah vektor dikalikan dengan skalar, maka hasil transformasinya juga akan dikalikan dengan skalar yang sama.

Transformasi linear sering kali direpresentasikan dengan matriks ketika bekerja dalam ruang berdimensi hingga, sehingga operasi transformasi bisa dituliskan dalam bentuk perkalian matriks dengan vektor. Transformasi linear memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, seperti grafika komputer, pengolahan sinyal, dan mekanika klasik, di mana perubahan bentuk atau keadaan dapat dimodelkan dengan hubungan linier.

6.6 Terapan Transformasi Linear

Transformasi linear memiliki banyak aplikasi di bidang teknik pertambangan. Berikut adalah beberapa cara penerapannya:

6.6.1 Analisis Geometrik dan Model 3D

• Transformasi Penskalaan: Mengubah ukuran model geologi untuk analisis.
• Transformasi Rotasi dan Refleksi: Memperoleh orientasi berbeda dari formasi batuan.

6.6.2 Pengolahan Data Geospasial

• Koordinat UTM dan Geographic: Mengubah sistem koordinat untuk pemetaan.
• Georeferensi: Mengubah citra satelit ke dalam sistem koordinat tertentu.

6.6.3 Perhitungan Volume dan Area

• Volume Tambang: Menghitung volume dengan model digital.
• Perhitungan Lahan Terpakai: Menghitung area infrastruktur penambangan.

6.6.4 Simulasi dan Model Dinamis

• Simulasi Aliran Air: Menganalisis aliran air dalam tambang.
• Model Stabilitas Lereng: Memprediksi stabilitas lereng penambangan.

6.6.5 Pemodelan Geomekanik

• Analisis Tegangan dan Regangan: Memahami respons batuan terhadap gaya luar.
• Studi Keruntuhan: Memprediksi potensi keruntuhan dalam tambang.

6.6.6 Pengolahan Citra dan Pemodelan 3D

• Segmentasi Citra: Membagi citra geologi menjadi area berbeda.
• Rekonstruksi 3D: Membangun model 3D dari data citra.

6.6.7 Optimasi dan Perencanaan Produksi

• Jadwal Produksi: Mengoptimalkan jadwal dan alokasi sumber daya.
• Model Ekonomi: Menganalisis biaya dan pendapatan proyek.

6.7 Studi Kasus: Menghitung Volume Tambang

6.7.1 Latar Belakang

Dalam proyek penambangan, kita sering kali perlu menghitung volume dan mengubah koordinat titik untuk perencanaan. Dalam studi kasus ini, kita akan menggunakan transformasi matriks untuk menghitung volume dari bentuk tambang yang terdefinisi oleh beberapa titik.

6.7.2 Data

Misalkan kita memiliki 4 titik yang membentuk bentuk tambang, masing-masing dengan koordinat $(x,y,z)$ sebagai berikut:

Titik	x	y	z
A	0	0	10
B	5	0	10
C	5	5	5
D	0	5	5

6.7.3 Matriks Koordinat

Kita dapat mendefinisikan matriks koordinat $P$ dari titik-titik tersebut sebagai berikut:

$$P=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 10\\ 5& 0& 10\\ 5& 5& 5\\ 0& 5& 5\end{array}\right]$$

6.7.4 Transformasi Matriks

Kita ingin menerapkan transformasi penskalaan untuk memperbesar ukuran tambang. Misalkan kita menggunakan faktor penskalaan $S$ sebagai berikut:

$$S=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

6.7.4.1 Menghitung Matriks Koordinat Setelah Penskalaan

Transformasi matriks dapat dilakukan dengan mengalikan matriks penskalaan $S$ dengan matriks koordinat $P$:

$$P^{\prime }=S\cdot P$$

Mari kita lakukan perhitungan:

1. Matriks Penskalaan: $$S=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2. Matriks Koordinat Awal: $$P=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 10\\ 5& 0& 10\\ 5& 5& 5\\ 0& 5& 5\end{array}\right]$$

3. Matriks Koordinat Setelah Penskalaan: $$P^{\prime }=S\cdot P=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 10\\ 5& 0& 10\\ 5& 5& 5\\ 0& 5& 5\end{array}\right]$$

   $$P^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}2\cdot 0+0\cdot 5+0\cdot 0& 0\cdot 0+2\cdot 0+0\cdot 5& 0\cdot 10+0\cdot 10+1\cdot 5\\ 2\cdot 5+0\cdot 0+0\cdot 0& 0\cdot 5+2\cdot 0+0\cdot 5& 0\cdot 10+0\cdot 10+1\cdot 10\\ 2\cdot 5+0\cdot 5+0\cdot 0& 0\cdot 5+2\cdot 5+0\cdot 5& 0\cdot 5+0\cdot 5+1\cdot 5\\ 2\cdot 0+0\cdot 5+0\cdot 0& 0\cdot 0+2\cdot 5+0\cdot 0& 0\cdot 5+0\cdot 5+1\cdot 5\end{array}\right]$$

   $$P^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 10\\ 10& 0& 10\\ 10& 10& 5\\ 0& 10& 5\end{array}\right]$$

Menghitung Volume Tambang

Dengan menggunakan metode prisma seperti yang dijelaskan sebelumnya, kita dapat menghitung volume tambang setelah penskalaan.

• Luas alas (A): $$A=\text{panjang}\times \text{lebar}=10\times 10=100$$

• Tinggi (h): $$h=z_A-z_C=10-5=5$$

• Volume (V): $$V=A\cdot h=100\cdot 5=500$$

Kesimpulan

Setelah melakukan transformasi matriks dengan penskalaan dan menghitung volume tambang, kita menemukan bahwa volume tambang setelah penskalaan adalah 500 m³. Penggunaan matriks dalam perhitungan ini sangat membantu untuk mengelola dan menganalisis data geometris dalam proyek penambangan. Perhatikan Visualisasi berikut:

6.8 Studi Kasus: Penjadwalan Produksi di Tambang

6.8.1 Latar Belakang

Penjadwalan produksi di tambang merupakan proses penting dalam manajemen sumber daya dan efisiensi operasi. Dalam studi kasus ini, kita akan menghitung jadwal produksi mingguan untuk tiga jenis mineral yang berbeda berdasarkan kapasitas produksi dan kebutuhan permintaan.

6.8.2 Data

Misalkan kita memiliki data berikut untuk tiga mineral: Bijih Emas (A), Bijih Tembaga (B), dan Bijih Perak (C). Kapasitas produksi harian untuk setiap mineral dan permintaan mingguan adalah sebagai berikut:

Mineral	Kapasitas Produksi (ton/hari)	Permintaan Mingguan (ton)
Bijih Emas (A)	20	240
Bijih Tembaga (B)	15	105
Bijih Perak (C)	10	70

Pertanyaan:

1. Hitung jumlah total kapasitas produksi harian untuk ketiga mineral.
2. Berapa banyak hari yang diperlukan untuk memenuhi permintaan mingguan dari masing-masing mineral?
3. Berdasarkan perhitungan tersebut, buatlah jadwal produksi harian yang optimal selama seminggu untuk ketiga mineral, sehingga permintaan dapat terpenuhi dan memaksimalkan kapasitas produksi.
4. Jika ada kendala dalam produksi, seperti tidak dapat memproduksi lebih dari 5 hari dalam seminggu untuk Bijih Tembaga (B), bagaimana dampaknya terhadap jadwal produksi? Hitung dan jelaskan.

6.9 Studi Kasus: Analisis Keruntuhan Lereng Tambang

6.9.1 Latar Belakang

Dalam teknik pertambangan, stabilitas lereng tambang merupakan faktor kritis yang dapat mempengaruhi keselamatan kerja dan produktivitas. Studi ini bertujuan untuk menganalisis perubahan bentuk lereng tambang 3D akibat tekanan yang diterapkan, menggunakan transformasi linear untuk memodelkan perubahan tersebut.

6.9.2 Data

Misalkan kita memiliki titik-titik yang mendefinisikan bentuk awal lereng dalam ruang 3D sebagai berikut:

Titik	Koordinat (x, y, z)
A	(1, 3, 2)
B	(2, 5, 3)
C	(3, 2, 4)
D	(4, 4, 1)

6.9.3 Matriks Transformasi

Andaikan efek deformasi akibat beban, dapat di interpretasikan menggunakan matriks penskalaan dalam bentuk berikut:

$$T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0.5& 0\\ 0& 0& 0.5\end{array}\right]$$

Matriks ini akan mengubah posisi y dan z dari setiap titik menjadi setengah dari nilai aslinya, yang menggambarkan penurunan lereng akibat tekanan.

Pertanyaan:

1. Deskripsi Matriks: Apa yang digambarkan oleh matriks penskalaan $S$ dalam konteks stabilitas lereng tambang? Mengapa kita hanya menurunkan nilai $y$ dan $z$?

2. Transformasi: Jika koordinat awal titik B adalah $(2,5,3)$, hitunglah koordinat baru titik B setelah menerapkan transformasi yang sama (penskalaan) seperti yang dilakukan pada titik A.

3. Interpretasi Hasil: Apa arti dari posisi baru titik setelah transformasi? Bagaimana perubahan ini dapat mempengaruhi stabilitas lereng tambang?

4. Matriks Rotasi: Sebutkan nilai-nilai dari $\cos ({30}^{\circ })$ dan $\sin ({30}^{\circ })$. Bagaimana nilai ini digunakan dalam perhitungan posisi baru titik?

5. Dampak Deformasi: Diskusikan kemungkinan dampak dari deformasi lereng tambang akibat penurunan nilai $y$ dan $z$. Apa risiko yang mungkin terjadi?