4  Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki variabel yang sama. Tujuan dari SPL adalah untuk mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.

4.1 Bentuk Umum SPL

Bentuk umum dari persamaan linear adalah:

\[ ax + by + c = 0 \] atau,

\[ ax + by = c \]

di mana:

  • \(a, b,\) dan \(c\) adalah konstanta.
  • \(x\) dan \(y\) adalah variabel.

4.2 SPL Dua Variabel

Bentuk Umum SPL dua variabel adalah sebagai berikut:

  1. \(a_1x + b_1y = c_2\)
  2. \(a_2x + b_2y = c_2\)

SPL dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai:

\[ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{bmatrix} \]

4.2.1 Kasus 1: Kebutuhan Mineral

Misalkan kita memiliki dua tambang yang memproduksi dua jenis mineral: Mineral \(A\) dan Mineral \(B\).

  1. Tambang 1 memproduksi 30 ton Mineral \(A\) dan 20 ton Mineral \(B\) per bulan.
  2. Tambang 2 memproduksi 50 ton Mineral \(A\) dan 30 ton Mineral \(B\) per bulan.

Jika perusahaan ingin memenuhi permintaan pasar yang membutuhkan total 450 ton Mineral \(A\) dan 290 ton Mineral \(B\) per bulan, kita dapat menggunakan sistem persamaan linear (SPL) untuk menentukan berapa banyak bulan masing-masing tambang harus beroperasi.

Misalkan \(x\) adalah jumlah bulan Tambang 1 beroperasi, dan \(y\) adalah jumlah bulan Tambang 2 beroperasi. Sistem Persamaannya adalah:

  1. \[ 30x + 50y = 450 \] (untuk Mineral \(A\))
  2. \[ 20x + 30y = 290 \] (untuk Mineral \(B\))

4.2.2 Metode Penyelesaian

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, antara lain:

1. Substitusi

Metode substitusi melibatkan penyelesaian satu persamaan untuk satu variabel, lalu substitusi nilai tersebut ke dalam persamaan lainnya.

Langkah-langkah penyelesaian:

  1. Isolasi \(x\) dalam Persamaan (1):

    \[ 30x = 450 - 50y \] \[ x = \frac{450 - 50y}{30} \] \[ x = 15 - \frac{5y}{3} \]

  2. Substitusi \(x\) ke dalam Persamaan (2):

    \[ 20 \left(15 - \frac{5y}{3}\right) + 30y = 290 \] \[ 300 - \frac{100y}{3} + 30y = 290 \]

  3. Sederhanakan persamaan:

    \[ 300 + \frac{-100y + 90y}{3} = 290 \] \[ 300 - \frac{10y}{3} = 290 \]

  4. Selesaikan untuk \(y\):

    \[ \frac{-10y}{3} = -10 \] \[ y = 3 \]

  5. Substitusi \(y = 3\) ke dalam Persamaan untuk \(x\):

    \[ x = 15 - \frac{5(3)}{3} \] \[ x = 15 - 5 = 10 \]

Jadi, solusi dari sistem persamaan ini adalah:

\[ x = 10, \quad y = 3 \]

2. Eliminasi

Metode eliminasi melibatkan penjumlahan atau pengurangan persamaan untuk mengeliminasi satu variabel.

Langkah-langkah penyelesaian:

  1. Kalikan Persamaan (1) dengan 2 dan Persamaan (2) dengan 3 untuk menyamakan koefisien \(x\):

    \[ 2(30x + 50y) = 2 \times 450 \] \[ 60x + 100y = 900 \]

    \[ 3(20x + 30y) = 3 \times 290 \] \[ 60x + 90y = 870 \]

  2. Kurangkan Persamaan (2) yang sudah dikalikan dari Persamaan (1) yang sudah dikalikan untuk mengeliminasi \(x\):

    \[ (60x + 100y) - (60x + 90y) = 900 - 870 \] \[ 10y = 30 \] \[ y = 3 \]

  3. Substitusi nilai \(y = 3\) ke dalam salah satu persamaan asli, misalnya Persamaan (1):

    \[ 30x + 50(3) = 450 \] \[ 30x + 150 = 450 \] \[ 30x = 300 \] \[ x = 10 \]

Jadi, solusi dari sistem persamaan ini adalah:

\[ x = 10, \quad y = 3 \]

3. Metode Grafik

Metode grafik melibatkan pemetakan setiap persamaan pada grafik dan menemukan titik potongnya. Titik potong tersebut adalah solusi dari sistem persamaan.

Langkah-langkah Penyelesaian

  1. Tentukan Titik pada Persamaan (1):

    Persamaan (1): \(30x + 50y = 450\)

    • Ketika \(x = 0\): \[ 30(0) + 50y = 450 \Rightarrow 50y = 450 \Rightarrow y = 9 \quad (0, 9) \]

    • Ketika \(y = 0\): \[ 30x + 50(0) = 450 \Rightarrow 30x = 450 \Rightarrow x = 15 \quad (15, 0) \]

    Titik-titik pada garis pertama adalah \((0, 9)\) dan \((15, 0)\).

  2. Tentukan Titik pada Persamaan (2):

    Persamaan (2): \(20x + 30y = 290\)

    • Ketika \(x = 0\): \[ 20(0) + 30y = 290 \Rightarrow 30y = 290 \Rightarrow y = \frac{290}{30} \approx 9.67 \quad \left(0, \frac{290}{30}\right) \]

    • Ketika \(y = 0\): \[ 20x + 30(0) = 290 \Rightarrow 20x = 290 \Rightarrow x = \frac{290}{20} = 14.5 \quad \left(\frac{290}{20}, 0\right) \]

    Titik-titik pada garis kedua adalah \(\left(0, \frac{290}{30}\right)\) dan \(\left(\frac{290}{20}, 0\right)\).

  3. Gambarkan Kedua Garis:

Dengan memperhatikan kedua garis pada koordinat kartesius, ditemukan bahwa kedua garis berpotongan di titik \((10, 3)\).

Sehingga dapat disimpulkan, solusi dari sistem persamaan ini adalah:

\[ x = 10, \quad y = 3 \]

Artinya, Tambang 1 harus beroperasi selama 10 bulan, dan Tambang 2 harus beroperasi selama 3 bulan untuk memenuhi kebutuhan pasar sebanyak 450 ton Mineral \(A\) dan 290 ton Mineral \(B\) per bulan.

4.3 SPL Tiga Variabel

Bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel dapat dinyatakan sebagai:

  1. \(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
  2. \(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
  3. \(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)

SPL tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai:

\[ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \\ \end{bmatrix} \]

Keterangan:

  • \(x, y,\) dan \(z\) adalah variabel yang tidak diketahui.
  • \(a_1, b_1, c_1, d_1, a_2, b_2, c_2, d_2, a_3, b_3, c_3, d_3\)) adalah koefisien dan konstanta dari persamaan yang dapat berupa bilangan real.
  • Matriks di sebelah kiri mengandung koefisien dari variabel, sedangkan matriks di sebelah kanan mengandung konstanta.

4.3.1 Kasus 2: Kebutuhan Batubara

Misalkan kita memiliki tiga tambang yang memproduksi tiga jenis batubara: Batubara X, Batubara Y, dan Batubara Z.

  • Tambang 1 memproduksi 20 ton Batubara X, 30 ton Batubara Y, dan 10 ton Batubara Z per bulan.
  • Tambang 2 memproduksi 40 ton Batubara X, 20 ton Batubara Y, dan 30 ton Batubara Z per bulan.
  • Tambang 3 memproduksi 30 ton Batubara X, 40 ton Batubara Y, dan 20 ton Batubara Z per bulan.

Perusahaan ingin memenuhi permintaan pasar yang membutuhkan total 800 ton Batubara X, 600 ton Batubara Y, dan 400 ton Batubara Z per bulan. Kita dapat menggunakan sistem persamaan linear (SPL) untuk menentukan berapa banyak bulan masing-masing tambang harus beroperasi.

Misalkan:

  • \(x\) adalah jumlah bulan Tambang 1 beroperasi,
  • \(y\) adalah jumlah bulan Tambang 2 beroperasi,
  • \(z\) adalah jumlah bulan Tambang 3 beroperasi.

Sistem persamaannya adalah:

\[ \begin{array}{rcl} 20x + 40y + 30z & = & 800 \quad \text{(untuk Batubara X)} \\ 30x + 20y + 40z & = & 600 \quad \text{(untuk Batubara Y)} \\ 10x + 30y + 20z & = & 400 \quad \text{(untuk Batubara Z)} \end{array} \]

Berapa bulan masing-masing tambang (x, y, z) harus beroperasi untuk memenuhi permintaan pasar?

4.3.2 Metode Invers Matriks

Sama halnya dengan SPL dua variabel, kasus ini dapat diselesaikan dengan Metode Substitusi, Metode Eliminasi, dan Metode Grafik. Tetapi prosesnya membutuhkan langkah yang terlalu panjang dan rumit, kasus ini sebaiknya diselesaikan dengan Metode Invers Matriks.

Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas dengan metode invers matriks adalah sebagai berikut:

Tulis Bentuk Matriks

Menyusun Matriks

Dari sistem persamaan, kita dapat menyusun matriks sebagai berikut:

  • Matriks Koefisien (\(A\)): \[ A = \begin{bmatrix} 20 & 40 & 30 \\ 30 & 20 & 40 \\ 10 & 30 & 20 \end{bmatrix} \]

  • Matriks Variabel (\(X\)): \[ X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \]

  • Matriks Konstanta (\(B\)): \[ B = \begin{bmatrix} 800 \\ 600 \\ 400 \end{bmatrix} \]

Sehingga kita dapat menulis sistem persamaan dalam bentuk matriks sebagai:

\[ AX = B \]

Penyelesaian Invers Matriks \(A\)

Untuk menyelesaikan \(X\), kita perlu menghitung invers dari matriks \(A\):

\[ A^{-1}AX = A^{-1}B \]

Jika kita dapat menghitung invers \(A^{-1}\), kita dapat memperoleh:

\[ X = A^{-1}B \]

Hitung Invers Matriks \(A\)

Langkah-langkah Perhitungan adalah sebagai berikut:

  1. Menghitung Determinan Matriks \(A\)

    Determinan \(A\) dihitung dengan ekspansi kofaktor sebagai berikut:

    \[ \det(A) = 20(20 \cdot 20 - 10 \cdot 30) - 40(30 \cdot 20 - 10 \cdot 40) + 30(30 \cdot 10 - 10 \cdot 20) \]

    Dengan menghitung setiap bagian:

    • \(20 \cdot (400 - 300) = 2000\)
    • \(-40 \cdot (600 - 400) = -8000\)
    • \(30 \cdot (300 - 200) = 3000\)

    Sehingga,

    \[ \det(A) = 2000 - 8000 + 3000 = -48000 \]

  2. Menghitung Matriks Kofaktor dan Adjoin Matriks \(A\)

    Setelah menghitung kofaktor untuk setiap elemen, kita memperoleh:

    \[ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -2000 & 1000 & 1000 \\ 3000 & -4000 & 1000 \\ 1000 & 2000 & -600 \end{bmatrix} \]

  3. Menghitung Invers Matriks \(A\)

    Invers matriks \(A\) adalah:

    \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \]

    Dengan \(\det(A) = -48000\), maka:

    \[ A^{-1} = \frac{1}{-48000} \cdot \begin{bmatrix} -2000 & 1000 & 1000 \\ 3000 & -4000 & 1000 \\ 1000 & 2000 & -600 \end{bmatrix} \]

    atau disederhanakan menjadi:

    \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{24} & -\frac{1}{48} & -\frac{1}{48} \\ -\frac{1}{16} & \frac{5}{48} & -\frac{1}{48} \\ -\frac{1}{48} & -\frac{1}{24} & \frac{1}{80} \end{bmatrix} \]

  4. Menghitung Nilai \(x, y,\) dan \(z\)

    Untuk mendapatkan nilai \(X = A^{-1} \cdot B\):

    • Untuk \(x\):

      \[ x = \frac{1}{24} \cdot 800 - \frac{1}{48} \cdot 600 - \frac{1}{48} \cdot 400 = 10 \]

    • Untuk \(y\):

      \[ y = -\frac{1}{16} \cdot 800 + \frac{5}{48} \cdot 600 - \frac{1}{48} \cdot 400 = 5 \]

    • Untuk \(z\):

      \[ z = -\frac{1}{48} \cdot 800 - \frac{1}{24} \cdot 600 + \frac{1}{80} \cdot 400 = 4 \]

Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

  • Jumlah bulan Tambang 1 beroperasi (( x )) = 10 bulan
  • Jumlah bulan Tambang 2 beroperasi (( y )) = 5 bulan
  • Jumlah bulan Tambang 3 beroperasi (( z )) = 4 bulan

Visualisasi Kasus 2

Berikut diperlihatkan visualisasi ketiga persamaanya tersebut: