3  Matriks

Matriks sering kali digunakan untuk mengorganisir dan menganalisis data yang kompleks. Beberapa aplikasi matriks dalam Teknik Pertambangan meliputi:

• Sistem Persamaan Linear: Dalam perencanaan tambang, matriks digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan yang menggambarkan hubungan antara variabel seperti volume material, biaya, dan waktu.

• Analisis Data Geologi: Matriks dapat merepresentasikan data geologi seperti komposisi mineral, kedalaman, dan sifat fisik dari berbagai lapisan tanah atau batuan. Analisis ini penting untuk menentukan strategi penambangan yang optimal.

• Modeling: Matriks digunakan dalam pemodelan geomekanika untuk menganalisis stabilitas lereng dan desain struktur bawah tanah.

3.1 Definisi Matriks

Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang terorganisir dalam bentuk baris dan kolom. Dalam aljabar linear, matriks digunakan untuk merepresentasikan sistem persamaan linear, transformasi linier, dan berbagai operasi matematis lainnya. Matriks memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk fisika, ekonomi, dan teknik.

3.2 Bentuk Umum Matriks

Matriks biasanya dinotasikan sebagai:

\[ A = [a_{ij}] \] atau,

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

Dalam hal ini:

• \(a_{ij}\) menunjukkan elemen pada baris ke-\(i\) dan kolom ke-\(j\),
• \(m\) adalah jumlah baris,
• \(n\) adalah jumlah kolom.

Sebagai contoh, sebuah matriks berukuran \(3 \times 2\) adalah sebagai berikut:

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \]

Dalam matriks ini, ada 3 baris dan 2 kolom.

3.3 Operasi Matriks

Beberapa operasi dasar yang dapat dilakukan pada matriks meliputi:

3.3.1 Penjumlahan dan Pengurangan

Dua matriks dapat dijumlah/dikurang jika memiliki dimensi yang sama. Penjumlahan/Pengurangan dapat dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang sesuai.

Penjumlahan/Pengurangan dua matriks \(A\) dan \(B\) didefinisikan jika kedua matriks memiliki ukuran yang sama, yaitu memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika \(A\) dan \(B\) masing-masing adalah matriks berukuran \(m \times n\), maka hasil penjumlahan \(A \pm B\) adalah matriks \(C\) berukuran \(m \times n\) dengan elemen-elemen \(c_{ij}\) yang didefinisikan sebagai:

\[ C = A \pm B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{bmatrix} \]

Hasil penjumlahan matriks \(A\) dan \(B\) diberikan oleh:

\[ C = \begin{bmatrix} a_{11} \pm b_{11} & a_{12} \pm b_{12} & \dots & a_{1n} \pm b_{1n} \\ a_{21} \pm b_{21} & a_{22} \pm b_{22} & \dots & a_{2n} \pm b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \pm b_{m1} & a_{m2} \pm b_{m2} & \dots & a_{mn} \pm b_{mn} \end{bmatrix} \]

Dengan kata lain, elemen-elemen dari matriks hasil penjumlahan \(C\) adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen pada posisi yang sama di matriks \(A\) dan \(B\):

\[ c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij} \]

3.3.2 Perkalian

Perkalian matriks dilakukan dengan cara mengalikan baris dari matriks pertama dengan kolom dari matriks kedua. Matriks yang dapat dikalikan memiliki aturan dimensi yang spesifik; jika matriks \(\mathbf{A}\) berukuran \(m \times n\) dan matriks \(\mathbf{B}\) berukuran \(n \times p\), maka hasil perkalian \(\mathbf{C} = \mathbf{A} \times \mathbf{B}\) adalah matriks berukuran \(m \times p\).

\[ C = A \times B \]

di mana elemen-elemen dari matriks \(C\) adalah:

\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj} \]

Dimana:

• \(a_{ik}\) adalah elemen pada baris ke-\(i\) dan kolom ke-\(k\) dari matriks \(A\).
• \(b_{kj}\) adalah elemen pada baris ke-\(k\) dan kolom ke-\(j\) dari matriks \(B\).

Misalkan kita memiliki dua matriks \(A\) dan \(B\) sebagai berikut:

Matriks \(A\) berukuran \(2 \times 3\):

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]

Matriks \(B\) berukuran \(3 \times 2\):

\[ B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \]

Untuk menghitung elemen \(c_{11}\) pada matriks hasil \(C\), kita mengalikan baris pertama dari matriks \(A\) dengan kolom pertama dari matriks \(B\):

\[ c_{11} = (1 \times 7) + (2 \times 9) + (3 \times 11) = 7 + 18 + 33 = 58 \]

Elemen \(c_{12}\) dihitung dengan mengalikan baris pertama dari matriks \(A\) dengan kolom kedua dari matriks \(B\):

\[ c_{12} = (1 \times 8) + (2 \times 10) + (3 \times 12) = 8 + 20 + 36 = 64 \] Secara lebih rinci, bentuk umum perkalian dua matriks adalah sebagai berikut:

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{np} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1p} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \dots & c_{mp} \end{bmatrix} \]

Dengan elemen-elemen dari matriks hasil \(C\) sebagai berikut:

\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj} \]

Artinya, setiap elemen \(c_{ij}\) pada matriks \(C\) merupakan hasil penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen pada baris ke-\(i\) dari matriks \(A\) dengan elemen-elemen pada kolom ke-\(j\) dari matriks \(B\).

3.3.3 Transpos

Transpos dari matriks \(\mathbf{A}\), dilambangkan dengan \(\mathbf{A}^T\), adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom dan sebaliknya.

\[ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

Jika elemen dari matriks \(A\) adalah \(a_{ij}\), maka elemen dari matriks transpos \(A^T\) dapat dinyatakan sebagai:

\[ (A^T)_{ij} = a_{ji} \]

Artinya, elemen pada baris ke-\(i\) dan kolom ke-\(j\) pada matriks transpos \(A^T\) adalah sama dengan elemen pada baris ke-\(j\) dan kolom ke-\(i\) pada matriks \(A\).

Misalkan kita memiliki matriks \(A\) sebagai berikut:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]

Maka transpos dari matriks \(A\) adalah:

\[ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \]

Sifat-sifat Transpos:

1. Transpos dari Transpos \[(A^T)^T = A\]

2. Penjumlahan Matriks \[(A + B)^T = A^T + B^T\]

3. Perkalian Matriks \[(A \times B)^T = B^T \times A^T\]

Transpos matriks merupakan operasi penting dalam aljabar linear, yang memungkinkan kita untuk melakukan berbagai manipulasi dan analisis terhadap matriks dengan mudah. Dengan memahami cara transpos matriks, kita dapat menerapkan sifat-sifat dan aturan-aturan dalam berbagai konteks matematika dan aplikasi lainnya.

3.3.4 Determinant

Determinant adalah nilai yang terkait dengan matriks persegi dan digunakan untuk menentukan apakah matriks tersebut memiliki invers.

Determinant dari matriks \(A\) berukuran \(n \times n\) biasanya dilambangkan dengan \(\det (A)\) atau \(|A|\).

Penghitungan Determinan:

1. Determinant Matriks 2x2

   Untuk matriks \(A\) berukuran \(2 \times 2\):

   \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

   Determinannya dihitung dengan rumus:

   \[ \det(A) = ad - bc \]

2. Determinant Matriks 3x3

   Untuk matriks \(B\) berukuran \(3 \times 3\):

   \[ B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]

   Determinannya dihitung dengan rumus:

   \[ \det(B) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \]

Sifat-sifat Determinan:

1. Determinant Matriks Identitas \[ \det(I) = 1 \]

2. Jika salah satu baris atau kolom dari matriks adalah nol \[ \det(A) = 0 \]

3. Determinant dari matriks yang ditukar Jika dua baris (atau dua kolom) dari matriks ditukar, maka determinan akan berubah tanda: \[ \det(B) = -\det(A) \]

4. Determinant dari hasil kali matriks \[ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \]

5. Determinant dari matriks invers \[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \]

Determinant adalah alat penting dalam aljabar linear, memberikan informasi mengenai sifat matriks dan digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk pemecahan sistem persamaan linear, analisis kestabilan, dan dalam geometri untuk menentukan volume. Memahami cara menghitung dan sifat-sifat determinan sangat penting untuk analisis matriks.

3.3.5 Invers

Invers matriks adalah matriks yang, ketika dikalikan dengan matriks asli, menghasilkan matriks identitas. Tidak semua matriks memiliki invers; hanya matriks persegi (matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama) yang dapat memiliki invers, dan matriks tersebut harus bersifat invertible, yaitu determinannya tidak sama dengan nol.

Invers dari matriks \(A\) dilambangkan dengan \(A^{-1}\). Jika \(A\) adalah matriks berukuran \(n \times n\), maka invers \(A^{-1}\) memenuhi hubungan berikut:

\[ A \times A^{-1} = I \]

di mana \(I\) adalah matriks identitas berukuran \(n \times n\). Cara Menghitung Invers Matriks:

1. Metode Adjoin (Cofactor)

   Untuk menghitung invers dari matriks \(A\) berukuran \(2 \times 2\):

   \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

   Inversnya dapat dihitung dengan rumus:

   \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

   Dengan catatan bahwa \(\det(A) \neq 0\).

2. Metode Gauss-Jordan

   Metode ini melibatkan pembentukan matriks augmented yang menggabungkan matriks \(A\) dengan matriks identitas dan menerapkan operasi baris elementer hingga matriks \(A\) menjadi matriks identitas. Matriks identitas yang dihasilkan di sisi kanan dari matriks augmented akan menjadi invers dari \(A\).

Sifat-sifat Invers:

1. Invers dari Matriks Identitas \[I^{-1} = I\]

2. Invers dari Hasil Kali Matriks \[(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\]

3. Invers dari Invers \[(A^{-1})^{-1} = A\]

4. Jika \(A\) memiliki invers, maka \(A^{-1}\) juga memiliki invers.

Misalkan kita memiliki matriks \(A\):

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]

Untuk menghitung inversnya, kita terlebih dahulu menghitung determinannya:

\[ \det(A) = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5 \]

Karena \(\det(A) \neq 0\), kita dapat menghitung invers:

\[ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \]

Invers matriks adalah konsep fundamental dalam aljabar linear, digunakan dalam pemecahan sistem persamaan linear, analisis kestabilan, dan banyak aplikasi matematis lainnya. Memahami cara menghitung dan sifat-sifat invers sangat penting dalam analisis matriks.

\[ \begin{aligned} (x_2 - x_1)^2 &= 2^2 = 4 \\ (y_2 - y_1)^2 &= (-2)^2 = 4 \\ (z_2 - z_1)^2 &= (-2)^2 = 4 \\ \end{aligned} \]

Jumlahkan hasil kuadrat:

\[ 4 + 4 + 4 = 12 \]

Ambil akar kuadrat dari jumlah tersebut:

\[ d_{AB} = \sqrt{12} \approx 3.46 \]

3.4 Terapan Matriks

3.4.1 Analisis Data

Seorang ahli geologi sedang menganalisis data dari tiga lokasi pengeboran yang berbeda. Pada setiap lokasi, mereka mengukur komposisi dua jenis mineral. Hasil pengukuran tersebut disusun dalam bentuk matriks sebagai berikut:

\[ \mathbf{G} = \begin{bmatrix} \text{Lokasi} & \text{Komposisi 1} & \text{Komposisi 2} \\ \text{A} & 0.5 & 0.7 \\ \text{B} & 0.6 & 0.8 \\ \text{C} & 0.4 & 0.9 \end{bmatrix} \]

Dalam matriks ini, setiap baris mewakili lokasi pengeboran, dan setiap kolom mewakili persentase komposisi mineral di setiap lokasi. Ahli geologi ingin mengetahui beberapa hal berikut:

1. Penjumlahan komposisi total per lokasi: Tentukan jumlah total komposisi mineral di setiap lokasi pengeboran \((A, B, dan C)\).
2. Lokasi dengan komposisi mineral tertinggi: Di lokasi manakah total komposisi mineral (Komposisi 1 + Komposisi 2) paling tinggi?
3. Rata-rata komposisi mineral: Hitung rata-rata komposisi dari setiap jenis mineral (Komposisi 1 dan Komposisi 2) di semua lokasi.

Untuk menjawab pertanyaan di atas, Anda dapat menggunakan konsep dasar matriks dan operasi penjumlahan.

Langkah Penyelesaian:

1. Untuk menghitung penjumlahan komposisi total per lokasi, kita perlu menjumlahkan komposisi 1 dan komposisi 2 di setiap baris:

   • Lokasi \(A: 0.5 + 0.7 = 1.2\)
   • Lokasi \(B: 0.6 + 0.8 = 1.4\)
   • Lokasi \(C: 0.4 + 0.9 = 1.3\)

2. Untuk menemukan lokasi dengan komposisi tertinggi, kita bandingkan jumlah total setiap lokasi:

   • Lokasi \(A: 1.2\)
   • Lokasi \(B: 1.4\) (tertinggi)
   • Lokasi \(C: 1.3\)

   Jadi, lokasi dengan total komposisi tertinggi adalah Lokasi B.

3. Untuk menghitung rata-rata komposisi mineral, kita ambil rata-rata dari setiap kolom:

   • Komposisi 1: \[\frac{0.5 + 0.6 + 0.4}{3} = \frac{1.5}{3} = 0.5\]
   • Komposisi 2: \[\frac{0.7 + 0.8 + 0.9}{3} = \frac{2.4}{3} = 0.8\]

   Rata-rata komposisi mineral untuk Komposisi 1 adalah 0.5 dan untuk Komposisi 2 adalah 0.8.

Dengan menggunakan matriks di atas, kita dapat menganalisis data geologi secara efisien dan membuat kesimpulan yang dapat membantu perencanaan proyek pertambangan.

3.4.2 Transformasi Koordinat

Seorang insinyur pertambangan sedang bekerja di tambang bawah tanah dan ingin memodelkan pergerakan sebuah alat berat yang bergerak di sepanjang terowongan. Alat berat tersebut awalnya berada pada posisi vektor:

\[ v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Namun, karena medan tambang yang tidak rata, alat ini mengalami transformasi koordinat. Pergerakan alat tersebut dimodelkan dengan menggunakan matriks transformasi \(T\), yang merepresentasikan perubahan koordinat sesuai dengan faktor berikut:

\[ T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

Faktor ini menunjukkan bahwa pergerakan alat berat di sepanjang sumbu \(X\) dilipatgandakan 2 kali, di sepanjang sumbu \(Y\) dilipatgandakan 3 kali, dan di sepanjang sumbu \(Z\) dilipatgandakan 4 kali.

Pertanyaannya, tentukan posisi baru alat berat tersebut setelah mengalami transformasi ini. Visualisasikan pergerakan alat berat tersebut dari koordinat awal hingga koordinat akhir.

Diketahui:

Vektor posisi awal alat berat:

\[ v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Matriks transformasi \(T\):

\[ T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

Dengan menghitung transformasi \(v'\), posisi baru alat berat menjadi:

\[ v' = T \cdot v = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Artinya, alat berat kini berada di koordinat \(v' = (2, 6, 4)\), setelah transformasi. Berikut adalah visualisasi dari perubahan posisi alat berat tersebut.

Berikut ini diperlihatkan visualiasai vektor \(v\) yang mengalami transformasi menjadi vektor \(v'\) dengan perubahan koordinat sesuai dengan matriks transformasi yang diterapkan. Vektor \(v'\) memiliki koordinat yang lebih besar karena elemen-elemen matriks \(T\) memperbesar nilai \(x\), \(y\), dan \(z\) masing-masing sesuai dengan faktor yang ada pada diagonal matriks transformasi tersebut.