2  Vektor

Aljabar linear, khususnya konsep vektor dan matriks, merupakan alat penting dalam berbagai aspek Teknik Pertambangan. Dalam dunia pertambangan, teknik ini digunakan untuk menganalisis data, memodelkan sistem geologi, serta merancang dan mengoptimalkan proses penambangan.

Penguasaan konsep vektor dan matriks tidak hanya memberikan dasar yang kuat dalam aljabar linear, tetapi juga memungkinkan mahasiswa Teknik Pertambangan untuk menerapkan metode matematis dalam analisis dan pengambilan keputusan di lapangan. Mahasiswa-i teknik pertambangan dapat dioptimalkan untuk meningkatkan efisiensi dan keamanan dalam operasi penambangan.

2.1 Vektor

Vektor digunakan untuk merepresentasikan berbagai parameter yang terkait dengan lokasi dan orientasi dalam ruang. Misalnya, vektor dapat digunakan untuk menggambarkan:

• Posisi dan Arah: Vektor posisi digunakan untuk menunjukkan lokasi titik-titik penting di dalam area tambang, seperti posisi sumur bor atau titik pengambilan sampel.

• Gaya dan Vektor Kecepatan: Dalam mekanika batuan, vektor digunakan untuk menggambarkan gaya yang bekerja pada bahan galian dan vektor kecepatan untuk memodelkan pergerakan material.

2.1.1 Definisi Vektor

Vektor adalah objek matematika yang memiliki dua sifat utama: arah dan magnitude (besar). Vektor dapat dipandang sebagai suatu kuantitas yang memiliki informasi mengenai seberapa besar dan ke mana suatu nilai atau kondisi mengarah. Dalam aljabar linear, vektor digunakan untuk merepresentasikan berbagai jenis data dan hubungan dalam ruang multidimensi.

2.1.2 Ciri-ciri Vektor

• Magnitude: Menggambarkan seberapa besar atau kuat vektor tersebut. Magnitude biasanya dihitung menggunakan rumus Pythagoras pada vektor dalam dua atau tiga dimensi.

• Arah: Menunjukkan ke mana vektor tersebut mengarah. Arah dapat dinyatakan dalam derajat, radian, atau sebagai sudut terhadap sumbu koordinat.

• Dimensi: Vektor dapat memiliki dimensi satu (vektor baris atau kolom), dua, tiga, atau lebih, tergantung pada jumlah komponen yang dimiliki. Sebuah vektor dalam $n$-dimensi biasanya dituliskan sebagai:

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$$

2.1.3 Notasi Vektor

Vektor sering kali dilambangkan dengan huruf tebal (misalnya, $\mathbf{v}$) atau dengan tanda panah di atas huruf (misalnya, $\overrightarrow{v}$). Notasi ini membedakan vektor dari skalar, yang hanya memiliki magnitude tanpa arah.

2.1.4 Operasi pada Vektor

Penjumlahan/Pengurangan Vektor

Dua vektor dapat dijumlah/dikurang jika mereka memiliki dimensi yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang sesuai.

$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right),\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)\Rightarrow \mathbf{u}\pm \mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\pm v_1\\ u_2\pm v_2\\ ⋮\\ u_n\pm v_n\end{array}\right)$$

Perkalian Skalar

Mengalikan vektor dengan bilangan (skalar) akan mengubah magnitude vektor tetapi tidak mengubah arah.

$$c\cdot \mathbf{v}=c\cdot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c{v}_1\\ c{v}_2\\ ⋮\\ c{v}_n\end{array}\right)$$

Dot Product

Operasi ini menghasilkan skalar dan digunakan untuk menghitung sudut antara dua vektor serta menentukan apakah vektor tersebut saling tegak lurus.

$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+\dots +u_n{v}_n$$

Cross Product

Hanya berlaku untuk vektor dalam tiga dimensi, menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang digunakan.

$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-u_3{v}_2\\ u_3{v}_1-u_1{v}_3\\ u_1{v}_2-u_2{v}_1\end{array}\right)$$

Dengan pemahaman yang baik tentang vektor, mahasiswa dan profesional dapat mengaplikasikan konsep ini untuk menyelesaikan masalah yang kompleks.

2.2 Terapan Vektor

Vektor dan matriks merupakan konsep dasar dalam aljabar linear yang memiliki berbagai aplikasi dalam teknik pertambangan. Dalam konteks ini, vektor dan matriks digunakan untuk memodelkan dan menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan eksplorasi dan ekstraksi sumber daya mineral.

2.2.1 Representasi Geometris

Vektor digunakan untuk merepresentasikan posisi, arah, dan gaya dalam ruang tiga dimensi. Dalam eksplorasi pertambangan, vektor dapat digunakan untuk menunjukkan lokasi titik pengeboran dan arah pengeboran.

Misalkan, seorang insinyur sedang merancang jalur transportasi antara tiga titik lokasi alat berat di suatu proyek konstruksi. Titik-titik tersebut memiliki koordinat sebagai berikut:

• Titik $A:(2,3,5)$
• Titik $B:(4,1,3)$
• Titik $C:(1,2,6)$

Dapat dituliskan dalam bentuk vektor sebagai berikut:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 5\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 3\end{array}\right),\mathbf{C}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 6\end{array}\right)$$

Perhatikan visualisasi jalur transportasi antara tiga titik lokasi alat berat di suatu proyek konstruksi tersebut adalah:

Insinyur tersebut perlu menghitung jarak antara titik $A,B,$ dan $C$ untuk merencanakan rute transportasi yang efisien. Mari kita hitung jarak antara setiap pasangan titik menggunakan rumus Pythagoras.

Menghitung Jarak antara Titik $A$ dan $B$

Diberikan titik $A$ dan $B$, kita akan menghitung jarak menggunakan rumus:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

Perhitungan

• Titik A: (A(2, 3, 5))
• Titik B: (B(4, 1, 3))

$$\begin{array}{rl}{x}_2-x_1& =4-2=2\\ y_2-y_1& =1-3=-2\\ z_2-z_1& =3-5=-2\end{array}$$

Selanjutnya, kita kuadratkan setiap selisih:

$$\begin{array}{rl}(x_2-x_1{)}^2& =2^2=4\\ (y_2-y_1{)}^2& =(-2{)}^2=4\\ (z_2-z_1{)}^2& =(-2{)}^2=4\end{array}$$

Jumlahkan hasil kuadrat:

$$4+4+4=12$$

Ambil akar kuadrat dari jumlah tersebut:

$$d_{AB}=\sqrt{12}\approx 3.46$$

Menghitung Jarak antara Titik $B$ dan $C$

Selanjutnya, kita hitung jarak antara titik $B$ dan $C$.

• Titik $B:B(4,1,3)$
• Titik $C:C(1,2,6)$

$$\begin{array}{rl}{x}_2-x_1& =1-4=-3\\ y_2-y_1& =2-1=1\\ z_2-z_1& =6-3=3\end{array}$$

Kuadratkan setiap selisih:

$$\begin{array}{rl}(x_2-x_1{)}^2& =(-3{)}^2=9\\ (y_2-y_1{)}^2& =1^2=1\\ (z_2-z_1{)}^2& =3^2=9\end{array}$$

Jumlahkan hasil kuadrat:

$$9+1+9=19$$

Ambil akar kuadrat dari jumlah tersebut:

$$d_{BC}=\sqrt{19}\approx 4.36$$

Menghitung Jarak antara Titik $C$ dan $A$

Terakhir, kita hitung jarak antara titik $C$ dan $A$.

• Titik $C:C(1,2,6)$
• Titik $A:A(2,3,5)$

$$\begin{array}{rl}{x}_2-x_1& =2-1=1\\ y_2-y_1& =3-2=1\\ z_2-z_1& =5-6=-1\end{array}$$

Kuadratkan setiap selisih:

$$\begin{array}{rl}(x_2-x_1{)}^2& =1^2=1\\ (y_2-y_1{)}^2& =1^2=1\\ (z_2-z_1{)}^2& =(-1{)}^2=1\end{array}$$

Jumlahkan hasil kuadrat:

$$1+1+1=3$$

Ambil akar kuadrat dari jumlah tersebut:

$$d_{CA}=\sqrt{3}\approx 1.73$$

Ringkasan Hasil Jarak

• Jarak antara Titik $A$ dan $B:\approx 3.46$
• Jarak antara Titik $B$ dan $C:\approx 4.36$
• Jarak antara Titik $C$ dan $A:\approx 1.73$

Dengan demikian, insinyur dapat merencanakan rute transportasi yang efisien berdasarkan jarak yang telah dihitung.

2.3 Analisis Gaya

Seorang insinyur pertambangan sedang menganalisis gaya yang bekerja pada sebuah alat berat yang sedang mengangkat beban di dalam terowongan. Alat berat tersebut mengangkat beban seberat 600 N ke atas dengan gaya $\overrightarrow{F_1}$ dan mendukung alat tersebut ke sisi kanan dengan gaya $\overrightarrow{F_2}$ sebesar 400 N.

1. Tentukan vektor gaya total yang bekerja pada alat berat tersebut.
2. Hitunglah magnitudo dari gaya total tersebut.
3. Jika alat berat tersebut harus bergerak ke atas dengan kecepatan tetap, berapakah gaya yang diperlukan untuk mengimbangi gaya gravitasi?

2.3.1 Pembahasan

Menentukan Vektor Gaya Total

Dari informasi yang diberikan: $$\text{Gaya mengangkat ke atas: }\overrightarrow{F_1}=\left(\begin{array}{c}0\\ 600\end{array}\right)\text{ N}$$ $$\text{Gaya ke sisi kanan: }\overrightarrow{F_2}=\left(\begin{array}{c}400\\ 0\end{array}\right)\text{ N}$$

Untuk mendapatkan gaya total $\overrightarrow{F_{total}}$, kita jumlahkan kedua vektor gaya tersebut: $$\overrightarrow{F_{total}}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 600\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}400\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}400\\ 600\end{array}\right)\text{ N}$$

Menghitung Magnitudo Gaya Total

Magnitudo dari gaya total dapat dihitung menggunakan rumus jarak Euclidean: $$|\overrightarrow{F_{total}}|=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{{400}^2+{600}^2}$$ $$=\sqrt{160000+360000}=\sqrt{520000}\approx 721.11\text{ N}$$

Gaya yang Diperlukan untuk Mengimbangi Gaya Gravitasi

Gaya gravitasi yang bekerja pada alat berat adalah 600 N (sebanding dengan berat beban yang diangkat). Agar alat berat dapat bergerak ke atas dengan kecepatan tetap, gaya yang bekerja ke atas harus sama dengan gaya gravitasi. Oleh karena itu, gaya yang diperlukan adalah: $$\overrightarrow{F_{diperlukan}}=600\text{ N}$$

Penjelasan Visualisasi:

Vektor Gaya - Tiga vektor yang ditunjukkan:

• Gaya Mengangkat (F1): Ditarik dari titik asal (0,0) ke (0,600) dalam warna biru.
• Gaya Sisi Kanan (F2): Ditarik dari titik asal (0,0) ke (400,0) dalam warna merah.
• Gaya Total (F_total): Ditarik dari titik asal (0,0) ke (400,600) dalam warna hijau.

2.3.2 Kesimpulan

Dalam analisis ini, kita menemukan bahwa vektor gaya total yang bekerja pada alat berat adalah $$\overrightarrow{F_{total}}=\left(\begin{array}{c}400\\ 600\end{array}\right)\text{ N}$$ dengan magnitudo sekitar 721.11 N. Untuk menjaga alat berat bergerak ke atas dengan kecepatan tetap, gaya yang diperlukan adalah sama dengan gaya gravitasi, yaitu 600 N.