5  Ruang Vektor dan Basis

Dalam dunia teknik, terutama dalam bidang pertambangan, analisis dan pengolahan data menjadi semakin penting seiring dengan perkembangan teknologi. Pertambangan modern tidak hanya bergantung pada pengalaman dan keterampilan praktis, tetapi juga pada pemodelan matematis dan analisis data untuk meningkatkan efisiensi dan efektivitas operasi.

5.1 Ruang Vektor 2D

Ruang vektor 2D memiliki beberapa sifat penting yang harus dipenuhi agar suatu himpunan vektor dan operasi pada himpunan tersebut dapat disebut sebagai ruang vektor. Sifat-sifat utama ruang vektor meliputi:

1. Arah: Menunjukkan ke mana panah itu mengarah.
2. Panjang: Menunjukkan seberapa jauh panah itu menjangkau.

Misalkan kita memiliki dua vektor dalam dua dimensi:

• Vektor $\mathbf{A}=(2,3)$
• Vektor $\mathbf{B}=(4,1)$

Vektor $A$ dapat digambarkan sebagai panah yang mengarah ke titik (2, 3) di bidang, dan Vektor $B$ mengarah ke titik (4, 1). Dalam ruang vektor, kita dapat melakukan dua operasi dasar: penjumlahan dan perkalian dengan angka (skalar).

5.1.1 Penjumlahan Vektor

Ketika kita menjumlahkan dua vektor, kita menggabungkan kedua panah tersebut. Misalnya, untuk menjumlahkan vektor $A$ dan vektor $B:$

$$\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=(2,3)+(4,1)=(2+4,3+1)=(6,4)$$

Hasilnya, vektor $\mathbf{C}=(6,4)$ adalah panah yang mengarah ke titik (6, 4) di bidang. Ini berarti kita bisa membayangkan bahwa kita menggerakkan panah $A$ ke ujung panah $B$ untuk mendapatkan panah $C$.

5.1.2 Perkalian dengan Angka (Skalar)

Sekarang, mari kita coba mengalikan vektor $A$ dengan angka, misalnya 3:

$$\mathbf{D}=3\cdot \mathbf{A}=3\cdot (2,3)=(3\cdot 2,3\cdot 3)=(6,9)$$

Hasilnya, vektor $\mathbf{D}=(6,9)$ adalah panah yang panjangnya tiga kali lipat dari vektor $A$, tetapi arahnya tetap sama. Jika vektor $A$ mengarah ke titik (2, 3), vektor $D$ sekarang mengarah ke titik (6, 9).

5.1.3 Visualisasi Ruang Vektor

5.2 Ruang Vektor 3D

Ruang vektor 3D adalah perpanjangan dari ruang vektor 2D yang melibatkan satu dimensi tambahan. Di ruang 3D, vektor memiliki tiga komponen yang menunjukkan arah dan panjang dalam tiga sumbu $(x,y,z).$ Vektor di ruang 3D bisa diwakili sebagai titik yang memiliki koordinat $(x,y,z)$, dan operasi penjumlahan serta perkalian dengan skalar tetap dapat diterapkan.

Misalkan kita memiliki dua vektor dalam tiga dimensi:

• Vektor $\mathbf{A}=(2,3,1)$
• Vektor $\mathbf{B}=(4,1,5)$

Vektor $\mathbf{A}$ dapat digambarkan sebagai panah yang mengarah ke titik $(2,3,1)$ di ruang 3D, dan vektor $\mathbf{B}$ mengarah ke titik $(4,1,5)$. Dalam ruang vektor 3D, kita dapat melakukan dua operasi dasar: penjumlahan dan perkalian dengan angka (skalar), sama seperti pada ruang 2D.

5.2.1 Penjumlahan Vektor 3D

Ketika kita menjumlahkan dua vektor, kita menggabungkan komponen-komponen mereka secara individual. Misalnya, untuk menjumlahkan vektor $A$ dan vektor $B$:

$$\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=(2,3,1)+(4,1,5)=(2+4,3+1,1+5)=(6,4,6)$$

Hasilnya, vektor $\mathbf{C}=(6,4,6)$ adalah panah yang mengarah ke titik $(6,4,6)$ di ruang 3D. Sama seperti dalam 2D, kita bisa membayangkan bahwa kita menggerakkan panah $A$ ke ujung panah $B$ untuk mendapatkan panah $C$.

5.2.2 Perkalian dengan Angka (Skalar)

Sekarang, mari kita coba mengalikan vektor $A$ dengan angka (skalar), misalnya 3:

$$\mathbf{D}=3\cdot \mathbf{A}=3\cdot (2,3,1)=(3\cdot 2,3\cdot 3,3\cdot 1)=(6,9,3)$$

Hasilnya, vektor $\mathbf{D}=(6,9,3)$ adalah panah yang panjangnya tiga kali lipat dari vektor $A$, tetapi arahnya tetap sama. Jika vektor $A$ mengarah ke titik $(2,3,1)$, maka vektor $D$ mengarah ke titik $(6,9,3)$ di ruang 3D.

5.2.3 Visualisasi Ruang Vektor 3D

5.3 Sifat Ruang Vektor

1. Eksistensi Elemen Nol (Vektor Nol)

Ruang vektor 2D memiliki vektor nol $\overrightarrow{0}=(0,0)$, yang jika dijumlahkan dengan vektor mana pun $\overrightarrow{v}$, hasilnya tetap $\overrightarrow{v}$.

Contoh: Untuk vektor $\overrightarrow{u}=(3,4)$, maka $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=(3+0,4+0)=(3,4)$.

2. Eksistensi Invers Penjumlahan (Vektor Negatif)

Untuk setiap vektor $\overrightarrow{v}$ dalam ruang 2D, ada vektor invers $-\overrightarrow{v}$ sedemikian rupa sehingga $\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}$.

Contoh: Jika $\overrightarrow{v}=(2,5)$, maka inversnya adalah $-\overrightarrow{v}=(-2,-5)$, sehingga $\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{v})=(2-2,5-5)=(0,0)$.

3. Asosiatif pada Penjumlahan

Penjumlahan dalam ruang vektor bersifat asosiatif, yang berarti bahwa untuk setiap tiga vektor $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$, dan $\overrightarrow{w}$, berlaku:

$$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$$

4. Komutatif pada Penjumlahan

Penjumlahan vektor bersifat komutatif, yang berarti bahwa untuk setiap dua vektor $\overrightarrow{u}$ dan $\overrightarrow{v}$, berlaku:

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

5. Distribusi Skalar terhadap Penjumlahan Vektor
   Untuk setiap skalar $c$ dan dua vektor $\overrightarrow{u}$ dan $\overrightarrow{v}$, berlaku:
   $$c\cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=(c\cdot \overrightarrow{u})+(c\cdot \overrightarrow{v})$$

6. Distribusi Skalar terhadap Penjumlahan Skalar
   Untuk setiap dua skalar $a$ dan $b$, dan satu vektor $\overrightarrow{v}$, berlaku:

   $$(a+b)\cdot \overrightarrow{v}=(a\cdot \overrightarrow{v})+(b\cdot \overrightarrow{v})$$

7. Asosiatif pada Perkalian Skalar
   Untuk setiap dua skalar $a$ dan $b$, dan satu vektor $\overrightarrow{v}$, berlaku:
   $$a\cdot (b\cdot \overrightarrow{v})=(a\cdot b)\cdot \overrightarrow{v}$$

8. Identitas Perkalian Skalar

Untuk setiap vektor $\overrightarrow{v}$, perkalian skalar dengan 1 tidak mengubah vektor tersebut:

$$1\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$$

5.4 Mengapa Ruang Vektor Penting?

1. Analisis Data: Teknik pertambangan seringkali melibatkan pengumpulan data dalam jumlah besar. Vektor dapat digunakan untuk merepresentasikan data geologis, hasil eksplorasi, dan parameter lainnya dalam bentuk yang lebih terstruktur.

2. Pemodelan Geospasial: Ruang vektor memungkinkan insinyur dan geolog untuk memodelkan bentuk dan distribusi mineral, kontur tanah, dan fitur geologis lainnya. Dengan menggunakan vektor, kita dapat memvisualisasikan dan menganalisis geometri kompleks.

3. Optimasi Proses: Dalam pengambilan keputusan mengenai lokasi pengeboran atau rencana penambangan, ruang vektor membantu dalam optimasi dan simulasi berbagai skenario berdasarkan parameter yang berbeda.

4. Pengolahan Citra: Di era digital, pengolahan citra satelit atau UAV (drone) untuk survei tanah dan eksplorasi mineral menjadi semakin penting. Vektor digunakan untuk merepresentasikan informasi piksel dalam citra dan untuk analisis spasial.

5.5 Penerapan Ruang Vektor

5.5.1 Representasi Geometri dalam Geologi

Dalam geologi, vektor sering digunakan untuk merepresentasikan koordinat titik di ruang tiga dimensi. Misalnya, saat mengambil sampel batuan di lapangan, titik-titik pengambilan sampel dapat direpresentasikan sebagai vektor di ruang 3D, dengan setiap koordinat $(x,y,z)$ menggambarkan posisi geografis dari sampel tersebut.

Contoh Kasus

Misalkan kita ingin memetakan beberapa titik pengambilan sampel di suatu peta geologis. Setiap titik memiliki koordinat yang menunjukkan lokasi pengambilan sampel:

• Titik $\mathbf{A}=(3,4,2)$
• Titik $\mathbf{B}=(5,1,7)$
• Titik $\mathbf{C}=(2,8,4)$

Setiap titik ini dapat dianggap sebagai vektor yang merepresentasikan lokasi sampel batuan di ruang tiga dimensi.

Visualisasi Titik Pengambilan Sampel

Kita bisa memvisualisasikan titik-titik pengambilan sampel ini di ruang 3D.

5.5.1.1 Menghitung Jarak

Vektor dapat digunakan untuk merepresentasikan titik-titik pengambilan sampel di ruang tiga dimensi. Dalam kasus ini, kita akan menghitung jarak antara tiga titik yang diberikan:

• Titik A = $(3,4,2)$
• Titik B = $(5,1,7)$
• Titik C = $(2,8,4)$

Rumus untuk menghitung jarak antara dua titik di ruang 3D adalah:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

1. Menghitung Jarak antara Titik A dan Titik B

Diketahui:

• Titik A = $(3,4,2)$
• Titik B = $(5,1,7)$

Menggunakan rumus jarak:

$$d_{AB}=\sqrt{(5-3{)}^2+(1-4{)}^2+(7-2{)}^2}$$

Langkah-langkah perhitungan:

$$d_{AB}=\sqrt{(2{)}^2+(-3{)}^2+(5{)}^2}$$

$$d_{AB}=\sqrt{4+9+25}$$

$$d_{AB}=\sqrt{38}$$

$$d_{AB}\approx 6.16\text{ satuan}$$

Jadi, jarak antara titik A dan B adalah sekitar 6.16 satuan.

2. Menghitung Jarak antara Titik A dan Titik C

Diketahui:

• Titik A = $(3,4,2)$
• Titik C = $(2,8,4)$

Menggunakan rumus jarak:

$$d_{AC}=\sqrt{(2-3{)}^2+(8-4{)}^2+(4-2{)}^2}$$

Langkah-langkah perhitungan:

$$d_{AC}=\sqrt{(-1{)}^2+(4{)}^2+(2{)}^2}$$

$$d_{AC}=\sqrt{1+16+4}$$

$$d_{AC}=\sqrt{21}$$

$$d_{AC}\approx 4.58\text{ satuan}$$

Jadi, jarak antara titik A dan C adalah sekitar 4.58 satuan.

3. Menghitung Jarak antara Titik B dan Titik C

Diketahui:

• Titik B = $(5,1,7)$
• Titik C = $(2,8,4)$

Menggunakan rumus jarak:

$$d_{BC}=\sqrt{(2-5{)}^2+(8-1{)}^2+(4-7{)}^2}$$

Langkah-langkah perhitungan:

$$d_{BC}=\sqrt{(-3{)}^2+(7{)}^2+(-3{)}^2}$$

$$d_{BC}=\sqrt{9+49+9}$$

$$d_{BC}=\sqrt{67}$$

$$d_{BC}\approx 8.19\text{ satuan}$$

Jadi, jarak antara titik B dan C adalah sekitar 8.19 satuan.

Kesimpulan:

Jarak antara titik-titik yang telah dihitung:

• Jarak antara titik A dan B: $d_{AB}\approx 6.16$
• Jarak antara titik A dan C: $d_{AC}\approx 4.58$
• Jarak antara titik B dan C: $d_{BC}\approx 8.19$

Titik-titik ini dapat digunakan untuk representasi geometri, seperti pengambilan sampel di suatu area tambang dalam geologi.

5.5.2 Analisis Kualitas Mineral

Data kualitas mineral dapat dianalisis dengan representasi vektor untuk menentukan konsentrasi mineral dalam sampel tanah. Setiap sampel dapat direpresentasikan sebagai vektor, dan analisis dapat dilakukan untuk mengevaluasi potensi area penambangan.

Dalam geologi, data kualitas mineral dapat direpresentasikan sebagai vektor, di mana setiap elemen dari vektor mewakili konsentrasi mineral dalam suatu sampel tanah. Dengan menganalisis vektor-vektor ini, kita dapat mengevaluasi potensi area penambangan.

Misalkan kita memiliki dua sampel tanah dengan komposisi mineral sebagai berikut:

• Sampel 1 = $(10,5,8)$
• Sampel 2 = $(7,9,6)$

Setiap elemen dari vektor tersebut mewakili konsentrasi mineral dalam satuan tertentu (misalnya, persen atau gram per kilogram). Tiga elemen dalam setiap vektor mewakili tiga jenis mineral utama yang kita analisis.

Penjumlahan Vektor

Untuk mendapatkan kombinasi konsentrasi mineral dari kedua sampel, kita dapat menjumlahkan kedua vektor:

$$\mathbf{C}={\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}+{\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}$$

Dengan melakukan penjumlahan, kita mendapatkan:

$$\mathbf{C}=(10,5,8)+(7,9,6)=(10+7,5+9,8+6)$$

Langkah-langkah perhitungan:

$$\mathbf{C}=(17,14,14)$$

Hasil penjumlahan ini memberikan kita konsentrasi total dari ketiga mineral di area yang mengandung kedua sampel tersebut. Dengan demikian, konsentrasi gabungan dari sampel 1 dan sampel 2 untuk masing-masing mineral adalah 17, 14, dan 14.

Perkalian Skalar

Jika kita ingin memperkirakan pengaruh faktor lingkungan yang mengurangi konsentrasi mineral pada kedua sampel tersebut hingga 60%, kita dapat menggunakan perkalian skalar untuk memodelkan pengurangan ini:

$$\mathbf{D}=0.6\cdot {\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}$$

Untuk Sampel 1:

$${\mathbf{D}}_{\mathbf{1}}=0.6\cdot (10,5,8)$$

Langkah-langkah perhitungan:

$${\mathbf{D}}_{\mathbf{1}}=(0.6\cdot 10,0.6\cdot 5,0.6\cdot 8)$$

$${\mathbf{D}}_{\mathbf{1}}=(6,3,4.8)$$

Jadi, setelah faktor lingkungan diperhitungkan, konsentrasi mineral pada sampel 1 menjadi 6, 3, dan 4.8 untuk masing-masing mineral.

Jarak Vektor

Untuk mengukur perbedaan kualitas mineral antara kedua sampel, kita dapat menghitung jarak Euclidean antara vektor Sampel 1 dan Sampel 2:

Rumus jarak antara dua vektor di ruang 3D adalah:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

Menggunakan rumus ini, kita menghitung jarak antara Sampel 1 $(10,5,8)$ dan Sampel 2 $(7,9,6)$:

$$d=\sqrt{(7-10{)}^2+(9-5{)}^2+(6-8{)}^2}$$

Langkah-langkah perhitungan:

$$d=\sqrt{(-3{)}^2+(4{)}^2+(-2{)}^2}$$

$$d=\sqrt{9+16+4}$$

$$d=\sqrt{29}$$

$$d\approx 5.39$$

Jadi, jarak antara kedua sampel dalam hal konsentrasi mineral adalah sekitar 5.39 satuan. Ini menunjukkan perbedaan kualitas mineral yang cukup signifikan antara kedua sampel.

Linear Combination

Jika kita ingin mengetahui kombinasi linear dari beberapa sampel, kita dapat menggunakan operasi kombinasi linear dalam ruang vektor. Misalkan kita ingin mengetahui kualitas mineral dari kombinasi 70% Sampel 1 dan 30% Sampel 2, kita menghitungnya sebagai berikut:

$$\mathbf{L}=0.7\cdot {\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}+0.3\cdot {\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}$$

Langkah-langkah perhitungan:

$$\mathbf{L}=0.7\cdot (12,8,5)+0.3\cdot (9,11,6)$$

$$\mathbf{L}=(8.4,5.6,3.5)+(2.7,3.3,1.8)$$

$$\mathbf{L}=(8.4+2.7,5.6+3.3,3.5+1.8)$$

$$\mathbf{L}=(11.1,8.9,5.3)$$

Kombinasi linear ini memberikan kita estimasi kualitas mineral dari dua lokasi, dengan konsentrasi masing-masing mineral sebesar 11.1, 8.9, dan 5.3.

Kesimpulan:

Menggunakan konsep ruang vektor, kita dapat melakukan analisis kualitas mineral yang komprehensif:

1. Penjumlahan Vektor: Menggabungkan konsentrasi mineral dari beberapa sampel.
2. Perkalian Skalar: Memodelkan pengaruh faktor eksternal yang mempengaruhi kualitas mineral.
3. Jarak Vektor: Mengukur perbedaan kualitas mineral antara dua sampel.
4. Kombinasi Linear: Menentukan kualitas mineral dari kombinasi beberapa sampel dengan proporsi tertentu.