Rozdział 9 Strategia log-optymalna

Gra “krzywą monetą”(http://bankonomia.nazwa.pl/kelly) pokazuje, że w przypadku inwestycji powtarzalnych należy szukać korzystnych zakładów (czyli takich zakładów, których wartość oczekiwana jest dodatnia). W przypadku znalezienia korzystnych zakładów (tylko takie należy podejmować) należy ryzykować swoim majątkiem w sposób optymalny. Zbyt ostrożne podejście sprawia, że zwrot z inwestycji jest niewielki, zbyt “odważne” podejście powoduje, że nie tylko nie zarabiamy, ale również tracimy to, co mamy.

Tzw. strategia Kelly’ego pokazuje, że — w przypadku inwestycji powtarzalnych — kryterium, którym powinniśmy się kierować jest oczekiwana logarytmiczna stopa zwrotu z majątku. Maksymalizacja oczekiwanej logarytmicznej (a nie prostej!) stopy zwrotu z całego majątku (a nie tylko z inwestycji!) prowadzi w długim okresie do maksymalizacji majątku.

W poniższych ćwiczeniach należy znaleźć odpowiedzi maksymalizując oczekiwaną logarytmiczną stopę zwrotu z majątku.

Należy pamiętać, że

\[CAGR = e^{\bar{r}}-1\]

Symulacja gry “krzywą monetą”

9.1 Ćwiczenia

Zadanie 9.1 Przypuśćmy, że mamy okazję regularnie (powtarzalnie) inwestować w pewną strukturę na rynku finansowym. Zainwestowany kapitał może w krótkim okresie albo zostać podwojony, albo też w całości go stracimy. Prawdopodobieństwo zaistnienia pierwszego zdarzenia jest za każdym razem równe 0,6. Jesteśmy w posiadaniu kapitału początkowego o wartości 100 USD. Jaką strategię należy obrać? Jakie średnie tempo wzrostu kapitału można osiągnąć?

Zadanie 9.2 Przypuśćmy, że mamy okazję regularnie (powtarzalnie) inwestować w pewną strukturę na rynku finansowym. Zainwestowany kapitał może w krótkim okresie albo zostać podwojony, albo też w całości go stracimy. Prawdopodobieństwo zaistnienia pierwszego zdarzenia jest za każdym razem równe p. Jesteśmy w posiadaniu kapitału początkowego o wartości 100 USD. Jaką strategię należy obrać?

Zadanie 9.3 Przypuśćmy, że dzięki liczeniu kart w każdej grze w blackjacka mamy 50,75-procentowe prawdopodobieństwo uzyskania podwojenia zaangażowanego kapitału (w pozostałych przypadkach tracimy całą zaangażowaną kwotę). Jaką część całej puli powinniśmy inwestować w każdej grze? Jeżeli jedna gra trwa 2 minuty i gramy 8 godzin dziennie, po jakim czasie (w przypadku optymalizacji ryzyka) należy się spodziewać podwojenia kapitału?

Zadanie 9.4 Przypuśćmy, że mamy okazję regularnie inwestować w przedsięwzięcie, którego kapitał może albo zostać potrojony, albo też poniesiemy pełną stratę. Prawdopodobieństwo potrojenia to 0,5. Jaką strategię należy obrać? Jakie średnie tempo wzrostu kapitału można osiągnąć?

Zadanie 9.5 Przypuśćmy, że mamy okazję regularnie inwestować w przedsięwzięcie, którego kapitał może albo zostać potrojony, albo też poniesiemy pełną stratę. Prawdopodobieństwo potrojenia to p. Jaką strategię należy obrać?

Zadanie 9.6 Przypuśćmy, że możliwa jest powtarzalna inwestycja w dwa rodzaje aktywów: w akcję, której cena z równym prawdopodobieństwem w każdym okresie się podwaja lub zmniejsza o połowę, oraz w aktywo wolne od ryzyka, które nie zmienia swojej wartości (w gotówkę). Jaką strategię należy obrać? Jakie średnie tempo wzrostu kapitału można osiągnąć? Jakie będzie długookresowe średnie tempo wzrostu kapitału, jeżeli całość środków zainwestujemy w akcje? Jakie będzie długookresowe średnie tempo wzrostu kapitału, jeżeli całość środków zatrzymamy w gotówce?

Zadanie 9.7 Przypuśćmy, że możliwa jest powtarzalna inwestycja w trzy rodzaje aktywów: akcję A, która z prawdopodobieństwem 0,5 pozwoli uzyskać prostą stopę zwrotu równą 100% i z prawdopodobieństwem 0,5 przyniesie prostą stopę zwrotu równą -50%, nieskorelowaną akcję B o takich samych parametrach, jak akcja A oraz gotówkę. Jaką strategię należy obrać? Jakie średnie tempo wzrostu kapitału można osiągnąć?

Zadanie 9.8 Ruletka - jaka jest optymalna strategia w przypadku ruletki (zadanie ??)