Rozdział 6 Model CAPM

6.1 Linia rynku kapitałowego

Model CAPM zakłada, że wszyscy inwestorzy mają ten sam okres utrzymywania aktywów oraz jednakowo przewidują rozkład stóp zwrotu (oczekiwane stopy zwrotu, wariancje, kowariancje).

Zgodnie z modelem CAPM, który jest wynikiem analizy średniej-wariancji, racjonalni inwestorzy będą chcieli zbudować portfel oparty na portfelu stycznym T. Portfel styczny staje się portfelem rynkowym M, ponieważ jest on wspólny dla wszystkich inwestorów. Aby zbudować portfele o różnym poziomie ryzyka będą łączyć go portfel rynkowy z aktywami wolnymi od ryzyka. Takie portfele efektywne przedstawia linia rynku kapitałowego (CML).

Na wykresie, na którym na osi $x$ jest odchylenie standardowe, a na osi $y$ oczekiwana stopa zwrotu, można narysować linię rynku kapitałowego (capital market line, CML). Jest to linia prosta przechodząca przez punkt oznaczający aktywo wolne od ryzyka i portfel rynkowy M.

Rysunek 6.1: Linia rynku kapitałowego

Portfele efektywne leżą na linii rynku kapitałowego.

Formuła linii rynku kapitałowego:

$$E(R) = R_f + \frac{E(R_M)-R_f}{\sigma_M}\sigma$$

Współczynnik kierunkowy linii rynku kapitałowego ($E(R_M)-R_f)/\sigma_M$) to cena ryzyka (price of risk). Pokazuje ile dodatkowego zwrotu inwestorzy powinni oczekiwać od dodatkowej jednostki ryzyka mierzonego odchyleniem standardowym.

Nie wszystkie aktywa znajdują się na linii CML, nawet w stanie równowagi rynkowej. Znajdują się na niej tylko portfele efektywne.

6.2 Wycena aktywów kapitałowych CAPM

Model wyceny aktywów kapitałowych (Capital Asset Pricing Model, CAPM) może zostać wyprowadzony z analizy średniej-wariancji, założenia o efektywności portfela rynkowego oraz z założenia o istnieniu aktywa wolnego od ryzyka.

6.2.1 Równanie CAPM

Równanie modelu wyceny aktywów kapitałowych wygląda następująco:

$$E(R_i) = R_f + \beta_i \left(E(R_M) - R_f\right),$$

gdzie $E(R_i)$ to oczekiwana stopa zwrotu z aktywa (portfela) $i$, $R_f$ to stopa wolna od ryzyka, $E(R_M)$ oczekiwana rynkowa stopa zwrotu.

Różnica $E(R_M) - R_f$ nazywana jest premią za ryzyko rynkowe, a różnica $E(R_i)-R_f$ nazywana jest premią za ryzyko aktywa $i$.

Ze wzoru widzimy, że premia za ryzyko aktywa $i$ zależy od współczynnika $\beta_i$.

6.2.2 Współczynnik beta

Współczynnik $\beta_i$ znany jest jako beta. Jest to znormalizowana kowariancja stóp zwrotu aktywa $i$ oraz portfela rynkowego. Normalizacja polega na podzieleniu kowariancji stóp zwrotu aktywa $i$ oraz rynkowej przez wariancję rynkowej stopy zwrotu:

$$\beta_i = \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2} = \frac{\rho_{iM} \sigma_i}{\sigma_M}$$

Dla przypomnienia, w powyższym wzorze $\sigma_{iM}$ to kowariancja pomiędzy stopą zwrotu aktywa $i$ a rynkową stopą zwrotu, $\sigma^2_{M}$ to wariancja rynkowej stopy zwrotu, $\sigma_i$ to odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa $i$, zaś $\rho_{iM}$ to korelacja pomiędzy rynkową stopą zwrotu a stopą zwrotu aktywa $i$.

6.2.3 Beta portfela

Można pokazać, że współczynnik beta portfela jest średnią ważoną bet poszczególnych aktywów:

$$\beta_p = \sum_{i=1}^n w_i \beta_i$$

6.3 Linia rynku papierów wartościowych

Linia rynku papierów wartościowych (security market line, SML) pokazuje zależność pomiędzy betą a oczekiwaną stopą zwrotu. Jest to równanie CAPM przedstawione na wykresie. W warunkach równowagi rynkowej na SML powinny leżeć wszystkie aktywa i portfele (nie tylko portfele efektywne).

Rysunek 6.2: Linia rynku papierów wartościowych

6.4 Ryzyko systematyczne i specyficzne

Według modelu CAPM rzeczywiste stopy zwrotu z poszczególnych aktywów kształtują się według następującego wzoru:

$$R_i = R_f + \beta_i (R_M - R_f) + \epsilon_i$$

Wartość oczekiwana składnika losowego $\epsilon_i$ to według CAPM $E(\epsilon_i)=0$.

Można wyprowadzić następujący wzór na wariancję stopy zwrotu $V(R_i)=\sigma_i^2$:

$$\sigma_i^2=\beta_i^2 \sigma^2_M + \sigma^2_{\epsilon_i}$$

Ten wzór można interpretować w ten sposób, że wariancja stopy zwrotu każdego aktywa składa się z części $\beta_i^2 \sigma^2_M$ związanej z ryzykiem rynku jako całości (ryzyko systematyczne, niedywersyfikowalne) oraz z części dywersyfikowalnej $\sigma^2_{\epsilon_i}$ (ryzyko niesystematyczne, idiosynkratyczne, specyficzne).

Część specyficzna nie jest istotna dla inwestora – jeżeli dane aktywo stanowi składnik dobrze zdywersyfikowanego portfela, w jego wycenie według modelu CAPM brane pod uwagę jest wyłącznie ryzyko systematyczne.

6.5 Model CAPM a decyzje inwestorów

Jeżeli model CAPM jest prawdziwy, najlepsza decyzja dla inwestorów to utrzymywanie portfela zbliżonego do portfela rynkowego. Stąd inwestorzy powinni chętnie korzystać z tak zwanych funduszy indeksowych, na przykład w formie tzw. ETF-ów.

Indeks Jensena i współczynnik Sharpe’a pomagają porównać rzeczywiste wyniki z założeniami modelu CAPM.

Indeks Jensena aktywa/portfela $i$ to:

$$J_i = \bar{R_i} - R_f - \hat{\beta}_i (\bar{R}_M - R_f),$$

gdzie $\bar{R_i}$ to średnia zaobserwowana historyczna stopa zwrotu aktywa $i$, $R_f$ to stopa wolna od ryzyka z tego okresu, $\hat{\beta}_i$ to oszacowana na podstawie danych historycznych beta aktywa $i$, a $\bar{R}_M$ to średnia zaobserwowana historyczna rynkowa stopa zwrotu.

Indeks Jensena pokazuje, czy zwrot z danego aktywa (portfela, funduszu) jest wyższy (J>0) czy niższy (J<0) niż zwrot wynikający z bety funduszu. Jeżeli model CAPM działa, średnio indeks Jensena powinien wynosić zero.

Uwaga! Indeks Jensena wynoszący 0 nie oznacza, że portfel jest efektywny.

Indeks Sharpe’a ex post aktywa/portfela $i$ to:

$$\text{Sharpe } ex\: post = \frac{\bar{R}_i-R_f}{{s}_i},$$

gdzie $s_i$ to historyczne zaobserwowane odchylenie standardowe stóp zwrotu aktywa $i$.

Indeks Sharpe’a stanowi próbę oszacowania czy dany portfel/aktywo jest porfelem efektywnym (leżącym na granicy efektywnej przechodzącej przez portfel rynkowy oraz aktywo wolne od ryzyka). Uzyskaną wartość należy porównać z odpowiednią wartością dla portfela rynkowego.

6.6 CAPM jako model wyceny

Jeżeli rynek pozostaje w równowadze, według modelu CAPM powinna zostać spełniona następująca zależność.

$$\frac{E(P_1)-P_0}{P_0}=R_f + \beta \left(E(R_M)-R_f\right),$$

gdzie $E(P_1)$ to wartość oczekiwana aktywów (oczekiwana cena) na koniec okresu utrzymywania aktywów, $P_0$ to cena bieżąca, $\beta$ to odpowiednia beta danych aktywów.

Stąd jeżeli założymy, że znamy wszystkie wartości, łącznie z $E(P_1)$, uzyskujemy formułę na cenę bieżącą:

$$P_0 = \frac{E(P_1)}{1+R_f+\beta\left(E(R_M)-R_f\right)}$$

Pomijamy tutaj dywidendy (albo wliczamy je odpowiednio do ceny, tworząc adjusted price).

6.7 Ćwiczenia

Zadanie 6.1 (Ruppert and Matteson 2015) Ile wynosi beta portfela, jeżeli $E(R_P)=16\%$, $R_f = 5{,}5\%$ i $E(R_M)=11\%$?

Zadanie 6.2 (Ruppert and Matteson 2015) Załóżmy, że stopa wolna od ryzyka to 0,03, a oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego wynosi 0,14. Odchylenie standardowe portfela rynkowego to 0,12.

1. Zgodnie z CAPM, jaki jest efektywny sposób zainwestowania z oczekiwaną stopą zwrotu równą 0,11?

2. Ile wynosi ryzyko (odchylenie standardowe) takiego portfela?

Zadanie 6.3 (Ruppert and Matteson 2015) Załóżmy, że stopa wolna od ryzyka to $R_f=0{,}023$, oczekiwana wartość stopy zwrotu z portfela rynkowego to $E(R_M)=0{,}10$ i ryzyko portfela rynkowego wynosi $\sigma_M=0{,}12$.

1. Ile wynosi oczekiwany zwrot z portfela efektywnego, którego odchylenie standardowe wynosi $\sigma_P = 0,05$?

2. Stopy zwrotu z akcji A mają kowariancję ze zwrotami rynkowymi na poziomie $\sigma_{AM} = 0{,}004$. Ile wynosi beta akcji A?

3. Akcje B mają betę równą 1,5, a $\sigma_{\epsilon_B}=0,18$. Akcje C mają betę równą 1,8, zaś $\sigma_{\epsilon_B}=0,28$. Ile wynosi oczekiwana stopa zwrotu z portfela składającego się z w połowie z akcji B i w połowie z akcji C? Ile wynosi ryzyko tego portfela przy założeniu, że stopy zwrotu z akcji B i C są niezależne.

Zadanie 6.4 (Ruppert and Matteson 2015) Załóżmy, że stopa wolna od ryzyka wynosi 4%, a rynkowa oczekiwana stopa zwrotu wynosi 12%. Odchylenie standardowe rynkowych stóp zwrotu to 11%. Załóżmy również, że kowariancja stóp zwrotu akcji A z rynkiem wynosi 165[%²] (=$165 \cdot (1/100)^2$ = 0,0165).

1. Ile wynosi beta akcji A?

2. Ile wynosi oczekiwana stopa zwrotu akcji A?

3. Jeżeli wariancja stóp zwrotu akcji A wynosi 440[%²], jaki jest procentowy udział składnika systematycznego w tej wariancji?

Zadanie 6.5 (Ruppert and Matteson 2015) Załóżmy, że są trzy aktywa ryzykowne z następującymi wartościami bet oraz wariancjami składnika losowego (idiosykratycznego) $\sigma^2_{\epsilon_j}$.

j	beta akcji j	wariancja składnika losowego akcji j
1	0,9	0,010
2	1,1	0,015
3	0,6	0,011

Załóżmy również, że wariancja rynkowej stopy zwrotu $R_M$ wynosi 0,014.

1. Ile wynosi beta portfela złożonego w równych częściach z tych trzech aktywów?
2. Ile wynosi wariancja takiego portfela?
3. Jaka jest udział składnika systematycznego wynikającego z ryzyka rynkowego w całościowej wariancji aktywa 1?

Zadanie 6.6 (Ruppert and Matteson 2015) Załóżmy, że istnieją dwa aktywa obarczone ryzykiem: C i D. Portfel styczny składa się w 60% z C i w 40% z D. Oczekiwana roczna stopa zwrotu to odpowiednio 4% i 6%. Odchylenie standardowe rocznych stóp zwrotu to 10% and 18%. Korelacja pomiędzy stopami zwrotu C i D to 0.5. Stopa wolna od ryzyka wynosi 1.2%.

1. Ile wynosi oczekiwana roczna stopa zwrotu z portfela stycznego?

2. Ile wynosi odchylenie standardowe rocznych stóp zwrotu z portfela stycznego?

3. Jeżeli chcemy uzyskać portfel efektywny z odchyleniem standardowym rocznych zwrotów w wysokości 3%, jaki powinien być udział w takim portfelu aktywa wolnego od ryzyka?

4. Jeżeli chcemy mieć portfel efektywny z oczekiwaną stopą zwrotu 7%, w jakich proporcjach powinniśmy mieć w portfelu aktywo C, aktywo D i aktywo wolne od ryzyka?

Zadanie 6.7 (Ruppert and Matteson 2015) Ile wynosi beta portfela, jeżeli oczekiwana stopa zwrotu tego portfela to $E(R_P)=15\%$, stopa wolna od ryzyka to $R_f=6\%$, a oczekiwana rynkowa stopa zwrotu to $E(R_M)=12\%$? Należy założyć, że działa model CAPM, a rynek jest w równowadze.

Zadanie 6.8 (Luenberger 2003) (Linia rynku kapitałowego) Załóżmy, że oczekiwana stopa zwrotu z portfela rynkowego wynosi 23%, a stopa zwrotu bonów skarbowych (wolnych od ryzyka) wynosi 7%. Odchylenie standardowe portfela rynkowego 32%. Załóżmy, że portfel rynkowy jest efektywny.

1. Napisz równanie linii rynku kapitałowego.

2. Jakie powinno być odchylenie standardowe, jeżeli wymagana stopa zwrotu wynosi 39%? Gdybyś miała do zainwestowania 1 000 USD, jak powinnaś ulokować swój kapitał, żeby osiągnąć taką stopę zwrotu?

3. Jakiej wypłaty powinnaś oczekiwać na koniec roku, jeżeli zainwestowałaś 300 USD w aktywa wolne od ryzyka i 700 dol. w portfel rynkowy?

Zadanie 6.9 (Luenberger 2003) Rozważmy świat, w którym są tylko dwa aktywa ryzykowna A i B oraz aktywa wolne od ryzyka, F. Podaży na rynku obu ryzykownych aktywów jest równa, tzn. M = 0,5A + 0,5B. Dane są następujące informacje: $R_f = 0,10$, $\sigma_A^2=0,04$, $\sigma_{AB}=0,01$, $\sigma_B^2=0,02$ i $E(R_M)=0,18$.

1. Zapisz ogólne wyrażenia (nie podstawiając wartości) dla $\sigma_M^2$, $\beta_A$, $\beta_B$.

2. Jakie, według CAPM, są wartości liczbowe $E(R_A)$ i $E(R_B)$?

Zadanie 6.10 (Luenberger 2003) W Prostolandii istnieją tylko dwie ryzykowne akcje A i B, które opisano w tabeli:

Akcja	Liczba akcji w obrocie	Cena 1 akcji (USD)	Oczekiwana stopa zwrotu (proc.)	Odchylenie standardowe stopy zwrotu (proc.)
Akcja A	100	1,5	15	15
Akcja B	150	2,0	12	9

Współczynnik korelacji pomięDzy stopą zwrotu z akcji A a stopą zwrotu z akcji B wynosi $\rho = 1/3$. Istnieją również aktywa wolne od ryzyka, a Prostolandia spełnia wszystkie założenia modelu CAPM.

1. Jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z portfela rynkowego?

2. Jakie jest odchylenie standardowe portfela rynkowego?

3. Ile wynosi współczynnik beta akcji A?

4. Ile wynosi stopa wolna od ryzyka w Prostolandii?

Zadanie 6.11 (Luenberger 2003) W tabeli przedstawiono 10-letnią historię stóp zwrotu uzyskanych przez fundusz inwestycyjny ABC. Mamy ocenić te wyniki na podstawie teorii dochodu i ryzyka oraz modelu CAPM. Czy jest to dobry fundusz, który można zarekomendować inwestorom? Czy przez inwestora kierującego się wartością oczekiwaną i wariancją może być używany jako substytut portfela rynkowego?

Rok	ABC - stopa zwrotu (proc.)	S & P - stopa zwrotu (proc.)	bony skarbowe - oprocentowanie (proc.)
1	14	12	7,0
2	10	7	7,5
3	19	20	7,7
4	-8	-2	7,5
5	23	12	8,5
6	28	23	8,0
7	20	17	7,3
8	14	20	7,0
9	-9	-5	7,5
10	19	16	8,0

1. Ile wynosi historyczna średnia arytmetyczna i średnia geometryczna (CAGR) stóp zwrotu poszczególnych aktywów?

2. Ile wynosi historyczne odchylenie standardowe stóp zwrotu tych aktywów?

3. Ile wynosi kowariancja pomiędzy nadwyżkową stopą zwrotu funduszu ABC ($R_{ABC} - R_{f}$) a nadwyżkową stopą zwrotu rynkową ($R_{M} - R_{f}$)? Jako rynek przyjmujemy indeks S&P.

4. Ile wynosi współczynnik beta funduszu ABC?

5. Ile wynosi indeks Jensena dla funduszu ABC i dla całego rynku?

6. Ile wynosi współczynnik Sharpe’a ex post dla funduszu ABC i dla całego rynku?

7. Co na tej podstawie możemy powiedzieć o funduszu ABC?

Zadanie 6.11 Rozważmy możliwość zainwestowania w akcje spółki naftowej, której dochody można traktować jak zmienną losową z uwagi na niepewność związaną z wielkością złoża i przyszłymi zmianami cen ropy. Oczekiwana wartość dochodu z posiadania tych akcji jest równa 1 000 USD przy relatywnie wysokim odchyleniu standardowym na poziomie 40%. Współćzynnik beta wynosi 0,6 i jest stosunkowo niski, ponieważ o ile ryzyko związane ze zmianami cen ropy jest skorelowane z rynkiem, o tyle poziom wydobycia ropy skorelowany nie jest. Stopa wolna od ryzyka jest

Literatura

Luenberger, David G. 2003. Teoria Inwestycji Finansowych. Przedsiębiorczość / Fundacja Edukacyjna Przedsiębiorczości. Warszawa: Wydaw. Naukowe PWN.

Ruppert, David, and David S. Matteson. 2015. Statistics and Data Analysis for Financial Engineering: With r Examples. 2nd ed. 2015 edition. New York Heidelberg Dordrecht London: Springer.