7  สมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้นและการประยุกต์ในทางเศรษฐศาสตร์

ข้อจำกัด

เนื่องจากในบทนี้ชุดคำสั่งของ caracas ยังไม่ลองรับการใช้งานสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์โดยตรง ทำให้จำเป็นต้องใช้การคำนวณด้วยชุดคำสั่งของ SymPy โดยตรงจากภาษาไพธอน แต่ผู้เขียนจะใช้วิธีทำงานบนพื้นฐานของอาร์อยู่ เพื่อคงไว้ซึ่งชื่อของหนังสือคือ คณิตศาสตร์สำหรับนักเศรษฐศาสร์ด้วยอาร์

การที่นักเศรษฐศาสตร์ต้องศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ (Ordinary Differential Equations: ODEs) เป็นเรื่องที่ สำคัญมาก โดยเฉพาะในสายงานเศรษฐศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ พลวัตของระบบ (dynamic systems) เช่น การเจริญเติบโตทางเศรษฐกิจ, พฤติกรรมการบริโภคในระยะเวลา, หรือแม้แต่การเงินระหว่างประเทศ

7.1 ทำไมนักเศรษฐศาสตร์ต้องศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์?

1. เพื่อเข้าใจพลวัตของระบบเศรษฐกิจ เศรษฐกิจเป็นระบบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เช่น GDP, เงินเฟ้อ, การลงทุน ฯลฯ สมการ ODE ช่วยอธิบายว่า “ตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร” เช่น Solow growth model: การเปลี่ยนแปลงของทุน K $$\frac{dK(t)}{dt}=sY(t)-\delta K(t)$$

2. ใช้สร้างแบบจำลองเศรษฐศาสตร์จุลภาคและมหภาค

   • Consumption models เช่น Ramsey–Cass–Koopmans model ใช้ ODE อธิบายการบริโภคระยะยาว

   • IS-LM dynamic model ใช้ ODE แสดงการปรับตัวของตลาดเงินและตลาดสินค้า

   • Overlapping Generation Model (OLG) อาศัย ODE เพื่อวิเคราะห์พฤติกรรมของรุ่นประชากรในอนาคต

3. ใช้ในเศรษฐศาสตร์การเงิน (Financial Economics)

   • การกำหนดราคาสินทรัพย์ (เช่น bond, stock)

   • Black-Scholes Equation เป็นสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน (PDE) ที่มีรากฐานจาก ODE

   • Interest Rate Models เช่น Vasicek model

4. เข้าใจพฤติกรรมสมดุลและเสถียรภาพ

   • การวิเคราะห์จุดสมดุล (steady state)

   • การดูว่าเศรษฐกิจมีแนวโน้มเข้าสู่ภาวะสมดุดลหรือไม่ โดยใช้ eigenvalue analysis จากระบบ ODE

7.1.1 ตัวอย่างสมการที่นักเศรษฐศาสตร์ควรรู้

แบบจำลอง	รูปแบบสมการ	คำอธิบาย
Solow Model	$\frac{dk}{dt}=sf(k)-\delta k$	การเติบโตของทุนต่อหัว
Ramsey Model	$\frac{dc}{dt}=\frac{1}{\theta }(f^{\prime }(k)-\rho -\delta )\cdot c$	พฤติกรรมบริโภคที่เหมาะสม
IS-LM dynamic	$\frac{dY}{dt}=\alpha (C(Y)+I(r)+G-Y)$	การปรับตัวของรายได้
Predator-Prey (ในเศรษฐกิจพลังงาน/สิ่งแวดล้อม)	$\frac{dx}{dt}=ax-bxy$,$\frac{dy}{dt}=-cy+dxy$	ทรัพยากร vs การบริโภค

7.2 สมการเชิงอนุพันธ์ (Ordinary Differential Equation: ODE)

สมการเชิงอนุพันธ์ คือสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน $y(t)$ และอนุพันธ์ของมัน (เช่น $\frac{dy}{dt}$, $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$, ฯลฯ)

นิยามของสมการเชิงอนุพันธ์

สมการที่มีลักษณะทั่วไป: $$F(t,y,\frac{dy}{dt},\frac{d^{2}y}{d{t}^2},\dots ,\frac{d^{n}y}{d{t}^n})=0$$ โดยที่ $y=y(t)$ คือฟังก์ชันที่ไม่ทราบล่วงหน้า (unknown function) และ $t$ คือตัวแปรอิสระ เช่นเวลา

ประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์

1. ตามลำดับอนุพันธ์

   • อันดับหนึ่ง (First order): $$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$$

   • อันดับสองขึ้นไป (Higher-order): $$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=g(t)$$

2. ตามลักษณะ

   • เชิงเส้น (Linear): ไม่มี $y^2$, $y\cdot \frac{dy}{dt}$, ฯลฯ

   • ไม่เชิงเส้น (Nonlinear): มีผลคูณหรือกำลังของ $y$ และอนุพันธ์

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์

เป้าหมายคือ: หา ฟังก์ชัน $y(t)$ ที่เป็นคำตอบของสมการนั้น

ตัวอย่าง:
$$\frac{dy}{dt}=3y$$

วิธีแก้:

1. แยกตัวแปร (Separation of Variables): $$\frac{1}{y}dy=3dt$$
2. อินทิเกรตทั้งสองข้าง: $$\ln |y|=3t+C$$
3. ยกกำลัง: $$y=C{e}^{3t}$$

คำตอบทั่วไป (General Solution): ฟังก์ชันที่ขึ้นกับค่าคงที่ $C$

คำตอบเฉพาะ (Particular Solution): เมื่อกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น เช่น $y(0)=2$ แล้วแทนหา $C$

7.3 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วย caracas และ SymPy

แม้ caracas จะไม่สามารถแก้ ODE ได้โดยตรงเหมือนใน SymPy (Python) แต่เราสามารถใช้ caracas ร่วมกับ reticulate เพื่อเรียก SymPy มาใช้งานได้เต็มรูปแบบในอาร์

ขั้นตอนการใช้งานและตัวอย่าง

# 1. เรียกใช้านชุดคำสั่งที่จำเป็น
library(reticulate)
# 2. นำเข้า SymPy
sympy <- import("sympy")

สมมุติเราจะแก้สมการ
$$\frac{dy}{dt}=ky$$ 3. นิยามตัวแปรและฟังก์ชัน

t <- sympy$symbols("t")
k <- sympy$Symbol("k")
y <- sympy$Function("y")

4. สร้างสมการเชิงอนุพันธ์

ode <- sympy$Eq(sympy$diff(y(t), t), k * y(t))
ode

Eq(Derivative(y(t), t), k*y(t))

5. แก้สมการเชิงอนุพันธ์

sol <- sympy$dsolve(ode)
sol

Eq(y(t), C1*exp(k*t))

ปัญหา ผลลัพธ์ที่ออกอยู่ในรูปการคำนวณด้วยโปรแกรม แต่ก็ยังสามารถอ่านเข้าใจได้ แต่สำหรับการเขียนรายงานแล้ว จำเป็นต้องเปลี่ยนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปสมการที่สวยงาน จึงสร้างฟังก์ชัน latex_render() ขึ้นมาเพื่อเปลี่ยนผลลัพธ์เป็นภาษา

latex_render <- function(sympy_expr, use_rhs = TRUE) {
  sympy <- import("sympy")

  # ถ้าเป็น Eq ให้เลือก rhs หรือทั้งสมการ
  if ("Eq" %in% class(sympy_expr) && use_rhs) {
    latex_str <- sympy$latex(sympy_expr$rhs)
  } else {
    latex_str <- sympy$latex(sympy_expr)
  }

  cat("$$", latex_str, "$$\n")
}

วิธีการใช้งาน จะต้อง กำหนด chuck code ในรูปแบบนี้

```{r}
#| results='asis'
latex_render(sol)
```

ผลลัพธ์ในรายจะออกมาเป็นสมการสวยงามแบบนี้

$$y\left(t\right)=C_1{e}^{kt}$$

เพิ่มเติม: การกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น (Initial Conditions) เช่น กำหนดว่า $y(0)=y_0$ สามารทำได้โดยใช้ฟังก์ชัน dic() ช่วยดังนี้

# สร้าง initial condition: y(0) = y0
ics <- dict()
ics[[y(0L)]] <- sympy$Symbol("y0")
ics

{y(0): y0}

# แก้ ODE พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น
sol2 <- sympy$dsolve(ode, ics = ics)
sol2

Eq(y(t), y0*exp(k*t))

เราสามารถสร้างฟังก์ชัน สำหรับกำหนดเงื่อนไขได้ ดังนี้

make_ics <- function(ics_list, funcname = "y", sympy = import("sympy")) {
  ics_dict <- reticulate::dict()
  
  for (name in names(ics_list)) {
    # แยกชื่อ เช่น "y(0)" $\rightarrow$ 0
    matches <- regmatches(name, regexec(paste0(funcname, "\\(([^)]+)\\)"), name))[[1]]
    if (length(matches) != 2) {
      stop("Initial condition key format must be like: y(0), y(1), etc.")
    }
    
    t_val <- as.numeric(matches[2])  # เวลา เช่น 0
    f_t <- sympy$Function(funcname)
    ics_dict[[f_t(t_val)]] <- sympy$Symbol(ics_list[[name]])
  }
  
  return(ics_dict)
}

วิธีการใช้งาน

ics <- make_ics(list("y(0)" = "y0"))
ics

{y(0.0): y0}

จะแก้สมการเชิงอนุพันธ์พร้อมเงื่อนไข เริ่มต้นได้

# แก้ ODE พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น
sol2 <- sympy$dsolve(ode, ics = ics)
sol2

Eq(y(t), y0*exp(k*t))

การใช้ SymPy ด้วยอาร์มีความยุ่งยากเพิ่มขึ้นเล็กน้อย ดังนั้นในเนื้อหา ODE มีหมายถึงฟังก์ชัน ที่จะถูกใช้งานบ่อยๆ เราสามารถเปลี่ยนเป็นฟังก์ชัน ที่ช่วยให้เขียนได้สั้น และกระชับลงได้มาก ดังนี้

7.4 ฟังก์ชันที่ใช้บ่อยในการแก้ ODE ด้วย sympy:

1. symbols() – กำหนดตัวแปร

2. Function() – สร้างฟังก์ชัน $y(t)$

3. diff() – หาอนุพันธ์

4. Eq() – นิยามสมการ

5. dsolve() – แก้สมการเชิงอนุพันธ์

7.5 การสร้างฟังก์ชันในอาร์เพื่อใช้ SymPy แก้สมการเชิงอนุพันธ์

# โหลด SymPy
library(reticulate)
sympy <- import("sympy")
# กำหนด helper ฟังก์ชัน
# สร้างตัวแปร
syms   <- sympy$symbols
# สร้างฟังก์ชัน
func   <- sympy$Function
# หาอนุพันธ์
diff_  <- sympy$diff
# สร้างสมการ
Eq     <- sympy$Eq
# แก้สมการเชิงอนุพันธ์
dsolve <- sympy$dsolve

ตัวอย่างการใช้งาน:

1. ไม่มีเงื่อนไขเริ่มต้น:

t <- syms("t")
k <- syms("k")
y <- func("y")
ode <- Eq(diff_(y(t),t), k*y(t))
ode

Eq(Derivative(y(t), t), k*y(t))

dsolve(ode)

Eq(y(t), C1*exp(k*t))

2. มีเงื่อนไขเริ่มต้น $y(0)=y_0$:

ics <- make_ics(list("y(0)" = "y0"))
dsolve(ode, ics = ics)

Eq(y(t), y0*exp(k*t))

7.6 ตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์

7.6.1 Consumption Growth Equation (Euler Equation)

แบบจำลองคือ

$$\frac{dC}{dt}=\frac{1}{\theta }(r-\rho )C,\theta ,\rho ,r>0$$ มาจากทฤษฎี Ramsey–Cass–Koopmans Model
ใช้วิเคราะห์การเติบโตของการบริโภค $c(t)$ ตามอัตราดอกเบี้ย $r$, ความชอบของผู้บริโภค $\theta$, และ discount rate $\rho$

จุดเด่น

• เป็นสมการ อันดับหนึ่ง และ แยกตัวแปรได้ (separable)

• คำตอบคือ exponential function:

$$C(t)=C_1{e}^{\frac{(r-\rho )}{\theta }t}$$

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ

# สร้างตัวแปร
t <- syms("t")
theta <- syms("theta", positive = TRUE)
r <- syms("r", positive = TRUE)
rho <- syms("rho", positive = TRUE) 
# สร้างฟังก์ชัน
C <- func("C") # ห้ามตั้งชื่อด้วย c เพราะจะไปตรงกับ c( ) ของ R
ode <- Eq(sympy$diff(C(t), t), (r - rho) * C(t)/theta)
ode

Eq(Derivative(C(t), t), (r - rho)*C(t)/theta)

จัดเป็นสมการให้สวยงาม

latex_render(ode)

$$\frac{d}{dt}C\left(t\right)=\frac{(r-\rho )C\left(t\right)}{\theta }$$

dsolve(ode)

Eq(C(t), C1*exp(t*(r - rho)/theta))

2. มีเงื่อนไขเริ่มต้น $C(0)=C_0$:

ics <- make_ics(list("C(0)" = "C0"), funcname = "C")
latex_render(dsolve(ode, ics = ics))

$$C\left(t\right)=C_0{e}^{\frac{t(r-\rho )}{\theta }}$$

7.6.2 Solow Growth Equation (Capital Accumulation)

แบบจำลองคือ

$$\frac{dk}{dt}=s{k}^{\alpha }-\delta k$$

จาก Solow-Swan Model ซึ่งอธิบายการเติบโตของทุนต่อหัวในระยะยาว
$s$ คืออัตราการออม, $\delta$ คืออัตราการเสื่อม, $\alpha \in (0,1)$ คือผลผลิตส่วนเพิ่มของทุน

จุดเด่น:

• ถ้า $\alpha =1$ $\to$ สมการกลายเป็น linear ODE

• ใช้เพื่อแสดง steady-state (เมื่อ $\frac{dk}{dt}=0$)

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ

# สร้างตัวแปร
s <- syms("s", positive = TRUE)
delta <- syms("delta", positive = TRUE)
alpha <- syms("alpha", positive = TRUE)

# สร้างฟังก์ชัน
k <- func("k") 
rhs <- s*k(t)^alpha-delta*k(t)
ode <- Eq(sympy$diff(k(t), t), rhs)
ode

Eq(Derivative(k(t), t), -delta*k(t) + s*k(t)**alpha)

จัดเป็นสมการให้สวยงาม

latex_render(ode)

$$\frac{d}{dt}k\left(t\right)=-\delta k\left(t\right)+s{k}^{\alpha }\left(t\right)$$

ถ้าไม่กำหนดค่า $\alpha$ เท่ากับค่าเป็นตัวเลขในช่วง (0,1) จะไม่สามารถแก้สมการ ดังนั้น สมมุติให้ $\alpha =0.5$ จะได้

# แทนค่า theta = 0.5
ode_sub <- ode$subs(alpha, 0.5)
ode_sub

Eq(Derivative(k(t), t), -delta*k(t) + s*k(t)**0.5)

latex_render(dsolve(ode_sub))

$$k\left(t\right)=e^{\delta (C_1-t)}+\frac{2s{e}^{\frac{\delta (C_1-t)}{2}}}{\delta }+\frac{s^2}{{\delta }^2}$$

7.6.3 Price Adjustment Model (Adaptive Expectations)

แบบจำลอง:

$$\frac{dp}{dt}=\lambda (p^e-p)$$

คือ แบบจำลองการปรับตัวของราคา (Price Adjustment Model) ภายใต้ ความคาดหวังแบบปรับตัว (Adaptive Expectations) ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในเศรษฐศาสตร์มหภาค โดยเฉพาะในการอธิบายการปรับราคาหรือค่าจ้างเมื่อผู้ผลิตหรือแรงงานยังไม่ทราบราคาที่ดุลยภาพแน่ชัด

ความหมายของแต่ละสัญลักษณ์

สัญลักษณ์	ความหมาย
$p(t)$	ราคาจริง (actual price) ณ เวลา $t$
$p^e(t)$	ราคาที่คาดการณ์ไว้ (expected price)
$\lambda >0$	ความเร็วในการปรับราคา (speed of adjustment)
$\frac{dp}{dt}$	อัตราการเปลี่ยนแปลงของราคา

คำอธิบายแบบจำลอง:

• ถ้า $p^e>p$: ผู้ผลิตคาดว่าราคาจะสูงกว่าราคาจริง $\to$ ราคาจะปรับเพิ่มขึ้น
• ถ้า $p^e<p$: ราคาจะปรับลดลง
• ยิ่ง $\lambda$ ใหญ่ $\to$ ราคาปรับเร็ว
• เมื่อ $p\to p^e$ $\to$ $\frac{dp}{dt}\to 0$ $\to$ ราคาคงที่

ถ้า $p^e$ เป็น ค่าคงที่ $\to$ เป็น ODE ที่มีคำตอบทั่วไป:

$$p(t)=p^e+(p_0-p^e)e^{-\lambda t}$$

โดยที่ $p_0=p(0)$ คือราคาตั้งต้น

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ และกำหนด $p^e$ คือค่าคงที่โดยใช้ $p_e$ แทน

# สร้างตัวแปร
t <- syms("t")
lambda <- syms("lambda_", positive = TRUE)
pe <- syms("p_e", positive = TRUE)
# สร้างฟังก์ชัน
p <- func("p")
ode <- Eq(sympy$diff(p(t), t), lambda*(pe-p(t)))
latex_render(ode)

$$\frac{d}{dt}p\left(t\right)={\lambda }_{}(p_e-p\left(t\right))$$

แก้สมการ

latex_render(dsolve(ode))

$$p\left(t\right)=C_1{e}^{-{\lambda }_{}t}+p_e$$

2. มีเงื่อนไขเริ่มต้น $p(0)=p_0$:

ics <- make_ics(list("p(0)" = "p0"), funcname = "p")
latex_render(dsolve(ode, ics = ics))

$$p\left(t\right)=p_e+(p_0-p_e)e^{-{\lambda }_{}t}$$

7.6.4 Exponential Capital Depreciation

แบบจำลอง

$$\frac{dK}{dt}=-\delta K$$ คือแบบจำลองการ เสื่อมราคาของทุน (Exponential Capital Depreciation Model)
โดยสมมติว่า ทุน (Capital stock) ลดลงต่อเนื่องตามอัตราส่วนคงที่ของปริมาณทุนเอง

คำอธิบายสัญลักษณ์

สัญลักษณ์	ความหมาย
$K(t)$	ปริมาณทุน (capital stock) ณ เวลา $t$
$\delta >0$	อัตราการเสื่อมราคา (depreciation rate)
$\frac{dK}{dt}$	อัตราการเปลี่ยนแปลงของทุนตามเวลา

ความหมายของสมการ

• แบบจำลองนี้ สมมติว่า ทุนลดลงตามสัดส่วนของทุนที่มีอยู่

• เป็นระบบ เสื่อมราคาลักษณะเอ็กซ์โพเนนเชียล (exponential decay) เช่นเดียวกับการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี หรือประชากรที่ลดลงโดยไม่มีการเกิดใหม่

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ

# สร้างตัวแปร
t <- syms("t")
delta <- syms("delta", positive = TRUE)
# สร้างฟังก์ชัน
K <- func("K")
ode <- Eq(sympy$diff(K(t), t), -delta*K(t))
latex_render(ode)

$$\frac{d}{dt}K\left(t\right)=-\delta K\left(t\right)$$

แก้สมการ

latex_render(dsolve(ode))

$$K\left(t\right)=C_1{e}^{-\delta t}$$

2. มีเงื่อนไขเริ่มต้น $K(0)=K_0$:

ics <- make_ics(list("K(0)" = "K0"), funcname = "K")
latex_render(dsolve(ode, ics = ics))

$$K\left(t\right)=K_0{e}^{-\delta t}$$

พฤติกรรม:

• เมื่อ $t\to \mathrm{\infty }$, $K(t)\to 0$

• ยิ่ง $\delta$ มาก $\to$ ทุนลดเร็ว

• ใช้ในโมเดลการเจริญเติบโต (Growth Models) เช่น Solow, Ramsey เพื่อคำนวณทุนสุทธิ:
  $$\frac{dK}{dt}=I(t)-\delta K(t)$$ โดย $I(t)$ คือการลงทุน

• แบบจำลองนี้แสดงให้เห็นว่าหากไม่มีการลงทุนเพิ่ม ทุนจะลดลงตามเวลาอย่างต่อเนื่อง

• ใช้ได้ทั้งกับทุนกายภาพ (เครื่องจักร อาคาร) และทุนมนุษย์ (ในบางบริบท)

7.6.5 Solow Growth Model (simplified)

แบบจำลองคือ:

$$\frac{dk}{dt}=s{k}^{\alpha }-\delta k,s,\delta >0,\alpha \in (0,1)$$ คือรูปแบบ Solow Growth Model แบบง่ายที่สุด (simplified) ภายใต้การเปลี่ยนแปลงของทุนต่อหัว (capital per worker) โดยไม่มีการเจริญเติบโตของประชากรหรือเทคโนโลยี

คำอธิบายของแต่ละพารามิเตอร์:

สัญลักษณ์	ความหมาย
$k(t)$	ทุนต่อแรงงาน (capital per worker) ณ เวลา $t$
$\frac{dk}{dt}$	อัตราการเปลี่ยนแปลงของทุนต่อแรงงาน
$s$	อัตราการออม (saving rate)
$\delta$	อัตราการเสื่อมราคา (depreciation rate)
$\alpha \in (0,1)$	ผลตอบแทนต่อขนาดของทุน (capital share) จากฟังก์ชัน Cobb-Douglas $y=k^{\alpha }$

ความหมายของสมการ:

• แสดงการสะสมทุนในระบบเศรษฐกิจหนึ่ง ๆ

• ทุนเพิ่มขึ้นจากการออม: $s{k}^{\alpha }$

• ทุนลดลงจากการเสื่อม: $\delta k$

• เป็นแบบจำลองพื้นฐานในเศรษฐศาสตร์การเจริญเติบโต

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ แต่ถ้ามีค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่ามากเกินไปอาจจะไม่ได้คำตอบ หรือเกิดข้อผิดพลาดได้ กำหนดให้ $\alpha =0.5$

# ตัวแปร
s <- syms("s", positive = TRUE)
delta <- syms("delta", positive = TRUE)
t <- syms("t")
# ฟังก์ชัน
K <- func("K")
# สร้างสมการ
ode <- Eq(diff_(K(t),t),s * K(t)^0.5 - delta * K(t))
latex_render(ode)

$$\frac{d}{dt}K\left(t\right)=-\delta K\left(t\right)+s{K}^{0.5}\left(t\right)$$

แก้สมการ

latex_render(dsolve(ode))

$$K\left(t\right)=e^{\delta (C_1-t)}+\frac{2s{e}^{\frac{\delta (C_1-t)}{2}}}{\delta }+\frac{s^2}{{\delta }^2}$$

7.7 แบบฝึกหัดสมการเชิงอนุพันธ์ในเศรษฐศาสตร์

7.7.1 สมการเชิงอนุพันธ์พื้นฐาน (Basic ODEs)

1. แก้สมการเชิงอนุพันธ์ $\frac{dy}{dt}=4y$ โดยกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น $y(0)=2$

2. จงหา general solution ของ $\frac{dK}{dt}=sY-\delta K$, เมื่อ $Y=K^{0.5}$

3. ให้ $\frac{dP}{dt}=aP(1-\frac{P}{K})$, logistic model จงหา solution ทั่วไปของสมการนี้

4. จงแก้สมการ $\frac{dC}{dt}=rC-\theta$ แล้วหาค่า $C(t)$ เมื่อ $C(0)=5$

5. แก้ $\frac{dy}{dt}=ky(1-y)$ แล้ววิเคราะห์พฤติกรรมของ $y(t)$ เมื่อ $t\to \mathrm{\infty }$

7.7.2 ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ 2 ตัวแปร

6. พิจารณาระบบ $$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=2x+3y\\ \frac{dy}{dt}=x-y\end{array}$$ จงหาจุดดุลยภาพและตรวจสอบเสถียรภาพ

7. จงหาค่า eigenvalue ของระบบ $$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}K\\ L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}K\\ L\end{array}\right]$$

8. พิจารณาระบบ $$\{\begin{array}{l}\frac{dA}{dt}=A(1-B)\\ \frac{dB}{dt}=B(A-1)\end{array}$$

จงหาเส้นเสถียร (nullclines)

9. เขียน flow field ของระบบ $$\frac{dx}{dt}=x(3-x-y),\frac{dy}{dt}=y(2-x-y)$$

10. ระบบการเปลี่ยนผ่านทุน-แรงงาน: $$\frac{dK}{dt}=s{K}^{0.5}{L}^{0.5}-\delta K,\frac{dL}{dt}=nL$$ จงเขียนสมการ normalized ด้วย $k=\frac{K}{L}$

7.7.3 แบบจำลองพลวัตทางเศรษฐศาสตร์

11. พิจารณา IS curve แบบพลวัต: $\frac{dY}{dt}=\alpha (C+I+G-Y)$ เมื่อ $C=cY$, $I=I_0$, $G$ คงที่ จงหาสมการ $\frac{dY}{dt}$ ที่เป็นรูปชัดเจน

12. แบบจำลอง Solow: $\frac{dk}{dt}=sf(k)-(\delta +n)k$ เมื่อ $f(k)=k^{1/2}$, $s=0.2$, $\delta =0.05$, $n=0.02$ จงวาดกราฟ $\frac{dk}{dt}$ เทียบกับ $k$

13. ในโมเดล Ramsey, สมการของ $\frac{dc}{dt}=\frac{1}{\theta }(r-\rho )c$ ให้ $c(0)=10$, $r=0.05$, $\rho =0.03$, $\theta =2$ จงหา $c(t)$

14. โมเดลการแพร่ระบาด: $$\frac{dS}{dt}=-\beta SI,\frac{dI}{dt}=\beta SI-\gamma I$$ จงหาเส้น Nullcline และจุดสมดุล

15. พิจารณาระบบราคาสินค้า: $$\frac{dp}{dt}=\lambda (p^e-p),\frac{d{p}^e}{dt}=\gamma (p-p^e)$$ จงเขียนระบบให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ และหาค่า eigenvalues

7.7.4 แบบฝึกหัดเพิ่มโจทย์เชิงเศรษฐศาสตร์

16. ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของการออมคือ $\frac{ds}{dt}=\alpha (Y-C-G)$ โดย $C=cY$, $G$ คงที่ จงแสดงสมการ $\frac{ds}{dt}$ ในรูปของ $Y$

17. แบบจำลองการบริโภคมีพฤติกรรมแบบปรับตัว $\frac{dC}{dt}=\lambda (Y-C)$, $\lambda >0$ จงแก้ $C(t)$ เมื่อ $C(0)=50$, $Y=100$

18. แบบจำลองจ้างงาน: $\frac{dN}{dt}=\eta (N_d-N)$ เมื่อ $N_d=a-bW$ จงแทนสมการให้เหลือเพียง $N$ และ $W$

19. สมการการเติบโตของอุตสาหกรรม $\frac{dI}{dt}=I(f-\lambda A)$ ให้ $A=A_0{e}^{rt}$ จงแทนค่าลงในสมการ $\frac{dI}{dt}$

20. โมเดลการสะสมทุนแบบมีความหน่วง: $\frac{dK}{dt}=sY(t-\tau )-\delta K(t)$ จงตั้งคำถามเกี่ยวกับ stability ของระบบนี้ (ไม่ต้องแก้)

แ

Andersen, M. M., & Højsgaard, S. (2023). caracas: Computer Algebra. https://github.com/r-cas/caracas

Berkelaar, M. (2024). lpSolve: Interface to ’Lp_solve’ v. 5.5 to Solve Linear/Integer Programs. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.lpSolve

Chanaim, S. (2023). Data Visualization with R Programming. https://bookdown.org/somsak_c/data_visualization_with_r_programming/

Meurer, A., Smith, C. P., Paprocki, M., Čertı́k, O., Kirpichev, S. B., Rocklin, M., Kumar, A., Ivanov, S., Moore, J. K., Singh, S., และคณะ. (2017). SymPy: symbolic computing in Python. PeerJ Computer Science, 3, e103. https://doi.org/10.7717/peerj-cs.103

Sievert, C. (2020). Interactive Web-Based Data Visualization with R, plotly, and shiny. Chapman; Hall/CRC. https://plotly-r.com

Ushey, K., Allaire, J., & Tang, Y. (2025). reticulate: Interface to ’Python’. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.reticulate

Wickham, H. (2016). ggplot2: Elegant Graphics for Data Analysis. Springer-Verlag New York. https://ggplot2.tidyverse.org