# เรียกใช้ทุกครั้งเมื่อใช้งานครั้งแรก
library(caracas)
3 การประยุกต์อนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์
ผู้อ่านควรมีความรู้และเข้าใจของนิยามของอนุพันธ์ และสามารถจดจำสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ ได้พอสมควร เพราะเนื้อหาในบทนี้จะพูดการการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ของประยุกต์อนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์เป็นหลัก
3.1 ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ (Differentiable Functions)
ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ เรียกว่าเป็น ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ (Differentiable Function)
ซึ่งจะต้องมีคุณสมบัติดังนี้:
เงื่อนไขสำคัญ
ฟังก์ชันต้องต่อเนื่องที่จุดนั้น (แต่ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง อาจไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้ เช่น
ที่ )ลิมิตของอัตราการเปลี่ยนแปลงจากซ้ายและขวาต้องเท่ากัน นั่นคือ ค่าอนุพันธ์จากซ้ายและขวาต้องเหมือนกัน
3.2 ตัวอย่างฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้
ฟังก์ชัน | อนุพันธ์ |
---|---|
3.3 ตัวอย่างฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ บางจุด
ฟังก์ชัน | สาเหตุ |
---|---|
ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ |
|
อนุพันธ์ไม่มีที่ |
|
ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง | เช่น step function หรือฟังก์ชันที่กระโดด |
เยี่ยมมากครับ! ต่อไปนี้คือวิธี หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน R ด้วยแพ็กเกจ caracas
อย่างละเอียด พร้อมตัวอย่างและคำอธิบายครบครับ
3.4 อนุพันธ์อันดับหนึ่งด้วยฟังก์ชัน der()
- ติดตั้งและเรียกใช้แพ็กเกจ
- สร้างตัวแปรเชิงสัญลักษณ์ (symbolic variables)
<- symbol("x") # สร้างตัวแปร x
x <- symbol("t") # สร้างตัวแปร t t
- สร้างฟังก์ชันที่ต้องการหาอนุพันธ์
ตัวอย่าง:
<- x^3 + 2*x^2 + 5*x + 1
f f
<- t^3 * sin(t) + exp(t)+ log(t)
g g
- หาอนุพันธ์ด้วย
der()
เช่น
<- der(f, x)
df df
<- der(f, t)
df1 df1
<- der(g, t)
dg dg
การแทนคำนวณค่าอนุพันธ์ที่ ณ จุดที่ต้องการด้วยฟังก์ชัน subs()
หรือจะแปลงเป็นฟังก์ชันในอาร์ด้วย as_func()
ก็ได้
# f'(0)
subs(df,x, 0)
# g'(1)
subs(dg, t, 1)
หรือถ้าต้องการผลลัพธ์เป็นตัวเลขให้เพิ่่มฟังก์ชัน N()
# g'(1)
subs(dg, t, 1) |> N()
3.4.1 ตัวอย่างฟังก์ชันอื่น ๆ ที่คุณอาจใช้
ฟังก์ชัน | คำสั่ง caracas |
---|---|
f <- sin(x) |
|
f <- exp(x^2) |
|
f <- log(x + 1) |
|
f <- (x^2 + 1)/(x + 2) |
แล้วหาอนุพันธ์ด้วย der(f, x)
ได้
3.5 อนุพันธ์อันดับสองด้วยฟังก์ชัน der2()
ขั้นตอนก็เหมือนกันการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น
<- der2(f, x) df2
<- der2(g, t) dg2
การคำนวณค่าอนุพันธ์อันดับของจุดที่ต้องการ ก็สามารถใช้ฟังก์ชัน subs()
ได้เช่นเดียวกัน
3.6 การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์
การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์เป็นเรื่องใหญ่ของ การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ เช่น การหากำไรสูงสุด, ต้นทุนต่ำสุด, อรรถประโยชน์สูงสุด ฯลฯ
3.6.1 ขั้นตอนการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดด้วยอนุพันธ์
ต้องเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้
หาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
หาค่าของ
ที่ทำให้ (เรียกว่า critical points หรือจุดวิกฤติ)ใช้อนุพันธ์อันดับสอง เพื่อตรวจสอบว่าแต่ละจุดเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด
ถ้า
จุดต่ำสุดถ้า
จุดสูงสุดถ้า
ต้องวิเคราะห์เพิ่มเติม
การคำนวณโดยใช้ caracas
<- symbol("x")
x <- x^3 - 3*x + 1
f f
อนุพันธ์อันดับ 1
<- der(f, x)
df df
อนุพันธ์อันดับ 2
<- der2(f, x)
ddf ddf
solve_sys(df, x)
x = -1
x = 1
แทนค่าลงในอนุพันธ์อันดับสอง
subs(ddf, x, -1)
ดังนั้น
subs(ddf, x, 1)
ดังนั้น
วาดกราฟ
ที่จุด
3.7 การประยุกต์อนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์
ด้านการประยุกต์ | ตัวอย่าง / คำอธิบาย |
---|---|
1. ต้นทุนชายขอบ (Marginal Cost, MC) | อัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนรวมเมื่อผลิตสินค้าเพิ่มขึ้นอีก 1 หน่วย |
2. รายรับชายขอบ (Marginal Revenue, MR) | อัตราการเปลี่ยนแปลงของรายรับรวมจากการขายสินค้าเพิ่มขึ้น 1 หน่วย |
3. อรรถประโยชน์ชายขอบ (Marginal Utility) | การเปลี่ยนแปลงของอรรถประโยชน์เมื่อบริโภคสินค้าเพิ่มขึ้น |
4. การเพิ่มผลผลิต (Marginal Product) | ความเปลี่ยนแปลงของผลผลิตเมื่อเพิ่มปัจจัยการผลิต เช่น แรงงาน |
5. การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชัน (Optimization) | ใช้อนุพันธ์เพื่อหา จุดสูงสุดของกำไร, อรรถประโยชน์, รายได้ เป็นต้น โดยแก้ |
6. อัตราการเปลี่ยนแปลงของราคา (Price Elasticity) | วิเคราะห์ว่าปริมาณเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนเมื่อราคาขยับ |
7. การเติบโตทางเศรษฐกิจ (Growth Rate) | ใช้อนุพันธ์กับฟังก์ชันเช่น |
แนวทาง:
# สร้างฟังก์ชัน TQ
<- symbol("Q")
Q <- 5*Q^2+10*Q+100
TC TC
# หาอนุพันธ์ของ TC(Q)
<- der(TC,Q)
dTC dTC
# คำนวณ TQ'(10)
subs(dTC, Q, 10)
แนวทาง:
การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas
# สร้างฟังก์ชัน TR
<- symbol("Q")
Q <- 50*Q -Q^2/2
TR TR
# หาอนุพันธ์ของ TR(Q)
<- der(TR,Q)
dTR dTR
# คำนวณ TR'(20)
subs(dTR, Q, 20)
แนวทาง:
การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas
# สร้างฟังก์ชัน U(x,y)
<- symbol("x")
x <- symbol("y")
y <- sqrt(x)*sqrt(y)
U U
# หาอนุพันธ์ของ Ux
<- der(U,x)
Ux Ux
# คำนวณ Ux(4,9)
subs(Ux, list(x = 4, y = 9))
แนวทาง:
การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas
# สร้างฟังก์ชัน Q(L,K)
<- symbol("L")
L <- symbol("K")
K <- 2*L^0.6*K^0.4
Q Q
# หาอนุพันธ์ของ MP_L
<- der(Q,L)
MP_L MP_L
# คำนวณ MP_L(25, 26)
subs(MP_L, list(L = 25, K = 16))
แนวทาง:
ตรวจสอบ:
การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas
# สร้างฟังก์ชัน Pi(Q)
<- symbol("Q")
Q <- 120*Q-4*Q^2-100
Pi Pi
# หาอนุพันธ์ของ Pi(Q)
<- der(Pi,Q)
dPi dPi
# หาจุดที่ Pi'(Q)=0
solve_sys(dPi,Q)
Q = 15
ทดสอบค่าเป็นค่าสูงสุดจริงหรือไม่ โดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง
# หาอนุพันธ์อันสองของ Pi(Q)
<- der2(Pi, Q)
ddPi ddPi
เนื่องจาก อนุพันธ์อันดับ 2 มีค่าเป็นลบทุกจุด ดังนั้่น จึงสรุปได้ว่า ที่ Q = 15 จะมีกำไรสูงสุดคือ
subs(Pi, Q, 15)
แนวทาง:
# สร้างฟังก์ชัน Q(P)
<- symbol("P")
P <- 100 - 2*P
Q Q
# หาอนุพันธ์ของ Q(P)
<- der(Q,P)
dQ dQ
# สร้างฟังก์ชัน Ep
<- dQ*P/Q
Ep Ep
# หาค่า Ep(20)
subs(Ep, P, 20)
แนวทาง:
การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas
# สร้างฟังก์ชัน Y
<- symbol("t")
t <- 100*exp(0.05*t)
Y Y
# หาอนุพันธ์ของ Y
<- der(Y, t)
dY dY
# หาค่า Y'(10)
subs(dY, t, 10)
3.8 บบฝึกหัดประยุกต์อนุพันธ์ในเศรษฐศาสตร์
ให้ใช้ caracas ในการหาคำตอบ
กำหนดฟังก์ชันต้นทุนรวมเป็น
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุน (MC) เมื่อรายได้รวมของผู้ผลิตให้โดย
จงหา MR ที่ระดับการผลิตให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์
จงหา Marginal Utility ของ เมื่อ ,ฟังก์ชันผลผลิตคือ
จงหาอนุพันธ์ของผลผลิตตามแรงงานกำหนดฟังก์ชันต้นทุนเฉลี่ย
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ AC เมื่อให้ฟังก์ชันรายได้
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของรายได้ตามราคา (dR/dP)ฟังก์ชันกำไรคือ
จงหาจุดที่กำไรเพิ่มขึ้นช้าที่สุด (ค่าต่ำสุดของ d²π/dQ²)ผู้บริโภคมีฟังก์ชัน
จงหาอนุพันธ์ของอรรถประโยชน์ตามให้ฟังก์ชันต้นทุนรวม
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนเมื่อฟังก์ชันผลผลิต
จงหา MP ของทุน ที่หากต้นทุนเพิ่ม (MC) คืออนุพันธ์ของ
จงหาค่า MC ที่ให้
และ จงหาค่า dπ/dQ ที่ฟังก์ชันต้นทุนเฉลี่ย
โดย จงหา dAC/dQ เมื่อให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์
จงหาอนุพันธ์ของ ตามรายได้รวมคือ
จงหาค่า Q ที่ MR = 0ต้นทุนรวมคือ
จงหา MC และวิเคราะห์ว่าจุดใด MC ต่ำสุดฟังก์ชันผลผลิต
จงหา MP ที่ให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์
จงหาเส้นชั้นอรรถประโยชน์ (indifference slope) ที่ถ้ารายได้เฉลี่ยคือ
, โดย จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ AR ที่ฟังก์ชันต้นทุนรวม
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ MC เมื่อ Q เพิ่มขึ้น 1 หน่วย