3  การประยุกต์อนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์

Modified

6 พฤษภาคม 2568

ผู้อ่านควรมีความรู้และเข้าใจของนิยามของอนุพันธ์ และสามารถจดจำสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ ได้พอสมควร เพราะเนื้อหาในบทนี้จะพูดการการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ของประยุกต์อนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์เป็นหลัก

นิยามของอนุพันธ์ (Derivative)

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ณ จุด x=a คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน f เมื่อ x เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยใกล้ a f(a)=limh0f(a+h)f(a)h

ถ้าลิมิตนี้มีอยู่ จะกล่าวว่า f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x=a

3.1 ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ (Differentiable Functions)

ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ เรียกว่าเป็น ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ (Differentiable Function)
ซึ่งจะต้องมีคุณสมบัติดังนี้:

เงื่อนไขสำคัญ

  1. ฟังก์ชันต้องต่อเนื่องที่จุดนั้น (แต่ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง อาจไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้ เช่น f(x)=|x| ที่ x=0)

  2. ลิมิตของอัตราการเปลี่ยนแปลงจากซ้ายและขวาต้องเท่ากัน นั่นคือ ค่าอนุพันธ์จากซ้ายและขวาต้องเหมือนกัน

3.2 ตัวอย่างฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้

ฟังก์ชัน อนุพันธ์
f(x)=xn, nR f(x)=nxn1
f(x)=sin(x) f(x)=cos(x)
f(x)=cos(x) f(x)=sin(x)
f(x)=ex f(x)=ex
f(x)=ln(x) (เฉพาะ x>0) f(x)=1x

3.3 ตัวอย่างฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ บางจุด

ฟังก์ชัน สาเหตุ
f(x)=|x| ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x=0 เพราะกราฟหักมุม
f(x)=x1/3 อนุพันธ์ไม่มีที่ x=0 เพราะความชันไม่สิ้นสุด
ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง เช่น step function หรือฟังก์ชันที่กระโดด

เยี่ยมมากครับ! ต่อไปนี้คือวิธี หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน R ด้วยแพ็กเกจ caracas อย่างละเอียด พร้อมตัวอย่างและคำอธิบายครบครับ

3.4 อนุพันธ์อันดับหนึ่งด้วยฟังก์ชัน der()

  1. ติดตั้งและเรียกใช้แพ็กเกจ
# เรียกใช้ทุกครั้งเมื่อใช้งานครั้งแรก
library(caracas)
  1. สร้างตัวแปรเชิงสัญลักษณ์ (symbolic variables)
x <- symbol("x")     # สร้างตัวแปร x
t <- symbol("t")     # สร้างตัวแปร t
  1. สร้างฟังก์ชันที่ต้องการหาอนุพันธ์

ตัวอย่าง:

f <- x^3 + 2*x^2 + 5*x + 1
f

x3+2x2+5x+1

g <- t^3 * sin(t) + exp(t)+ log(t)
g

t3sin(t)+et+log(t)

  1. หาอนุพันธ์ด้วย der()

เช่น

df <- der(f, x)
df

3x2+4x+5

df1 <- der(f, t)
df1

0

dg <- der(g, t)
dg

t3cos(t)+3t2sin(t)+et+1t

การแทนคำนวณค่าอนุพันธ์ที่ ณ จุดที่ต้องการด้วยฟังก์ชัน subs() หรือจะแปลงเป็นฟังก์ชันในอาร์ด้วย as_func() ก็ได้

# f'(0)
subs(df,x, 0)

5

# g'(1)
subs(dg, t, 1)

cos(1)+1+3sin(1)+e

หรือถ้าต้องการผลลัพธ์เป็นตัวเลขให้เพิ่่มฟังก์ชัน N()

# g'(1)
subs(dg, t, 1) |> N()

6.78299708875087

3.4.1 ตัวอย่างฟังก์ชันอื่น ๆ ที่คุณอาจใช้

ฟังก์ชัน คำสั่ง caracas
f(x)=sin(x) f <- sin(x)
f(x)=exp(x2) f <- exp(x^2)
f(x)=ln(x+1) f <- log(x + 1)
f(x)=x2+1x+2 f <- (x^2 + 1)/(x + 2)

แล้วหาอนุพันธ์ด้วย der(f, x) ได้

3.5 อนุพันธ์อันดับสองด้วยฟังก์ชัน der2()

ขั้นตอนก็เหมือนกันการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น

df2 <- der2(f, x)

6x+4

dg2 <- der2(g, t)

t3sin(t)+6t2cos(t)+6tsin(t)+et1t2

การคำนวณค่าอนุพันธ์อันดับของจุดที่ต้องการ ก็สามารถใช้ฟังก์ชัน subs() ได้เช่นเดียวกัน

3.6 การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์

การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์เป็นเรื่องใหญ่ของ การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ เช่น การหากำไรสูงสุด, ต้นทุนต่ำสุด, อรรถประโยชน์สูงสุด ฯลฯ

3.6.1 ขั้นตอนการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดด้วยอนุพันธ์

  1. f(x) ต้องเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้

หาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: f(x)

  1. หาค่าของ x ที่ทำให้ f(x)=0 (เรียกว่า critical points หรือจุดวิกฤติ)

  2. ใช้อนุพันธ์อันดับสอง เพื่อตรวจสอบว่าแต่ละจุดเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

    • ถ้า f(x)>0 จุดต่ำสุด

    • ถ้า f(x)<0 จุดสูงสุด

    • ถ้า f(x)=0 ต้องวิเคราะห์เพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 1

f(x)=x33x+1

การคำนวณโดยใช้ caracas

x <- symbol("x")
f <- x^3 - 3*x + 1
f

x33x+1

อนุพันธ์อันดับ 1

df <- der(f, x)
df

3x23

อนุพันธ์อันดับ 2

ddf <- der2(f, x)
ddf

6x

solve_sys(df, x)
x = -1
x = 1

แทนค่าลงในอนุพันธ์อันดับสอง

subs(ddf, x, -1)

6

ดังนั้น f(1) เป็นจุดสูงสุด

subs(ddf, x, 1)

6

ดังนั้น f(1) เป็นจุดต่ำสุด

วาดกราฟ

fx <- as_func(f)
curve(fx, from = -2, to = 2, col = "red")
grid()

ที่จุด x=1 และ x=1 เป็นค่าสูงสุดเฉพาะที่ (local maximum) และจุดต่ำสุดเฉพาะที่ (local minimum) ตามลำดับ ไม่ใช่ จุดสูงสุดสัมบูรณ์ (global maximum) และ จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ (global minimum) ดังนั้นถ้าไม่ได้กำหนดช่วงมาให้ ต้องพิจารณาให้ดีว่าเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดแบบใด

3.7 การประยุกต์อนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์

ด้านการประยุกต์ ตัวอย่าง / คำอธิบาย
1. ต้นทุนชายขอบ (Marginal Cost, MC) อัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนรวมเมื่อผลิตสินค้าเพิ่มขึ้นอีก 1 หน่วย
MC=dTCdQ
2. รายรับชายขอบ (Marginal Revenue, MR) อัตราการเปลี่ยนแปลงของรายรับรวมจากการขายสินค้าเพิ่มขึ้น 1 หน่วย
MR=dTRdQ
3. อรรถประโยชน์ชายขอบ (Marginal Utility) การเปลี่ยนแปลงของอรรถประโยชน์เมื่อบริโภคสินค้าเพิ่มขึ้น
MUx=dUdx
4. การเพิ่มผลผลิต (Marginal Product) ความเปลี่ยนแปลงของผลผลิตเมื่อเพิ่มปัจจัยการผลิต เช่น แรงงาน
MPL=dQdL
5. การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชัน (Optimization) ใช้อนุพันธ์เพื่อหา จุดสูงสุดของกำไร, อรรถประโยชน์, รายได้ เป็นต้น โดยแก้ f(x)=0
6. อัตราการเปลี่ยนแปลงของราคา (Price Elasticity) วิเคราะห์ว่าปริมาณเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนเมื่อราคาขยับ
Ep=dQdPPQ
7. การเติบโตทางเศรษฐกิจ (Growth Rate) ใช้อนุพันธ์กับฟังก์ชันเช่น Y(t), K(t) เพื่อหาการเติบโตต่อเวลา
dYdt
ต้นทุนชายขอบ (Marginal Cost: MC)

ต้นทุนรวมของการผลิตสินค้าเป็นฟังก์ชัน TC(Q)=5Q2+10Q+100
จงหาต้นทุนชายขอบเมื่อผลิต 10 หน่วย

แนวทาง:
MC(Q)=dTCdQ=10Q+10MC(10)=110 การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน TQ
Q <- symbol("Q")
TC <- 5*Q^2+10*Q+100
TC

5Q2+10Q+100

# หาอนุพันธ์ของ TC(Q)
dTC <- der(TC,Q)
dTC

10Q+10

# คำนวณ TQ'(10)
subs(dTC, Q, 10)

110

รายรับชายขอบ (Marginal Revenue: MR)

รายรับรวมจากการขายสินค้าเป็น TR(Q)=50Q0.5Q2
จงหารายรับชายขอบเมื่อขาย 20 หน่วย

แนวทาง:
MR(Q)=dTRdQ=50QMR(20)=30

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน TR
Q <- symbol("Q")
TR <- 50*Q -Q^2/2
TR

Q22+50Q

# หาอนุพันธ์ของ TR(Q)
dTR <- der(TR,Q)
dTR

50Q

# คำนวณ TR'(20)
subs(dTR, Q, 20)

30

อรรถประโยชน์ชายขอบ (Marginal Utility)

ผู้บริโภคมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ U(x,y)=x0.5y0.5
จงหาอรรถประโยชน์ชายขอบของสินค้า x เมื่อบริโภค x=4, y=9

แนวทาง:
MUx=Ux=12x0.5y0.5MUx(4,9)=12123=34

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน U(x,y)
x <- symbol("x")
y <- symbol("y")
U <- sqrt(x)*sqrt(y)
U

xy

# หาอนุพันธ์ของ Ux
Ux <- der(U,x)
Ux

y2x

# คำนวณ Ux(4,9)
subs(Ux, list(x = 4, y = 9))

34

ผลผลิตชายขอบ (Marginal Product)

ฟังก์ชันการผลิต: Q=2L0.6K0.4
กำหนด L=25, K=16 จงหา MPL

แนวทาง:
MPL=QL=1.2L0.4K0.4MPL=1.2250.4160.41.0038

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน Q(L,K)
L <- symbol("L")
K <- symbol("K")
Q <- 2*L^0.6*K^0.4
Q

2K0.4L0.6

# หาอนุพันธ์ของ MP_L
MP_L <- der(Q,L)
MP_L

1.2K0.4L0.4

# คำนวณ MP_L(25, 26)
subs(MP_L, list(L = 25, K = 16))

1.00381397048762

การเพิ่ม-ลดฟังก์ชัน (Optimization)

กำไรของบริษัทเป็น Π(Q)=120Q4Q2100
จงหาผลผลิตที่ทำให้กำไรสูงสุด

แนวทาง:
Π(Q)=1208Q1208Q=0Q=15

ตรวจสอบ:
Π(Q)=8<0

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน Pi(Q)
Q <- symbol("Q")
Pi <- 120*Q-4*Q^2-100
Pi

4Q2+120Q100

# หาอนุพันธ์ของ Pi(Q)
dPi <- der(Pi,Q)
dPi

1208Q

# หาจุดที่ Pi'(Q)=0
solve_sys(dPi,Q)
Q = 15

ทดสอบค่าเป็นค่าสูงสุดจริงหรือไม่ โดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง

# หาอนุพันธ์อันสองของ Pi(Q)
ddPi <- der2(Pi, Q)
ddPi

8

เนื่องจาก อนุพันธ์อันดับ 2 มีค่าเป็นลบทุกจุด ดังนั้่น จึงสรุปได้ว่า ที่ Q = 15 จะมีกำไรสูงสุดคือ

subs(Pi, Q, 15) 

800

ความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่อราคา (Price Elasticity of Demand)

ฟังก์ชันอุปสงค์ Q(P)=1002P
หาค่าความยืดหยุ่นที่ราคา P=20

แนวทาง:
Ep=dQdPPQ=(2)201002(20)=22060=23 การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน Q(P)
P <- symbol("P")
Q <- 100 - 2*P
Q

1002P

# หาอนุพันธ์ของ Q(P)
dQ <- der(Q,P)
dQ

2

# สร้างฟังก์ชัน Ep
Ep <- dQ*P/Q
Ep

2P1002P

# หาค่า Ep(20)
subs(Ep, P, 20)

23

อัตราการเติบโตทางเศรษฐกิจ (Growth Rate)

ผลผลิตตามเวลา: Y(t)=100e0.05t
จงหาอัตราการเติบโตของผลผลิตเมื่อ t=10

แนวทาง:
dYdt=1000.05e0.05tdYdt(10)=5e0.551.64878.24

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลขด้วย caracas

# สร้างฟังก์ชัน Y
t <- symbol("t")
Y <- 100*exp(0.05*t)
Y

100e0.05t

# หาอนุพันธ์ของ Y
dY <- der(Y, t)
dY

5.0e0.05t

# หาค่า Y'(10)
subs(dY, t, 10)

8.24360635350064

3.8 บบฝึกหัดประยุกต์อนุพันธ์ในเศรษฐศาสตร์

ให้ใช้ caracas ในการหาคำตอบ

  1. กำหนดฟังก์ชันต้นทุนรวมเป็น TC(Q)=3Q3+5Q2+50 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุน (MC) เมื่อ Q=2

  2. รายได้รวมของผู้ผลิตให้โดย TR(Q)=120Q4Q2 จงหา MR ที่ระดับการผลิต Q=10

  3. ให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ U(x,y)=x2y0.5 จงหา Marginal Utility ของ x เมื่อ x=4, y=16

  4. ฟังก์ชันผลผลิตคือ Q=20L0.6K0.4 จงหาอนุพันธ์ของผลผลิตตามแรงงาน L

  5. กำหนดฟังก์ชันต้นทุนเฉลี่ย AC(Q)=Q+100Q จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ AC เมื่อ Q=10

  6. ให้ฟังก์ชันรายได้ R(P)=P(3003P) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของรายได้ตามราคา (dR/dP)

  7. ฟังก์ชันกำไรคือ Π(Q)=100Q5Q2200 จงหาจุดที่กำไรเพิ่มขึ้นช้าที่สุด (ค่าต่ำสุดของ d²π/dQ²)

  8. ผู้บริโภคมีฟังก์ชัน U(x,y)=ln(x)+2ln(y) จงหาอนุพันธ์ของอรรถประโยชน์ตาม y

  9. ให้ฟังก์ชันต้นทุนรวม C(Q)=10Q2+100 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนเมื่อ Q=5

  10. ฟังก์ชันผลผลิต Q=L1/2K1/2 จงหา MP ของทุน K ที่ L=25,K=16

  11. หากต้นทุนเพิ่ม (MC) คืออนุพันธ์ของ TC=Q2+5Q จงหาค่า MC ที่ Q=6

  12. ให้ TR=50QQ3 และ TC=5Q2+50 จงหาค่า dπ/dQ ที่ Q=4

  13. ฟังก์ชันต้นทุนเฉลี่ย AC=TCQ โดย TC=Q2+20 จงหา dAC/dQ เมื่อ Q=2

  14. ให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ U=x0.4y0.6 จงหาอนุพันธ์ของ U ตาม x

  15. รายได้รวมคือ R(Q)=200Q2Q2 จงหาค่า Q ที่ MR = 0

  16. ต้นทุนรวมคือ C(Q)=4Q320Q2+60Q จงหา MC และวิเคราะห์ว่าจุดใด MC ต่ำสุด

  17. ฟังก์ชันผลผลิต Q(L)=5L0.1L2 จงหา MP ที่ L=10

  18. ให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ U(x,y)=x2+y2 จงหาเส้นชั้นอรรถประโยชน์ (indifference slope) ที่ x=3,y=4

  19. ถ้ารายได้เฉลี่ยคือ AR=TRQ, โดย TR=80QQ2 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ AR ที่ Q=10

  20. ฟังก์ชันต้นทุนรวม TC=100+20Q+0.5Q2 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ MC เมื่อ Q เพิ่มขึ้น 1 หน่วย