6  การโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming (LP))

ในบทนี้จะเป็นการคำนวณเชิงตัวเลข 100% และเป็นปัญหาที่นักเศรษฐศาสตร์ทุกคนจะต้องทำความเข้าใจและเขียนการแก้ปัญหาเชิงเส้นเหล่านี้โดย ผู้เขียนจะใช้ชุดคำสั่งของภาษาอาร์ ในการหาคำตอบ

LP คือเทคนิคทางคณิตศาสตร์ สำหรับการหา “ค่าที่ดีที่สุด” (เช่น กำไรสูงสุด, ต้นทุนต่ำสุด)
โดยมีเงื่อนไขข้อจำกัด (constraints) ที่เป็น สมการเชิงเส้น หรือ อสมการเชิงเส้น

6.1 องค์ประกอบของ Linear Programming

1. ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (Objective Function)

เป้าหมาย คือ minimize ฟังก์ชันเชิงเส้น

รูปทั่วไป: $$minหรือmaxZ=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n$$ โดยที่

• $Z$ คือฟังก์ชันวัตถุประสงค์

• $c_1,c_2,\dots ,c_n$ คือสัมประสิทธิ์ (เช่น กำไรต่อหน่วย, ต้นทุนต่อหน่วย)

• $x_1,x_2,\dots ,x_n$ คือ ตัวแปรตัดสินใจ (Decision Variables)

2. ข้อจำกัด (Constraints)

เป็น สมการเชิงเส้น หรือ อสมการเชิงเส้น
โดยมีรูปทั่วไป: $$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& (\le ,=,\ge )b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& (\le ,=,\ge )b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& (\le ,=,\ge )b_m\end{array}$$ โดยที่

• $a_{ij}$ คือสัมประสิทธิ์ข้อจำกัด

• $b_i$ คือค่าคงที่ในข้อจำกัด

• $m$ คือจำนวนข้อจำกัด

สมการข้อจำกัด จะมีเครื่องหมาย $\le$ น้อยกว่าหรือเท่ากับ $=$ เท่ากับ หรือ $\ge$ มากกว่าเท่ากับก็ได้

3. เงื่อนไขตัวแปรไม่ติดลบ (Non-negativity Constraints)

ตัวแปรต้องเป็นค่าบวกหรือศูนย์:

$$x_1\ge 0,x_2\ge 0,\dots ,x_n\ge 0$$

เพราะ ในความจริง เช่น จำนวนสินค้าผลิตได้ไม่เป็นลบ เป็นต้น

6.2 รูปเมทริกซ์ของ Linear Programming (Matrix Form)

รูปทั่วไปของ LP ใน Matrix Form

$$\text{Maximize (or Minimize)}Z={\mathbf{c}}^T\mathbf{x}$$

อสมการข้อจำกัด: $$\mathbf{A}\mathbf{x}\le \mathbf{b}$$ และ $\mathbf{x}\ge 0$

อธิบายสัญลักษณ์:

สัญลักษณ์	ความหมาย
$\mathbf{c}$	เวกเตอร์สัมประสิทธิ์ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ขนาด $n\times 1$)
$\mathbf{x}$	เวกเตอร์ตัวแปรตัดสินใจ (ขนาด $n\times 1$)
$\mathbf{A}$	เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ข้อจำกัด (ขนาด $m\times n$)
$\mathbf{b}$	เวกเตอร์ค่าข้อจำกัดฝั่งขวา (RHS) (ขนาด $m\times 1$)

เราจะเขียนรูปของเมตริกซ์เสมอ เพื่อให้ง่ายต่อนำไปเขียนโปรแกรมเพื่อหาคำตอบด้วยชุดคำสั่ง

6.3 การหาคำตอบด้วยชุดคำสั่ง lpSolve

ชุดคำสั่ง ipSolve

lpSolve คือ แพ็กเกจในภาษา R สำหรับการแก้ ปัญหา Linear Programming (LP) และ Integer Linear Programming (ILP)

• ใช้สำหรับ หา “ค่าที่ดีที่สุด” (maximize หรือ minimize) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

• ภายใต้ข้อจำกัดที่เป็น สมการเชิงเส้น หรือ อสมการเชิงเส้น

• สามารถใช้แก้:

  • LP ปกติ (ตัวแปรเป็นจำนวนจริง)

  • ILP (ตัวแปรเป็นจำนวนเต็ม)

  • Transportation problems

  • Assignment problems

6.3.1 การติดตั้งและการเรียกใช้งานชุดคำสั่ง lpSolve

การติดตั้ง

install.packages("lpSolve")

การเรียกใช้งาน

library(lpSolve)

ตัวอย่างการทำงานของ lpSolve

$$maxZ=3x_1+5x_2$$ ข้อจำกัด: $$\begin{array}{rl}2x_1+x_2& \le 100\\ x_1+3x_2& \le 90\\ x_1,x_2& \ge 0\end{array}$$

วิธีทำ แปลงเป็นเมทริกซ์

เวกเตอร์ $\mathbf{c}=\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right]$, ตัวแปร $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$, เมทริกซ์ข้อจำกัด $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$,

เวกเตอร์ฝั่งขวา $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}100\\ 90\end{array}\right]$

การหาคำตอบด้วย lpSolve:

# 0 เลือกใช้ชุดคำสั่ง loSolve
library(lpSolve)
# 1 กำหนดเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
Coef <- c(3, 5)
# 2 เมตริกซ์ข้อจำกัด A
A <- matrix(c(2, 1, 1, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
# 3 เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
directions <- c("<=", "<=")
# 4 เมตริกซ์ b (ใช้เวคเตอร์ได้เลย)
b <- c(100, 90)
# 5 หาคำตอบ
result <- lp(  direction = "max",       # min หรือ max
             objective.in = Coef,       # เวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
                const.mat = A,          # เมตริกซ์ข้อจำกัด A
                const.dir = directions, # เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
                const.rhs = b)          # เมตริกซ์ b 
# ุ6 แสดงผลลัพธ์
result$solution  # ค่าตัวแปร x1 และ x2 ตามลำดับ

[1] 42 16

result$objval    # ค่าสูงสุดของ Z

[1] 206

6.4 ตัวอย่างประเภทปัญหาเศรษฐศาสตร์ที่ใช้ LP

Linear Programming ในเศรษฐศาสตร์ = ใช้ แก้ปัญหาการตัดสินใจอย่างมีข้อจำกัด
โดยมุ่งหา “การจัดสรรทรัพยากรอย่างเหมาะสมที่สุด” ภายใต้เงื่อนไขต่าง ๆ เช่น

• เพิ่มกำไรสูงสุด

• ลดต้นทุนต่ำสุด

• ใช้ทรัพยากรจำกัดให้ได้ผลลัพธ์ดีที่สุด

6.4.1 การผลิต (Production)

โรงงานผลิตสินค้าสามชนิด

บริษัทแห่งหนึ่งผลิตสินค้า A, B และ C
สินค้า A ทำกำไร 6 บาทต่อหน่วย, สินค้า B ทำกำไร 8 บาทต่อหน่วย, และสินค้า C ทำกำไร 5 บาทต่อหน่วย แต่ละหน่วยของสินค้าใช้ทรัพยากรดังนี้:

• วัตถุดิบ: สินค้า A ใช้ 2 หน่วย, B ใช้ 1 หน่วย, C ใช้ 1 หน่วย

• แรงงาน: สินค้า A ใช้ 1 ชั่วโมง, B ใช้ 3 ชั่วโมง, C ใช้ 2 ชั่วโมง

• เครื่องจักร: สินค้า A ใช้ 2 ชั่วโมง, B ใช้ 2 ชั่วโมง, C ใช้ 1 ชั่วโมง

โรงงานมีวัตถุดิบ 100 หน่วย, เวลาแรงงาน 120 ชั่วโมง และเครื่องจักร 150 ชั่วโมง บริษัทควรผลิตสินค้าแต่ละชนิดเท่าใดเพื่อให้กำไรสูงสุด?

วิธีทำ เขียนเป็นตารางสรุปได้ดังนี้

รายการ	สินค้า A	สินค้า B	สินค้า C
กำไรต่อหน่วย (บาท)	6	8	5
การใช้วัตถุดิบ (หน่วย)	2	1	1
การใช้แรงงาน (ชั่วโมง)	1	3	2
การใช้เครื่องจักร (ชั่วโมง)	2	2	1
ข้อจำกัดรวม	$\le$ 100 (วัตถุดิบ)	$\le$ 120 (แรงงาน)	$\le$ 150 (เครื่องจักร)

ฟังก์ชันเชิงคณิตศาสตร์ $$maxZ=6A+8B+5C$$ ข้อจำกัด: $$\begin{array}{rl}2A+B+C& \le 100\\ A+3B+2C& \le 120\\ 2A+2B+C& \le 150\\ A,B,C& \ge 0\end{array}$$ เมตริกซ์รูปแบบ

$$\mathbf{c}=\left[\begin{array}{c}6\\ 8\\ 5\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right],\mathrm{\Pi }=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}100\\ 120\\ 150\end{array}\right]$$

ต้องเปลี่ยนเปลี่ยนชื่อเมตริกซ์ A เป็น $\mathrm{\Pi }$ เพื่อป้องกันการสับสนกับสินค้า A

การหาคำตอบด้วย lpSolve:

# 0 เลือกใช้ชุดคำสั่ง loSolve
library(lpSolve)
# 1 กำหนดเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
Coef <- c(6, 8, 5)
# 2 เมตริกซ์ข้อจำกัด Pi
Pi <- matrix(c(2, 1, 1, 
              1, 3, 2,
              2, 2, 1), nrow = 3, byrow = TRUE)
# 3 เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
directions <- c("<=", "<=", "<=")
# 4 เมตริกซ์ b (ใช้เวคเตอร์ได้เลย)
b <- c(100, 120, 150)
# 5 หาคำตอบ
result <- lp(  direction = "max",       # min หรือ max
             objective.in = Coef,       # เวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
                const.mat = Pi,          # เมตริกซ์ข้อจำกัด A
                const.dir = directions, # เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
                const.rhs = b)          # เมตริกซ์ b 
# ุ6 แสดงผลลัพธ์
result$solution  # สินค้า A B และ C ตามลำดับ

[1] 36 28  0

result$objval    # ค่าสูงสุดของ Z

[1] 440

6.4.2 การลงทุน (Investment)

การลงทุนในโครงการ

นักลงทุนมีงบลงทุน 1,000 บาท มี 3 โครงการ A, B และ C ให้เลือกลงทุน

• ผลตอบแทนต่อหน่วยลงทุน:

  • A: 12%, B: 10%, C: 15%

• ความเสี่ยงต่อหน่วย:

  • A: 0.5 หน่วย, B: 0.8 หน่วย, C: 0.3 หน่วย กำหนดให้:

• เงินลงทุนรวมไม่เกิน 1,000 บาท

• ความเสี่ยงรวมไม่เกิน 500 หน่วย

• ต้องลงทุนในโครงการ A อย่างน้อย 100 บาท

ควรลงทุนในแต่ละโครงการอย่างไรเพื่อให้ผลตอบแทนสูงสุด?

วิธีทำ ตารางสรุปข้อมูลการลงทุน

รายการ	โครงการ A	โครงการ B	โครงการ C
ผลตอบแทนต่อหน่วยลงทุน (%)	12%	10%	15%
ความเสี่ยงต่อหน่วย	0.5 หน่วย	0.8 หน่วย	0.3 หน่วย

ตารางสรุปเงื่อนไขข้อจำกัด

เงื่อนไข	ข้อมูล
เงินลงทุนรวม	ไม่เกิน 1,000 บาท
ความเสี่ยงรวม	ไม่เกิน 500 หน่วย
เงินลงทุนในโครงการ A	อย่างน้อย 100 บาท

ฟังก์ชันเชิงคณิตศาสตร์ $$maxZ=0.12A+0.10B+0.15C$$ ข้อจำกัด: $$\begin{array}{rl}A+B+C& \le 1000\\ 0.5A+0.8B+0.3C& \le 500\\ A& \ge 100\\ A,B,C& \ge 0\end{array}$$ เมตริกซ์รูปแบบ $$\mathbf{c}=\left[\begin{array}{c}0.12\\ 0.10\\ 0.15\end{array}\right]\mathrm{\Pi }=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0.5& 0.8& 0.3\\ -1& 0& 0\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1000\\ 500\\ -100\end{array}\right]$$

ต้องเปลี่ยนเปลี่ยนชื่อเมตริกซ์ A เป็น $\mathrm{\Pi }$ เพื่อป้องกันการสับสนกับโครงการ A

การหาคำตอบด้วย lpSolve:

# 0 เลือกใช้ชุดคำสั่ง loSolve
library(lpSolve)
# 1 กำหนดเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
Coef <- c(0.12, 0.10, 0.15)
# 2 เมตริกซ์ข้อจำกัด Pi
Pi <- matrix(c(1, 1, 1, 
              0.5, 0.8, 0.3,
              -1, 0, 0), nrow = 3, byrow = TRUE)
# 3 เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
directions <- c("<=", "<=", "<=")
# 4 เมตริกซ์ b (ใช้เวคเตอร์ได้เลย)
b <- c(1000, 500, -100)
# 5 หาคำตอบ
result <- lp(  direction = "max",       # min หรือ max
             objective.in = Coef,       # เวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
                const.mat = Pi,          # เมตริกซ์ข้อจำกัด A
                const.dir = directions, # เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
                const.rhs = b)          # เมตริกซ์ b 
# ุ6 แสดงผลลัพธ์
result$solution  # โครงการ A B และ C ตามลำดับ

[1] 100   0 900

result$objval    # ค่าสูงสุดของ Z

[1] 147

6.4.3 การขนส่ง (Transportation)

ปัญหาการขนส่งสินค้า

โรงงานสองแห่ง A และ B มีสินค้าพร้อมส่งรวม 700 หน่วย

• โรงงาน A มีสินค้า 300 หน่วย และโรงงาน B มีสินค้า 400 หน่วย

• สินค้าจะถูกส่งไปยังตลาด 3 แห่งคือ ตลาด 1, ตลาด 2 และตลาด 3

ความต้องการสินค้า:

• ตลาด 1 ต้องการ 250 หน่วย

• ตลาด 2 ต้องการ 200 หน่วย

• ตลาด 3 ต้องการ 250 หน่วย

ค่าขนส่งต่อหน่วย:

• จาก A ไป ตลาด 1 = 2 บาท, ตลาด 2 = 4 บาท, ตลาด 3 = 5 บาท

• จาก B ไป ตลาด 1 = 3 บาท, ตลาด 2 = 1 บาท, ตลาด 3 = 7 บาท

โรงงานควรจัดการขนส่งสินค้าอย่างไรเพื่อให้ต้นทุนการขนส่งต่ำที่สุด?

วิธีทำ ส่งสินค้าจากคลัง A (300 หน่วย) และ B (400 หน่วย) ไปยังตลาด 1, 2, 3 ค่าขนส่งต่อหน่วย:

	ตลาด 1	ตลาด 2	ตลาด 3
คลัง A	2	4	5
คลัง B	3	1	7

ความต้องการ:

• ตลาด 1 ต้องการ 250

• ตลาด 2 ต้องการ 200

• ตลาด 3 ต้องการ 250

กำหนดให้ $x_{ij}$ คือจำนวนสินค้าจากคลัง $i$ ไปยังตลาด $j$ โดยที่ $i=\{A,B\}$ และ $j=1,2,3$

ฟังก์ชันเชิงคณิตศาสตร์ $$minZ=2x_{A1}+4x_{A2}+5x_{A3}+3x_{B1}+1x_{B2}+7x_{B3}$$ ข้อจำกัด: $$\begin{array}{rl}{x}_{A1}+x_{A2}+x_{A3}& \le 300\\ x_{B1}+x_{B2}+x_{B3}& \le 400\\ x_{A1}+x_{B1}& =250\\ x_{A2}+x_{B2}& =200\\ x_{A3}+x_{B3}& =250\\ x_{ij}& \ge 0\end{array}$$

รูปแบบเมตริกซ์

เวกเตอร์ $\mathbf{x}=[x_{A1},x_{A2},x_{A3},x_{B1},x_{B2},x_{B3}{]}^T$ $$\mathbf{c}=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\\ 3\\ 1\\ 7\end{array}\right],\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_{A1}\\ x_{A2}\\ x_{A3}\\ x_{B1}\\ x_{B2}\\ x_{B3}\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}300\\ 400\\ 250\\ 200\\ 250\end{array}\right]$$

การหาคำตอบด้วย lpSolve:

# 0 เลือกใช้ชุดคำสั่ง loSolve
library(lpSolve)
# 1 กำหนดเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
Coef <- c(2, 4, 5, 3, 1, 7)
# 2 เมตริกซ์ข้อจำกัด Pi
Pi <- matrix(c(1, 1, 1, 0, 0, 0,
               0, 0, 0, 1, 1, 1,
               1, 0, 0, 1, 0, 0,
               0, 1, 0, 0, 1, 0,
               0, 0, 1, 0, 0, 1), nrow = 5, byrow = TRUE)
# 3 เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
directions <- c("<=", "<=", "=", "=", "=")
# 4 เมตริกซ์ b (ใช้เวคเตอร์ได้เลย)
b <- c(300, 400, 250, 200, 250)
# 5 หาคำตอบ
result <- lp(  direction = "min",       # min หรือ max
             objective.in = Coef,       # เวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
                const.mat = Pi,          # เมตริกซ์ข้อจำกัด A
                const.dir = directions, # เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
                const.rhs = b)          # เมตริกซ์ b 
# ุ6 แสดงผลลัพธ์
result$solution  # x_A1, x_A2, x_A3, x_B1, x_B2, x_B3

[1]  50   0 250 200 200   0

result$objval    # ค่าต่ำสุดของ Z

[1] 2150

6.4.4 การใช้ทรัพยากร (Resource Allocation) แรงงาน

การจัดสรรแรงงานในโรงงาน

โรงงานมีแรงงาน 80 คน ต้องจัดสรรคนทำงาน 3 ประเภท ได้แก่ งาน A, งาน B และงาน C

รายได้ต่อคน:

• งาน A = 100 บาท

• งาน B = 120 บาท

• งาน C = 90 บาท

กำหนดเงื่อนไข:

• งาน A ต้องมีแรงงานไม่น้อยกว่า 10 คน

• งาน B ต้องมีแรงงานไม่น้อยกว่า 20 คน

• จำนวนแรงงานในงาน C ต้องไม่น้อยกว่าจำนวนแรงงานในงาน A

ควรจัดสรรแรงงานในแต่ละงานอย่างไรเพื่อให้รายได้รวมสูงสุด?

วิธีทำ โรงงานมีแรงงาน 80 คน ต้องกระจายไปยังงาน A, B, และ C

• รายได้ต่อหน่วยแรงงาน:

  • งาน A: 100 บาท

  • งาน B: 120 บาท

  • งาน C: 90 บาท

• เงื่อนไข:

  • งาน A ต้องใช้ไม่น้อยกว่า 10 คน

  • งาน B ต้องใช้อย่างน้อย 20 คน

  • งาน C ต้องใช้คนไม่น้อยกว่างาน A

ฟังก์ชันเชิงคณิตศาสตร์ $$maxZ=100x_1+120x_2+90x_3$$ ข้อจำกัด: $$\begin{array}{rlr}{x}_1+x_2+x_3& =80\to & x_1+x_2+x_3=80\\ x_1& \ge 10\to & -x_1\le -10\\ x_2& \ge 20\to & -x_2\le -20\\ x_3& \ge x_1\to & -x_1+x_3\le 0\\ x_i& \ge 0& \end{array}$$

รูปแบบเมตริกซ์ $$\mathbf{c}=\left[\begin{array}{c}100\\ 120\\ 90\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right],\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}80\\ -10\\ -20\\ 0\end{array}\right]$$

การหาคำตอบด้วย lpSolve:

# 0 เลือกใช้ชุดคำสั่ง loSolve
library(lpSolve)
# 1 กำหนดเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
Coef <- c(100, 120, 90)
# 2 เมตริกซ์ข้อจำกัด A
A <- matrix(c(1,  1, 1, 
             -1,  0, 0,
              0, -1, 0,
             -1,  0, 1), nrow = 4, byrow = TRUE)
# 3 เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
directions <- c("=", "<=", "<=", "<=")
# 4 เมตริกซ์ b (ใช้เวคเตอร์ได้เลย)
b <- c(80, -10, -20, 0)
# 5 หาคำตอบ
result <- lp(  direction = "max",       # min หรือ max
             objective.in = Coef,       # เวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
                const.mat = A,          # เมตริกซ์ข้อจำกัด A
                const.dir = directions, # เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
                const.rhs = b)          # เมตริกซ์ b 
# ุ6 แสดงผลลัพธ์
result$solution  # x1, x2 x3 ตามลำดับ

[1] 10 70  0

result$objval    # ค่าสูงสุดของ Z

[1] 9400

6.4.5 การใช้ทรัพยากร (Resource Allocation) งบประมาณ

การจัดสรรงบประมาณการตลาด

บริษัทควรจัดสรรงบประมาณอย่างไรในแต่ละช่องทางเพื่อให้ผลตอบแทนรวมสูงสุด? ถ้าบริษัทมีงบการตลาด 500,000 บาท ต้องกระจายงบประมาณไปยัง 3 ช่องทาง ได้แก่ โฆษณาทีวี, โฆษณาออนไลน์ และกิจกรรมอีเวนต์ โดยมีผลตอบแทนการลงทุน และเงื่อนไขงบประมาณดังนี้

ช่องทางโฆษณา	ผลตอบแทนการลงทุน (ROI)	เงื่อนไขงบประมาณ
โฆษณาทีวี	15% ต่อบาท	ไม่เกิน 200,000 บาท
โฆษณาออนไลน์	20% ต่อบาท	ไม่น้อยกว่า 100,000 บาท
กิจกรรมอีเวนต์	10% ต่อบาท	ไม่เกิน 150,000 บาท

วิธีทำ บริษัทมีงบการตลาด 500,000 บาท ต้องแจกจ่ายให้กิจกรรมโฆษณา 3 ช่องทาง:
ทีวี ($x_1$), ออนไลน์ ($x_2$) และอีเวนต์ ($x_3$)

• ผลตอบแทน (ROI ต่อหน่วย): 0.15, 0.20, 0.10

• ข้อจำกัด:

  • ทีวีลงทุนไม่เกิน 200,000

  • ออนไลน์อย่างน้อย 100,000

  • อีเวนต์ไม่เกิน 150,000

สามารถเขียนฟังก์ชันเชิงคณิตศาสตร์ $$maxZ=0.15x_1+0.20x_2+0.10x_3$$ ข้อจำกัด: $$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2+x_3& =500000\\ x_1& \le 200000\\ x_2& \ge 100000\\ x_3& \le 150000\\ x_i& \ge 0,i=1,2,3\end{array}$$ รูปแบบเมตริกซ์ $$\mathbf{c}=\left[\begin{array}{c}0.15\\ 0.20\\ 0.10\end{array}\right]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}500000\\ 200000\\ -100000\\ 150000\end{array}\right]$$

การหาคำตอบด้วย lpSolve:

# กำหนดให้แสดงผลลัพธ์เป็นตัวเลขไม่เกิน 999 ตำแหน่ง
options(scipen = 999)
# 0 เลือกใช้ชุดคำสั่ง loSolve
library(lpSolve)
# 1 กำหนดเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
Coef <- c(0.15, 0.20, 0.10)
# 2 เมตริกซ์ข้อจำกัด A
A <- matrix(c(1, 1, 1, 
              1, 0, 0,
              0, -1, 0,
              0, 0, 1), nrow = 4, byrow = TRUE)
# 3 เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
directions <- c("=","<=" ,"<=","<=")
# 4 เมตริกซ์ b (ใช้เวคเตอร์ได้เลย)
b <- c(500000, 200000, -100000, 150000)
# 5 หาคำตอบ
result <- lp(  direction = "max",       # min หรือ max
             objective.in = Coef,       # เวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Coef
                const.mat = A,          # เมตริกซ์ข้อจำกัด A
                const.dir = directions, # เวคเตอร์ทิศทางข้อจำกัด
                const.rhs = b)          # เมตริกซ์ b 
# ุ6 แสดงผลลัพธ์
result$solution  # ค่าตัวแปร x1 x2 และ x3 ตามลำดับ

[1]      0 500000      0

result$objval    # ค่าสูงสุดของ Z

[1] 100000

6.5 แบบฝึกหัด Linear Programming

ข้อ 1: การผลิตสินค้า A และ B

• A ใช้วัตถุดิบ 2 หน่วย, แรงงาน 3 ชม.

• B ใช้วัตถุดิบ 3 หน่วย, แรงงาน 2 ชม.

• จำกัด: วัตถุดิบไม่เกิน 60 หน่วย, แรงงานไม่เกิน 80 ชม.

• กำไร: A = 40, B = 50

ข้อ 2: ร้านอาหารปรุงอาหาร X และ Y

• X ใช้เวลา 4 ชม./หน่วย, Y = 3 ชม./หน่วย

• เวลาทั้งหมดไม่เกิน 90 ชม.

• รายได้: X = 200, Y = 150

ข้อ 3: การจัดงบโครงการ A และ B

• A ใช้งบ 5,000 บาท, คะแนน 60

• B ใช้งบ 8,000 บาท, คะแนน 100

• งบทั้งหมดไม่เกิน 100,000 บาท

ข้อ 4: กิจกรรมโรงเรียน

• A ใช้เวลาครู 2 ชม., B = 3 ชม.

• ครูให้เวลากับนักเรียนไม่เกิน 50 ชม.

• กิจกรรมรวมไม่เกิน 30 ครั้ง

ข้อ 5: การใช้พื้นที่คลังสินค้า

• P ใช้ 5 ตร.ม., Q = 8 ตร.ม.

• ใช้พื้นที่ไม่เกิน 100 ตร.ม.

• กำไร: P = 30, Q = 40

ข้อ 6: โรงงานน้ำดื่มบรรจุขวด

• ขวดเล็ก: น้ำ 0.6 ลิตร, เวลา 2 นาที

• ขวดใหญ่: น้ำ 1.5 ลิตร, เวลา 3 นาที

• มีน้ำ 300 ลิตร, เวลา 600 นาที

• กำไร: เล็ก = 8 บาท, ใหญ่ = 15 บาท

ข้อ 7: การจัดโฆษณาสื่อ

• สื่อ A ใช้ 2 ชม./สัปดาห์, สื่อ B = 3 ชม.

• เวลาทั้งหมดไม่เกิน 40 ชม.

• สื่อ A เข้าถึงคน 500 คน, B = 700 คน

ข้อ 8: การจัดคนในงานนิทรรศการ

• แผนก A ใช้พื้นที่ 10 ตร.ม., B = 15 ตร.ม.

• พื้นที่ไม่เกิน 200 ตร.ม.

• A ได้ความพึงพอใจ 40, B = 60

ข้อ 9: การจัดคาบเรียน

• คาบบรรยาย: 2 ชม./คาบ

• คาบปฏิบัติ: 3 ชม./คาบ

• มีเวลาเรียนรวมไม่เกิน 60 ชม.

• คาบบรรยายได้ประโยชน์ 5 หน่วย, ปฏิบัติ = 8 หน่วย

ข้อ 10: การผลิตเก้าอี้และโต๊ะ

• เก้าอี้ใช้ไม้ 3 หน่วย, โต๊ะ = 5 หน่วย

• ไม้มีรวม 150 หน่วย

• กำไร: เก้าอี้ = 30, โต๊ะ = 50

ข้อ 11: โรงงานผลิตขนม

• ขนม A ใช้เวลา 2 ชม., B = 3 ชม.

• เวลาไม่เกิน 120 ชม.

• รายได้: A = 10, B = 15

ข้อ 12: บริษัทให้บริการ A และ B

• A ใช้พนักงาน 1 คน, B = 2 คน

• มีพนักงาน 100 คน

• รายได้ต่อบริการ: A = 400, B = 700

ข้อ 13: การวางแผนคลังสินค้า

• A ใช้ที่เก็บ 4 หน่วย, B = 6 หน่วย

• พื้นที่ไม่เกิน 180 หน่วย

• กำไร: A = 20, B = 25

ข้อ 14: กิจกรรมสันทนาการ

• กีฬา: ใช้ 3 ชม./กิจกรรม

• ศิลปะ: ใช้ 2 ชม./กิจกรรม

• เวลาไม่เกิน 90 ชม.

• คะแนน: กีฬา = 10, ศิลปะ = 8

ข้อ 15: การผลิตหมวกและเสื้อ

• หมวก: ผ้า 1 หน่วย, เสื้อ = 3 หน่วย

• ผ้ามี 90 หน่วย

• กำไร: หมวก = 25, เสื้อ = 40

ข้อ 16: การจัดพนักงานเข้าเวร

• เวรกลางวัน: ใช้ 5 คน, กลางคืน = 3 คน

• มีพนักงาน 60 คน

• กลางวันให้ productivity 100, กลางคืน = 80

ข้อ 17: การเลือกลงทุน A และ B

• A ต้องลงทุน 10,000, B = 15,000

• ทุนรวมไม่เกิน 200,000

• ผลตอบแทน: A = 1.2x, B = 1.5x

ข้อ 18: การใช้เวลาฝึกอบรม

• หลักสูตร A = 4 ชม., B = 6 ชม.

• เวลาไม่เกิน 240 ชม.

• คะแนนทักษะ: A = 60, B = 90

ข้อ 19: โรงงานผลิตปูนซีเมนต์

• A ใช้หิน 3 หน่วย, B = 2 หน่วย

• หินไม่เกิน 300 หน่วย

• รายได้: A = 50, B = 35

ข้อ 20: การจัดกิจกรรมอบรมครู

• ครูสอนเนื้อหาใช้เวลา 2 ชม., สอนเทคนิค = 4 ชม.

• เวลาครูรวมไม่เกิน 100 ชม.

• คะแนน: เนื้อหา = 30, เทคนิค = 50

Andersen, M. M., & Højsgaard, S. (2023). caracas: Computer Algebra. https://github.com/r-cas/caracas

Berkelaar, M. (2024). lpSolve: Interface to ’Lp_solve’ v. 5.5 to Solve Linear/Integer Programs. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.lpSolve

Chanaim, S. (2023). Data Visualization with R Programming. https://bookdown.org/somsak_c/data_visualization_with_r_programming/

Meurer, A., Smith, C. P., Paprocki, M., Čertı́k, O., Kirpichev, S. B., Rocklin, M., Kumar, A., Ivanov, S., Moore, J. K., Singh, S., และคณะ. (2017). SymPy: symbolic computing in Python. PeerJ Computer Science, 3, e103. https://doi.org/10.7717/peerj-cs.103

Sievert, C. (2020). Interactive Web-Based Data Visualization with R, plotly, and shiny. Chapman; Hall/CRC. https://plotly-r.com

Ushey, K., Allaire, J., & Tang, Y. (2025). reticulate: Interface to ’Python’. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.reticulate

Wickham, H. (2016). ggplot2: Elegant Graphics for Data Analysis. Springer-Verlag New York. https://ggplot2.tidyverse.org