4  การประยุกต์อินทิกรัลในทางเศรษฐศาสตร์

ในบทนี้ผู้อ่านจะได้เรียนรู้การประยุกต์ใช้การคำนวณเชิงสัญลักษณ์ เพื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการอินทิกรัลในทางเศรษฐศาสตร์ ก่อนผู้อ่านศึกษาเนื้อหาบทนี้ ผู้เขียนมีสมมุติฐานว่าผู้อ่านมีความรู้และความเข้าใจเกี่ยวกับการอินทิกรัลมาบ้างแล้ว

การคำนวณพื้นที่ใต้กราฟด้วยผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยม

4.1 นิยามของอินทิกรัล (Definition of Integral)

อินทิกรัลคือ ผลรวมของปริมาณเล็ก ๆ (“ผลรวมจำกัด” หรือ limit of sums)
เมื่อเราแบ่งช่วงออกเป็นชิ้นเล็ก ๆ มาก ๆ แล้วเอาพื้นที่ของแต่ละชิ้นมาบวกกัน

นิยาม (Riemann Integral)

ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนช่วงปิด $[a,b]$

• แบ่งช่วง $[a,b]$ ออกเป็น $n$ ส่วนย่อย โดยให้ $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$

• แต่ละช่วงย่อยมีความกว้าง $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$

เลือกจุดหนึ่งในแต่ละช่วง เรียกว่า sample point $c_i\in [x_{i-1},x_i]$

สร้าง ผลรวมรีมันน์ (Riemann Sum):

$$S_n=\sum _{i=1}^{n}f(c_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

แล้วทำลิมิต เมื่อจำนวนช่วงเพิ่มขึ้น ($n\to \mathrm{\infty }$) และความกว้างของช่วงเล็กลง ($max\mathrm{\Delta }{x}_i\to 0$)

ถ้าลิมิตนี้มีอยู่และเป็นจำนวนจริงเดียวกันไม่ว่าเลือก $c_i$ อย่างไร
เรานิยามว่า $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{||P||\to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(c_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$ โดย $||P||$ คือความยาวของช่วงย่อยที่ยาวที่สุด

• ถ้า $f(x)$ ต่อเนื่องบน $[a,b]$$\to$ อินทิเกรตได้แน่นอน

• ถ้า $f(x)$ มีจุดโดดน้อย ๆ (finite discontinuities) $\to$ ยังอินทิเกรตได้ (เรียกว่า Riemann integrable)

4.2 ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus)

คือทฤษฏีแสดงความเกี่ยวข้องกันระหว่างอนุพันธ์และอินทิกรัล โดยมี 2 ส่วนที่สำคัญคือ

ส่วนที่ 1 (First Fundamental Theorem)

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $[a,b]$ และนิยาม $$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

สำหรับ $x$ ใน $[a,b]$ แล้ว
ฟังก์ชัน $F(x)$ จะมีอนุพันธ์ และ

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$ สรุป: การอินทิเกรตแล้วทำอนุพันธ์ได้ฟังก์ชันเดิม

ส่วนที่ 2 (Second Fundamental Theorem)

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $[a,b]$ และ $F$ เป็นฟังก์ชันปริมิทีฟ (antiderivative) ของ $f$ (คือ $F^{\prime }(x)=f(x)$)

จะได้ว่า

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

สรุป: การอินทิเกรตจำกัดเขต คือ ค่า $F(b)$ ลบด้วย $F(a)$

4.3 การหาอินทิกรัลด้วย caracas ใน R

1. ติดตั้งและโหลดแพ็กเกจ

library(caracas)

2. กำหนดตัวแปรสัญลักษณ์ (symbolic variables)

x <- symbol("x")
y <- symbol("y")
t <- symbol("t")

(เราต้องสร้างตัวแปรก่อน เช่น $x$, $y$ือ $s$)

3. สร้างฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรต

ตัวอย่าง

f <- sin(x)  # f(x) = sin(x)
g <- exp(-x)
h <- t^3 + t^2 + 4

4. ใช้คำสั่ง int() จาก caracas สำหรับการอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

int(f, x)

$$-\cos \left(x\right)$$

• f คือฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรต

• x คือ ตัวแปรตามที่อินทิเกรต

int(g, x)

$$-e^{-x}$$

int(h, t)

$$\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}+4t$$

สำคัญ

การอินทิกรัลไม่จำกัดเขต โดยปกติจะบวกค่าคงที่เข้าไปด้วย แต่การอินทิกรัลโดย caracas จะไม่มีการใส่ค่าคงที่

สำหรับการอินทิกรัลจำกัดเขตด้วย caracas ก็ยังใช้คำสั่ง int() เช่นแต่ต้องคำสั่งถายในไปอีก 2 ตัว คือ - lower ค่าที่ใส่ได้ คือ ตัวเลข ตัวแปรจาก caracas และค่าลบอนันต์ ($-\mathrm{\infty }$ ในอาร์ใช้ -Inf

• upper ค่าที่ใส่ได้ คือ ตัวเลข ตัวแปรจาก caracas และค่าอนันต์ ($\mathrm{\infty }$ ในอาร์ใช้ Inf

ตัวอย่างเช่น

แนะนำให้ให้วาดกราฟก่อนทำการหาค่า อินกรัลจำกัดเขต

$${\int }_{\text{lower}}^{\text{upper}}{e}^{-s}ds$$

# เปลี่ยนตัวแปร caracas เป็นฟังก์ชันด้วยคำสั่ง as_func()
gs <- as_func(g)
# วาดกราฟด้วยฟังก์ชัน  curve เลือกช่วงที่ต้องการ
curve(gs, from = 0, to = 10, col = "red", ylab = "g(s)", xlab = "s")
# สร้างจุดสำหรับวาดพื้นใต้กราฟ
s <- seq(0, 10, length.out = 500)
y <- gs(s)
# แรเงาพื้นที่ใต้เส้น
polygon(c(s, rev(s)), c(rep(0, length(s)), rev(y)),
        col = "lightblue", border = NA)
grid()

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dx=1$$

int(g, x, lower = 0, upper = Inf)

$$1$$

$${\int }_0^{t/2}{e}^{-x}dx=1-e^{-t/2}$$

int(g, x, lower = 0, upper = t/2)

$$1-e^{-\frac{t}{2}}$$

$${\int }_{t/2}^{\mathrm{\infty }}{e}^{x}dx=e^{-t/2}$$

int(g, x, lower = t/2, upper = Inf)

$$e^{-\frac{t}{2}}$$

4.4 ตัวอย่างการประยุกต์ใช้อินทิกรัลในทางเศรษฐศาสตร์

1. การหาผลรวมของรายได้หรือกำไร (Total Revenue, Total Profit)

• ถ้าเราทราบ รายได้ต่อหน่วย หรือ กำไรต่อหน่วย เช่นเป็นฟังก์ชันตามจำนวนหน่วย $q$

• การหา รายได้รวม หรือ กำไรรวม ก็คือการอินทิเกรตฟังก์ชันนั้น

ถ้า marginal revenue (รายได้ส่วนเพิ่ม) คือ $MR(q)=100-2q$
รายได้รวม $TR(q)$ คือ $$TR(q)=\int MR(q)dq=\int (100-2q)dq=100q-q^2+C$$ ($C$ คือค่าคงที่ แต่ถ้ากำหนด $TR(0)=0$ ก็จะได้ $C=0$)

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วย caracas

# สร้างตัวแปร q 
q <- symbol("q")
# สร้างฟังก์ชัน MR(q)
MR <- 100 - 2*q
MR

$$100-2q$$

ทำการอินทิกรัลด้วย inv()

TR <- int(MR,q)
TR

$$-q^2+100q$$

อย่าลืม การอินทิกรัลใน caracas จะไม่มีการบวกค่าคงที่

2. การหาพื้นที่ใต้เส้นอุปสงค์และอุปทาน (Consumer Surplus, Producer Surplus)

ส่วนเกินผู้บริโภค (Consumer Surplus) และ ส่วนเกินผู้ผลิต (Producer Surplus)
คำนวณจากพื้นที่ใต้กราฟอุปสงค์และอุปทาน

ถ้าเส้นอุปสงค์คือ $P=120-2Q$ และราคาตลาดอยู่ที่ $P=60$
ส่วนเกินผู้บริโภค (CS) คือพื้นที่ใต้เส้นอุปสงค์จาก $Q=0$ ถึงปริมาณที่สมดุล $Q^{\ast }$:

$$CS={\int }_0^{Q^{\ast }}(120-2Q)dQ-(60\times Q^{\ast })$$

แก้สมการหาค่า $Q\ast$ ด้วย caracas แม้ว่าจะเป็นสมการง่ายๆ ก็ตาม

# สร้างตัวแปร Q
Q <- symbol("Q")
# ที่ P = 60 จะได้
f <- 60-120+2*Q
solve_sys(f,Q)

Q = 30

ดังนั้น ที่ $P=60$ จะได้ $Q\ast =30$ ดังนั้น การอินทิกรัลด้วย caracas จะได้

วาดกราฟเพื่อดูการอินทิกรัล

Pq <- as_func(120-2*Q)
#วาดกราฟ P =120-2Q
curve(Pq, from = 0, to =60, ylab ="P", xlab ="Q", col = "blue")
#เพิ่มกราฟ P = 60
curve(60+0*x,from = 0, to = 60, col = "red", add =TRUE)
# สร้างจุดสำหรับวาดพื้นใต้กราฟ
s <- seq(0, 30, length.out = 500)
y <- Pq(s)
# แรเงาพื้นที่ใต้เส้น
polygon(c(s, rev(s)), c(rep(60, length(s)), rev(y)),
        col = "lightblue", border = NA)
legend("bottomleft",c("P=120-2Q","P=60"), col= c("blue","red"), lty =1)

grid()

ทำการหาพื้นที่ใต้กราฟ

# สร้างตัวแปร q
q <- symbol("q")
f <- (120-2*q)-60
int(f,q,0,30)

$$900$$

จะได้ค่า consumer surplus เท่ากับ 900

3. การคำนวณมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (Net Present Value, NPV)

• การวิเคราะห์การลงทุน เมื่อ กระแสเงินสด เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามเวลา $t$

• ใช้ การอินทิเกรต เพื่อหามูลค่าปัจจุบันรวม

ถ้ากระแสเงินสด $C(t)=100e^{0.05t}$ ต่อปี, อัตราดอกเบี้ย $r=0.08$ ต่อปี
มูลค่าปัจจุบันสุทธิจากปี $0$ ถึง $10$ ปี คือ

$$NPV={\int }_0^{10}\frac{C(t)}{(1+r{)}^t}dt$$

การคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วย caracas

# สร้างตัวแปร t, C และ r
t <- symbol("t")
r <- symbol("r")
C <- 100*exp(0.05*t)
PV <- C/(1+r)^t
PV

$$100{(r+1)}^{-t}{e}^{0.05t}$$

แทนค่า $r=0.08$ ลงไปฟังก์ชัน PV

PV <- subs(PV, r,  0.08)

$$100{1.08}^{-t}{e}^{0.05t}$$

วาดกราฟ

PVx <- as_func(PV)
#วาดกราฟ P =120-2Q
curve(PVx, from = 0, to =100, ylab ="PV", xlab ="t", col = "blue")
s <- seq(0, 10, length.out = 500)
y <- PVx(s)
# แรเงาพื้นที่ใต้เส้น
polygon(c(s, rev(s)), c(rep(0, length(s)), rev(y)),
        col = "lightblue", border = NA)
grid()

หมายเหตุ เลือกวาดกราฟ ให้ $t$ มีขนาดยาวเพื่อให้เห็นเส้นโค้งชัดเจน

แสดงสมการอินทิกรัล

int(PV,t, lower = 0, upper = 10, doit = FALSE)

$$\underset{0}{\overset{10}{\int }}100{1.08}^{-t}{e}^{0.05t}dt$$

หาค่า NPV

int(PV,t, lower = 0, upper = 10)

$$876.535303483947$$

4. การกระจายความเสี่ยง (Risk Distribution)

• ในเศรษฐศาสตร์การเงิน การหาความน่าจะเป็นสะสม (CDF) จากฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF)
  ต้องใช้ การอินทิเกรต ฟังก์ชัน PDF

ถ้าอัตราผลตอบแทนสุทธิ $r$ มีการกระจายแบบปกติ $f(r)$
แล้วต้องการหาความน่าจะเป็นที่ผลตอบแทนมากกว่าค่าเฉลี่ย ก็อินทิเกรต $f(r)$ จากค่าเฉลี่ยขึ้นไป

$$P(r>\mu )={\int }_{\mu }^{\mathrm{\infty }}f(r)dr$$

ฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติคือ $$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}),\mu \in R,{\sigma }^2>0$$

อินทิกรัลเชิงสัญลักษณ์ด้วยการไม่ใส่ตัวเลขใดๆ จะได้

mu <- symbol("mu")
sigma <- symbol("sigma")
pi <-symbol("pi")
x <- symbol("x")
f <- (1/(sigma*sqrt(2*pi))) * exp(-((x - mu)^2) / (2*sigma^2))
f

$$\frac{\sqrt{2}{e}^{-\frac{{(-\mu +x)}^2}{2{\sigma }^2}}}{2\sqrt{\pi }\sigma }$$

int(f,x, lower = mu, upper = Inf)

$$\frac{\sqrt{2}{e}^{-\frac{{\mu }^2}{2{\sigma }^2}}\underset{\mu }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}{e}^{\frac{\mu x}{{\sigma }^2}}dx}{2\sqrt{\pi }\sigma }$$

เมื่อทดลองแทนค่า $\mu =0.1$ $\sigma =0.05$ และ $\pi$ = pi

f <- subs(f, list(mu = 0.01, sigma =0.05))
f

$$\frac{10.0\sqrt{2}{e}^{-200.0{(x-0.01)}^2}}{\sqrt{\pi }}$$

เนื่องจากภาษาอาร์ pi คือตัวแปรของค่าคงของค่าพาย แต่เนื่องจากมีกำหนดให้ pi คือแปรใหม่ที่สร้างจาก caracas ดังนั้นต้องดึงค่าคงพายจากชุดคำสั่ง base มาใช้ด้วยคำสั่ง base::pi <ชุดคำสั่ง::ฟังก์ชัน/ค่าคงที่ที่ต้องการใช้>

ทำการอินทิกรัลจะได้

int(f,x, lower = 0.01, upper = Inf)

$$\frac{0.353553390593274\sqrt{2}\sqrt{\pi }}{\sqrt{\pi }}$$

ถ์้าต้องการเป็นตัวเลขจะได้

N(subs(int(f,x, lower = 0.01, upper = Inf), pi, base::pi))

$$0.5$$

ซึ่งเป็นค่าที่ถูกต้องตามทฤษฏี

4.5 แบบฝึกหัดอินทิกรัลในเศรษฐศาสตร์

ให้ใช้ caracas ในการหาคำตอบ

1. เส้นอุปสงค์ของสินค้าคือ $P=100-2Q$ และราคาตลาดคือ $P=60$ จงหาพื้นที่ส่วนเกินของผู้บริโภค (Consumer Surplus)

2. สมการอุปทานคือ $P=10+Q$ และราคาตลาดคือ $P=40$ จงหาส่วนเกินผู้ผลิต (Producer Surplus)

3. ฟังก์ชันต้นทุนเพิ่ม (Marginal Cost) คือ $MC(Q)=6Q$ จงหาต้นทุนรวมในการผลิต 5 หน่วย

4. ฟังก์ชันรายได้เพิ่ม (Marginal Revenue) คือ $MR(Q)=100-4Q$ จงหาค่ารายได้รวมเมื่อขาย 10 หน่วย

5. สมการอุปสงค์คือ $P=80-Q$, จงคำนวณ Consumer Surplus เมื่อราคาตลาดคือ 50

6. กำหนดฟังก์ชันต้นทุนเฉลี่ย $AC(Q)=20+\frac{100}{Q}$ จงหาต้นทุนรวมเมื่อผลิต 5 หน่วย โดยใช้การอินทิกรัล

7. รายได้รวมจากการขายคือ $R(Q)=Q(60-Q)$ จงหาผลรวมรายได้จากการขายสินค้าจำนวน 0 ถึง 10 หน่วย

8. พื้นที่ใต้เส้นโค้ง $f(x)=x^2+3x$ จาก $x=1$ ถึง $x=5$ คือเท่าใด?

9. ให้ $C^{\prime }(Q)=4Q^2+2$ คือ MC จงหาค่า $TC(Q)$ โดยการอินทิกรัล และหา $TC$ เมื่อ $Q=3$

10. ผู้ผลิตมีรายได้ต่อหน่วย $P=50$, ขายได้ $Q=0$ ถึง $Q=20$ หน่วย จงหาผลรวมรายได้ทั้งหมดด้วยอินทิกรัล

11. ฟังก์ชัน $f(x)=e^{-x}$ ให้คำนวณพื้นที่ใต้เส้นกราฟจาก $x=0$ ถึง $x=1$

12. ถ้าผู้บริโภคได้รับอรรถประโยชน์ตามฟังก์ชัน $U(Q)={\int }_0^Q(100-2q)dq$ จงหา $U(20)$

13. ถ้า $MC(Q)=5$, จงคำนวณต้นทุนรวมในการผลิต 10 หน่วย

14. ให้ $MR(Q)=200-10Q$ หาผลรวมรายได้ (TR) เมื่อ $Q=0$ ถึง $Q=15$

15. ฟังก์ชัน $f(q)=\ln (q+1)$ คำนวณพื้นที่ใต้เส้นกราฟนี้จาก $q=0$ ถึง $q=3$

16. ถ้าอุปสงค์คือ $P=120-3Q$, ราคาตลาดคือ $P=60$ จงหาส่วนเกินผู้บริโภค

17. ผู้ผลิตมีต้นทุนเพิ่ม $MC=2Q+5$, ไม่มีต้นทุนคงที่ หาค่าต้นทุนรวมเมื่อผลิต 8 หน่วย

18. ถ้าฟังก์ชันผลผลิตชายขอบคือ $MP(L)=10-0.5L$, ให้หาผลผลิตรวมเมื่อใช้แรงงาน 0 ถึง 10 หน่วย

19. เส้นอุปสงค์และอุปทานตัดกันที่ $Q=20$, ให้ $P_d=100-Q$, $P_s=20+Q$ จงหาส่วนเกินผู้บริโภคและผู้ผลิต

20. ถ้ารายได้เฉลี่ย $AR(Q)=60-0.5Q$, จงหาผลรวมรายได้ทั้งหมดจาก 0 ถึง 20 หน่วย

Andersen, M. M., & Højsgaard, S. (2023). caracas: Computer Algebra. https://github.com/r-cas/caracas

Berkelaar, M. (2024). lpSolve: Interface to ’Lp_solve’ v. 5.5 to Solve Linear/Integer Programs. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.lpSolve

Chanaim, S. (2023). Data Visualization with R Programming. https://bookdown.org/somsak_c/data_visualization_with_r_programming/

Meurer, A., Smith, C. P., Paprocki, M., Čertı́k, O., Kirpichev, S. B., Rocklin, M., Kumar, A., Ivanov, S., Moore, J. K., Singh, S., และคณะ. (2017). SymPy: symbolic computing in Python. PeerJ Computer Science, 3, e103. https://doi.org/10.7717/peerj-cs.103

Sievert, C. (2020). Interactive Web-Based Data Visualization with R, plotly, and shiny. Chapman; Hall/CRC. https://plotly-r.com

Ushey, K., Allaire, J., & Tang, Y. (2025). reticulate: Interface to ’Python’. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.reticulate

Wickham, H. (2016). ggplot2: Elegant Graphics for Data Analysis. Springer-Verlag New York. https://ggplot2.tidyverse.org