6 反向保险公司与圣彼得堡悖论

故事要从1713年的巴塞尔说起，尼古拉斯·伯努利（Nikolaus Bernoulli）问你假如抛一次硬币朝上，你赢2块钱，如果反面，继续游戏，第二次硬币朝上，你赢4块钱，如果反面，继续游戏，以此类推，第n次硬币朝上，你赢2的n次方块钱。请问你愿意出多少钱参加这个游戏？

这个问题的悖论之处在于即使你知道它的期望是正无穷，你也不会花很多钱参加这个游戏。

如果我们进一步简化这个问题，把它改成更简洁的掷筛子问题： 如果筛子为1，你赢1块钱，如果筛子为2，你赢2块钱， 如果筛子为3，你赢6块钱，如果筛子为4，你赢22块钱， 如果筛子为5，你赢200块钱，如果筛子为6，你赢1,000,000块钱。 请问你愿意出多少钱参加这个游戏？

显然你不会出500，000块去博1,000,000块的奖金，因为你知道很有可能你会扔到1，输掉499，999的钱。

1738年，丹尼尔伯努利（Daniel Bernoulli）提出了解决这个悖论的三个核心洞见：

• 每个人的资源都是有限的，他的本金与风险承受能力是有限的。
• 金钱带给人的边际效用递减。这里他提出了核心概念边际效用。
• 人们不能买未来还没被卖的机会。时间概率与集合概率之间有区别。

假设你有100,000元的本金，我们可以模拟各种付出的数量，并且计算六种情况下游戏结束以后你最终财富的几何平均期望。 假设你花50,000参与游戏为例，最终的几何期望收益就是(5000150002500065002250200*10050000) ** 1/6 =56624元远远低于你原来的100,000元。

这个版本的圣彼得保悖论告诉我们如果从几何期望而不是算术期望的角度来看待问题，我们就能解开这个悖论。

下面我们在来思考圣彼得堡悖论的另一个版本，这与保险公司的生意有关。

假设你是一个大航海时代的船长，你有本金3000元，如果跑成一单货你会获得13000元的收入，净赚10000元。 但是大海上海盗林立，强匪横行，你的船有5%的概率被劫持，这会导致你承受10000元的损失。你在考虑要不要买保险？ 保险公司给你开出的条件是，你交800元的保费，如果你的船被劫持，保险公司会给你赔偿10000元。

你算了一下觉得保险公司太黑心，为数学期望站在了它们一边： -800 * 0.95 + (10000 - 800) * 0.05 = -300

或许你的内心还会嘀咕，这完全就是一个兜售恐惧的生意。

但是如果你从几何期望的角度来看待问题，你会发现购买了这个合同，在这个案例中，你与保险公司达成了正和博弈而非零和博弈。

如果不买保险，站在你的角度几何期望的计算就变成了： ((13000^95) * (3000⁵⁾⁾1/100）= 12081元

如果你买了保险，你的最差收益就是13000-800 = 122000元。从几何期望的角度考虑，你收益了119元。

如果你是希望长期在这个运输行业立足，进行多轮博弈，你的目标是最大化你的年化增长率(compound annual growth rate) 而不是某个臆想出来的数学期望(mathematical expectation)。在这种情况下，在你的组合中加入保险公司的保险合同，是一个成本有效(cost effective)的选择。

我们跳出航海时代，回到1955年的现实世界，那一年克拉默提出了保险生意的两个基本问题：

• 如何计算保险公司破产的概率？
• 如何刻画理赔总量的分布？ 他写下了以下公式来描述： U(t) = U + c(t) - S(t) 其中，U是公司的初始本金(initial capital)，c(t)代表保费收入率，S(t)是保单到达的过程。

从这个公式出发，我们可以得到两种不同的赚钱策略： 第一种策略是几乎每次都能赚钱，赚取稳定的保费，并确保黑天鹅事件带来的损失不会超过之前保费的总收入。

第二种策略更像是反向保险公司策略，它反其道而行之，它通过高频的小额的局部的损失来换取巨大的收益。这种策略被以塔勒布、马克·斯匹兹纳戈等人发挥地炉火纯青。 他们称自己为危机狩猎者(Crisis hunter)。

第一种策略更像是赌场盈利的策略，第二种是赌徒利用赌场对小概率事件带来的影响系统性低估而盈利的策略，它们互为其根。

第二种策略要求人在心理上不断地经历“将欲取之必先予之”的过程，有很强的反直觉性，本文所做的工作就是直追它诞生的历史冒险源头和思想源头： 1713年的圣彼得堡悖论与波澜壮阔但是残酷血腥的大航海时代。