5 2023-12-16 課題

5.1 計算問題

Exercise 5.1 (積分) 次の積分を計算せよ．

  1. \(\displaystyle \int_0^2 (278 - 139t) dt\)
  2. \(\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{x^2 + 1} dx\)

Exercise 5.2 (偏微分) 次の関数について，１階・２階の偏導関数を全て求めよ．

\[\begin{align} f(x,y) = x \exp \left(-{(x^2 + y^2) \over 2} \right) \end{align}\]

5.2 プログラミング問題

以下の設問を実現するRのコードを実装せよ．

Exercise 5.3 (データの準備) 課題用のデータセットとしてボストンの住宅価格のデータを利用する．

  1. 次のコードを実行せよ．
install.packages("mlbench")
library(mlbench)
data("BostonHousing2")
df <- BostonHousing2

このデータセットはボストンの各エリアについてのデータセットである． そして各変数の意味は下記の表の通り．

変数名 説明
crim 町の犯罪率
zn 広い家の割合
indus 産業値の割合
chas 川の隣かどうか
nox 一酸化窒素濃度
rm １戸当たりの平均部屋数
age 古い家の割合
dis 主要施設への距離
rad 主要高速道路へのアクセスのしやすさ
tax 固定資産税率
ptratio 生徒と先生の比率
b 町ごとの黒人の割合
lstat 低所得者人口の割合
mdev 住宅価格の中央値

  1. データセットのサイズを調べよ

  2. 各変数が質的データか量的データかを調べよ

  3. 目的変数\(y\)をmedvとして，その他の変数との関連性を調べよ（適宜可視化や要約を行うこと）．

Exercise 5.4 (重回帰モデルの実行) 重回帰モデルの学習の実行とAICの意味での最良のモデルを選択して欲しい．

  1. 目的変数をmedv，説明変数をcrim, nox, lstatとした重回帰モデルを実行し，推定したパラメータを表示せよ．

  2. 1で推定した結果について各変数が目的変数に影響しているか考察せよ．

  3. AICによるモデル選択

medv以外の全ての変数を説明変数として，step関数を利用してAICの意味で最も良いモデルを推定せよ．

  1. 3で推定したモデルの推定結果を確認し，考察を述べよ．

Exercise 5.5 (ElasticNetの実行) 重回帰モデルの発展系であるElasticNetの問題である．

  1. 目的変数をmedvとし，AICで最良のモデルで選択された説明変数を使い，適当に\(\alpha\)の値を決め，ElasticNetを実行せよ．

  2. 1で実行したモデルにおいて，平均予測誤差の意味で最も良い\(\alpha\)の値を求めよ．\(\alpha\)の有効桁数は小数点第３位までとする．