Data Science 2
Statistische Inferenz
Einleitung
In den Wirtschaftswissenschaften spielen Zufall und Unsicherheit eine wichtige Rolle. Zum einen, weil die ökonomische Theorie deskriptive und normative Aussagen darüber macht, wie ökonomische Akteure sich unter Unsicherheit verhalten und wie sie sich rational verhalten sollten. Zum anderen, weil ökonomische Modelle mit Hilfe von statistischen Verfahren an die Realität angepasst werden sollen oder ökonomische Theorien anhand von emprischen Beobachtungen überprüft werden sollen. In dem Modul Data Science 2 lernen Sie, wie man mit Zufall und Unsicherheit umgeht.
Das Modul lässt sich in zwei große Teile gliedern, nämlich die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und die statistische Inferenz.
Wahrscheinlichkeitstheorie
Warum braucht man in den Wirtschaftswissenschaften Wahrscheinlichkeitstheorie? Es gibt zwei Gründe: Zum einen taucht die Wahrscheinlichkeitstheorie in der ökonomischen Theorie auf, wenn es um das Verhalten von ökonomischen Agenten unter Unsicherheit geht. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist also hier weniger ein Zweig der Mathematik, sondern dient zur Beschreibung des Verhaltens von Menschen unter Unsicherheit. In 1 Zufallsvorgänge wird ein formaler Rahmen eingeführt, in dem man präzise mit Unsicherheit umgehen kann. Unsicherheit bedeutet, dass man nicht genau und sicher weiß, was passieren wird. Praktisch befinden wir uns also in der Realität so gut wie immer in einer Situation unter Unsicherheit. Für den formalen Rahmen benötigen wir einige Grundbegriffe aus der Mengenlehre, die ebenfalls in diesem Kapitel behandelt werden. In 2 Wahrscheinlichkeit lernen Sie, was man unter Wahrscheinlichkeit versteht. Aufbauend auf den ersten beiden Kapiteln wird anschließend in 3 Zufallsvariablen definiert, was Zufallsvariablen sind. Mit ihnen lassen sich in vielen Situationen Zufallsvorgänge sehr einfach erfassen. In 4 Standardverteilungen lernen Sie eine Reihe von Standardverteilungen kennen. Bei vielen wissenschaftlichen Fragen geht es darum, wie mehrere Größen miteinander zusammenhängen. Auch dafür braucht man einen sauberen formalen Rahmen. Er wird in 5 Zufallsvektoren und 6 Kovarianz vorgestellt.
Wahrscheinlichkeitstheorie ist noch aus einem zweiten, technischen Grund wichtig in der Ökonomik: Die Wahrscheinlichkeitstheorie bildet das formale Fundament für die statistische Inferenz, also die Kunst, Rückschlüsse von einer Stichprobe auf die Population zu ziehen. Der Übergang zur statistischen Inferenz wird in 7 Grenzwertsätze vorbereitet. Dort lernen Sie das Gesetz der großen Zahl und den zentralen Grenzwertsatz kennen.
Statistische Inferenz
Bei der statistischen Inferenz schließt man von einer Stichprobe auf die Population. Man spricht daher auch von “schließender Statistik”. Es geht letztlich um die Frage “Was können uns die Daten eigentlich sagen?” Sind die Ergebnisse, die wir ausrechnen, wirklich zuverlässig? Wie groß ist die mögliche Fehlerspanne unserer Resultate? Wie können wir Theorien oder Hypothesen empirisch überprüfen, wenn uns keine perfekten Daten vorliegen? In 8 Stichproben lernen Sie, was man in der Wissenschaft unter einer Stichprobe versteht. In den nachfolgenden Kapiteln wird dann gezeigt, wie man Stichproben nutzen kann. In 9 Punktschätzung und 10 Konfidenzintervalle geht es um Punktschätzungen und Konfidenzintervalle. In 11 Hypothesentests wird ausführlich erklärt, was statistische Hypothesentests sind, welche “Philosophie” ihnen zugrunde liegt und wie man sie durchführt. In 12 Erwartungswerttests wird gezeigt, wie man Hypothesen über Erwartungswerte testet, in 13 Weitere Hypothesentests geht es um weitere Arten von Hypothesentests. Am Ende des Semesters wird in 14 Bootstrap ein sehr allgemeiner computer-gestützter Testansatz vorgestellt, die sogenannte Bootstrap-Methode.
In diesem Kurs bauen alle späteren Kapitel auf früheren Kapiteln auf. Die statistische Inferenz in Form von Hypothesentests, Konfidenzintervallen und Punktschätzungen (9 Punktschätzung bis 14 Bootstrap) ist nur dann wirklich verständlich, wenn man vorher das Konzept einer Stichprobe (8 Stichproben) verinnerlicht hat und die beiden grundlegenden Arten von Grenzwertsätzen kennt (7 Grenzwertsätze). Dafür ist eine Voraussetzung der Umgang mit gemeinsamen Verteilungen (5 Zufallsvektoren und 6 Kovarianz). Zuvor muss man jedoch wissen, wie man mit univariaten Zufallsvariablen umgeht (3 Zufallsvariablen und 4 Standardverteilungen). Um zu verstehen, was eine Zufallsvariable eigentlich ist, braucht man grundlegende Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie (1 Zufallsvorgänge und 2 Wahrscheinlichkeit).Der Name dieses Moduls “Data Science 2” lässt vermuten, dass dieses Modul auf dem Modul “Data Science 1” aufbaut. Diese Vermutung ist aber falsch. Beide Module sind inhaltlich in sich abgeschlossen und können unabhängig voneinander belegt werden. Wenn Sie “Data Science 1” bereits gehört haben, werden Sie jedoch feststellen, dass viele Begriffe, die Sie dort gelernt haben, in ähnlicher Form auch in “Data Science 2” vorkommen. Das ist kein Zufall, denn wir werden sehen, dass auf einer tieferen Ebene eine enge Beziehung zwischen beiden Ansätzen besteht. Was Sie jedoch als Voraussetzung für diesen Kurs unbedingt brauchen, sind Kenntnisse in Differential- und Integralrechnung. Wenn Sie nicht mehr sicher wissen, wie man Funktionen ableitet oder integriert, sollten Sie auf jeden Fall Ihre alten Schulunterlagen wieder hervorholen und den Stoff wiederholen. Sollten Sie Ihre Schulunterlagen nicht mehr haben, können Sie z.B. in der Stadtbücherei Münster Mathe-Schulbücher ausleihen.
Vorausgesetzt wird ferner, dass Sie Zugang zu R und RStudio haben. Die Software R wird in diesem Modul zwar nicht gleich zu Beginn des Semesters eingesetzt, aber sie spielt eine sehr wichtige Rolle, weil R das Verständnis von Zufall enorm erleichtern kann und weil einige der vorgestellten Methoden ausschließlich mit Hilfe eines Computers durchführbar sind. Wie man R und RStudio installiert, wird im ersten Kapitel des eLehrbuchs Data Science 1 beschrieben. Im Anhang A — Programmieren in R finden Sie einige Hinweise zum Programmieren in R, insbesondere zu Vektoren und Schleifen.
Hinweise auf weiterführende Literatur gibt Anhang B — Literatur. Dieses eLehrbuch orientiert sich sowohl hinsichtlich seines Aufbaus als auch der Notation recht eng an dem auch im Anhang aufgelisteten Lehrbuch von Mosler und Schmid (2011).
Zum Layout in diesem eLehrbuch: Definitionen sind blau unterlegt. Beispiele sind grün unterlegt und meistens mit einem Mausklick aus- und wieder einklappbar. Es gibt nur wenige Theoreme, sie sind rot unterlegt. Die Grafiken wurden alle in R erstellt. Der zugehörige R-Code ist für diesen Kurs nicht relevant, wer sich dennoch dafür interessiert, kann über den Grafiken auf “R-Code zeigen” klicken.
Dieses Lehrbuch unterliegt der Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.