Chapter 1 初期理论要点

《结构方程与建模的而原理与应用》（第二版）的前几章主要是理论阐述，并不涉及具体实操和案例。对于这部分内容，本节选取了其中与实操最为相关的部分，分章节进行了总结。

1.1 第一章 结构方程模型概说

该章指出，在准备进行结构方程（SEM）建模时，使用的数据需要满足以下几点要求：

  1. 样本量不能低于\(100\)。如果追求结果的可靠和稳定，样本量不能小于\(200\)。
  2. 如果输入的是矩阵数据，最好使用协方差矩阵而不是相关系数矩阵。因为前者包含了计算后者所有必要的信息。此外，数据化简到小数点第\(3\)位为宜，以提高计算精度。
  3. 当数据中的变量分布明显偏离正态时，SEM的结果值得怀疑。

1.2 第二章 结构方程模型的组成

该章指出:

  1. 纳入SEM进行分析的变量主要是连续型变量（定距和定比），而类别变量（定类和定序）只是作为辅助或分组讨论的调节变量之用。
  2. 多元指标原则：一个潜变量必须由至少\(3\)个测量变量来估计(如果模型存在多个潜变量，并且潜变量之间存在关联，则可以有\(2\)个测量变量)。
  3. 简效原则：将变量之间的关系以最符合理论意义且最简明扼要的方式加以界定。

1.3 第三章 参数估计与识别问题

对于SEM来说，待估参数数目 \(t\) 和测量数据数（numbers of data points, DP）之间的关系，导致了三种识别状态——过度识别、充分识别和识别不足。

设模型外源测量变量和内生测量变量的个数分别为\(p, q\)，则其DP为：

\[\begin{equation} DP = \dfrac{(p + q)(p + q + 1)}{2} \tag{1.1} \end{equation}\]

待估参数的数目 \(t\) 则视模型设定而定。

  • 当\(t \leq DP\)，为过度识别。
  • 当\(t = DP\)，为充分识别，此时模型被称为饱和模型，其到处的协方差矩阵与样本观测到的协方差矩阵完全相等。
  • 当\(t > DP\)，为识别不足，此时，SEM无法对任何参数作出估计。

1.4 第四章 模型拟合评鉴

  • 统计检验的经典逻辑，是将偏好的模型设为备择假设，然后以推翻原假设的形式证明备择假设。然而，SEM分析策略有所不同，因为他的原假设是“我们偏好的模型与实际观察所得数据相符”。

    • 以似然比卡方检验为例。在一般的Neyman-pearson hypothesis testing中，将restricted model的似然值记为\(L_R^*\)，\(L^*\)则是unrestricted model的似然值，假设受到restricted的变量数量为\(m\)，那么构造的卡方统计量为：

\[ R=-2 \ln \left(\frac{L_R^*}{L^{\star}}\right)=2\left(\ln L^*-\ln L_R^*\right) \sim f_{\chi^2}(r \mid m) \]

  • 此时，如果\(m\)个受到restricted的系数都不存在效应，那么应该有\(E(R)=m\)，反之则为\(r \gg m\)（卡方值具有显著性），从而拒绝了没有效应的原假设，即拒绝了restricted model，接受了我们偏好的unrestricted model。

  • 但是，在SEM中，restricted model 才是我们偏好的模型，而unrestricted model 是一个对各观察变量之间都作了相关假定的饱和模型。此时，具有显著性的卡方值，反而意味着我们应该拒绝自己偏好的模型；更为糟糕的是，在假设检验的逻辑下，不具有显著性的卡方值，也不能说证实了我们的模型。总的来说，在SEM中，卡方值越接近\(m\)反而越好。

  • 图 1.1 是一些常用的拟合指数（原书78页表4.1）：

一些常用的拟合指数

Figure 1.1: 一些常用的拟合指数