Chapter 2 Skalenniveaus

2.1 Das karthesische Produkt

Das kartesische Produkt A × B zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente Element in A und deren zweite Komponente Element in B ist. Nehmen wir an, wir haben die folgende Menge U{Urs, Hans, Fritz, Anna, Frida}.

Dann ist das karthesische Produkt U x U folgendermaßen aufgebaut:

U x U ={(Urs,Urs),(Urs,Hans),(Urs,Fritz),(Urs, Anna),(Urs,Frida),(Hans,Urs),(Hans,Hans),(Hans,Fritz),(Hans,Anna),(Hans, Frida), (Fritz;Urs),(Fritz, Hans),(Fritz,Fritz),(Fritz, Anna),(Fritz,Frida),(Anna,Urs),(Anna, Hans),(Anna, Fritz), (Anna, Anna),(Anna,Frida),(Frida,Urs),(Frida, Hans),(Frida, Fritz),(Frida, Anna),(Frida, Frida)}

Relation: Teilmenge des karthesischen Produkts, auf die die Relationsvorschrift zutrifft.

Beispiel für eine Relationsvorschrift: ,, U hat das gleiche Geschlecht wie V.’’ Für die Menge U würden wir folgende Teilmenge/Relation erhalten:

R={(Urs, Urs), (Urs, Hans), (Urs, Fritz), (Hans, Urs), (Hans, Hans), (Hans, Fritz), (Fritz, Urs), (Fritz, Hans), (Fritz, Fritz), (Anna, Anna), (Anna, Frida), (Frida, Anna). (Fria, Frida)}

2.2 Die Nominalskala

Kernidee: Die Klassifikation von Personen

I.) Das Repräsentationsproblem

  • Das Repräsentationsproblem beschäftigt sich mit der Frage, welche Anfoderungen eine Relation erfüllen muss, um zu einem Skalenniveau zu gehören.

  • bei der Nominalskala müssen die Anforderungen der Äquivalenzrelation erfüllt werden

  • sind die Anforderungen gegeben, spricht man bei den Klassen/Kategorien von Äquivalenzklassen.

Eigenschaften der Äquivalenzklassen:

1.) Sie sind unabhängig voneinander bzw. disjunkt.

  • Wenn bei einer nominalskalierten Variable nach dem Lieblingssport gefragt wird, darf beispielsweise eine Option nicht Fußball und eine andere Option Ballsport sein, da diese sich überschneiden.

2.) Jede Person aus einer für uns relevante Gruppe muss einer Äquivalenzklasse zuordenbar sein.

*Wenn man bei einer Untersuchung nach dem Geschlecht fragt und versehentlich ,,weiblich’’ als Option nicht angibt, wird eine Subgruppe von Merkmalsträgern durch das Design ausgeschlossen.

3.) Jede Person darf nur einer Äquivalenzklasse zugeordnet werden.

  • Diese Eigenschaft ist beispielsweise nicht gegeben, wenn man eine Person nach seiner Nationalität fragt, da es Menschen mit mehreren Nationalitäten gibt.

Wenn eine Variable einer dieser Eigenschaften missachtet, ist diese nicht nominalskaliert. Jedoch gibt es selbstverständlich Möglichkeiten, dieses Problem (in Abhängigkeit von der Situation) zu lösen .

Nominalskalenmodell: NSM = [(U,\(\approx\)), (\(\mathbb{R}\), =), h]

Der allgemeine Aufbau eines Skalenmodells: SM= [(empirische Relativ),(numerische Relativ), Homomorphismus]

II.) Eindeutigkeitsproblem

  • Das Eindeutigkeitsproblem beschäftigt sich mit der Frage, welche mathematischen Transformationen auf der jeweiligen Skala erlaubt sind.

  • Im Falle der Nominalskala: eineindeutige Transformationen

  • Unterschied zwischen einer eindeutigen und einer eineindeutigen Transformation:

  • eindeutig: Die Eindeutigkeit der Transformation geht nur in eine Richtung und ist nicht umkehrbar.

\(\rightarrow\) Beispiel: Wenn ich bei der Variable Geschlecht für männlich und divers die Kodierung 1 nehme, ist meine Transformation eindeutig: Jeder männliche Proband erhält die Kodierung 1. Jedoch kann ich von der 1 aus nicht erschließen, ob der Proband männlich oder divers ist, d.h. die Richtung der Eindeutigkeit geht nur in eine Richtung.

  • eineindeutig: Die Eindeutigkeit der Transformation geht in beide Richtungen und ist umkehrbar.

\(\rightarrow\) Beispiel: Wenn ich bei der Variable Geschlecht für männlich die Kodierung 1, für weiblich 2 und für divers 3 nehme, ist meine Transformation eineindeutig. Jeder männliche Proband erhält die Kodierung 1 und gleichzeitig weiß ich, dass jeder Proband mit dem Code 1 männlich ist: Die Eindeutigkeit geht in beide Richtungen.

III.) Bedeutsamkeitsproblem

  • Das Bedeutsamkeitsproblem beschäftigt sich mit der Frage, welche Aussagen gültig sind in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Variable.

  • Im Falle der Nominalskala: Aussagen über Gleichheit und Ungleichheit sind möglich.

  • Generelle Idee zur Bestimmung der Bedeutsamkeit von Aussagen: Wenn sich nach einer gültigen Transformation der Inhalt der Aussage ändert, ist diese nicht invariant.

2.3 Die Ordinalskala

  • Kernidee: Aussagen über Gleichheit und Ungleichheit und Ordnung sind gültig (Dabei kann man nicht genau definieren, wie groß der qualitative Unterschied ist.)

I.) Repräsentationsproblem

  • bei der Ordinalskala müssen die Anforderungen der Äquivalenzrelation und der strengen Ordnungsrelation gegeben sein

  • Zwei Elemente einer Menge U stehen entweder in einer Äquivalenzrelation (sie haben die gleiche Ausprägung) oder in der strengen Ordnungsrelation (Person A hat eine höhere/niedrigere Ausprägung als Person B)

OSM = [(U,\(\approx\), >), (\(\mathbb{R}\), =, >), h]

II.) Eindeutigkeitsproblem: monotone Transformation

  • die Ordnung/ Reihenfolge der Variable muss nach der Transformation beibehalten werden. Die Größe des Unterschieds zwischen den Zahlenwerten ist irrelevant bzw. nicht quantifizierbar.

III.) Bedeutsamkeitsproblem: Aussagen über Gleichheit und Ungleichheit sowie Aussagen zu qualitativen Unterschieden sind gültig.

2.4 Kardinalskala

  • die höheren Skalen fasst man unter den Begriff Kardinalskala zusammen, da ab der Intervallskala die Differenzen zwischen Merkmalsausprägungen einen interpretativen Wert haben.

  • Anmerkung: Ab der Kardinalskala sind die Skalenmodelle und die Anforderungen an die Relation hochkomplex und werden im Folgenden nicht behandelt (sie werden im Eid, Gollwitzer auch nicht erwähnt und sind dementsprechend nicht Prüfungsrelevant.)

2.4.1 Intervallskala

I.) Eindeutigkeitsproblem: lineare Transformationen (\(y=mx+b\), mit \(m>0\))

  • WICHTIG: Der Faktor bei der linearen Transformationen muss größer als null sein. Wenn er negativ ist, wird die Ordnung innerhalb der Variable invertiert.

II.) Bedeutsamkeitsproblem: Aussagen zu Gleichheit und Ungleichheit, Ordnung und Gleichheit der Differenzen.

  • die Verhältnisse von einzelnen Merkmalsausprägungen kann man bei intervallskalierten Variablen nicht bestimmen, da diese nicht über einen absoluten Nullpunkt verfügt.

  • Definition eines absoluten Nullpunkts: Der untere Grenzwert einer Variable, welche nicht unterschritten werden kann. Eine Variable verfügt über einen absoluten Nullpunkt, wenn der Wert 0 nicht unterschritten werden kann. Ein Beispiel hierfür sind Längeneinheiten: Es existieren keine negativen Längen.

  • Bei den Temperaturen kann man dies beobachten:

\(\frac{20°C}{10°C}\neq \frac {68°F}{50°F}\)

  • Jedoch kann man die Differenzen von Merkmalsausprägungen in ein Verhältnis zueinander setzen:

\(\frac{50°C - 25°C}{50°C-37,5°C}=\frac{122°F-77°F}{122°F-99,5°F}=2\)

2.4.2 Die Verhältnisskala

  • verhältnisskalierte Variablen verfügen über einen absoluten Nullpunkt.

I.) Eindeutigkeitsproblem: Ähnlichkeitstransformation (\(y=mx\))

II.) Bedeutsamkeitsproblem: Aussagen über Gleichheit und Ungleichheit, Ordnung, Gleichheit von Differenzen und das Verhältnis von Merkmalsausprägungen

2.4.3 Absolutskala

  • Eine absolutskalierte Variable zeichnet sich durch eine natürliche Maßeinheit aus. (Beispiel: Anzahl korrekt gelöster Aufgaben, die Anzahl der Geschwister etc.)

I.) Eindeutigkeitsproblem: Identitätstransformation

II.) Bedeutsamkeitsproblem: Aussagen über Gleichheit und Ungleichheit, Ordnung, Gleichheit von Differenzen, das Verhältnis von Merkmalsausprägungen und der absolute Wert von Merkmalsausprägungen