第 2 章 基础知识

作为第 3 章统计模型和第 4 章参数估计的知识准备，本章给出主要的知识点。第 2.1 节首先介绍指数族的一般形式，包含各成分的定义，特别介绍正态分布、二项分布和泊松分布情形下均值函数、联系函数和方差函数等特征量。第 2.2 节介绍线性模型下，设计矩阵保持正定时的最小二乘估计和加权最小二乘估计。第 2.3 节介绍极大似然估计的定义，相合性，以及在一定条件下的渐近正态性。第 2.4 节介绍平稳高斯过程的定义，均方连续性和可微性的定义，以及判断可微性的一个充要条件。第 2.5 介绍先验、后验分布和 Jeffreys 无信息先验分布。

2.1 指数族

一般地，随机变量 $Y$ 的分布服从指数族，即形如 $$\begin{equation} f_{Y}(y;\theta,\phi) = \exp\big\{ \big(y\theta - b(\theta) \big)/a(\phi) + c(y,\phi) \big\} \tag{2.1} \end{equation}$$ 其中，$a(\cdot),b(\cdot),c(\cdot)$ 是某些特定的函数。如果 $\phi$ 已知，这是一个含有典则参数 $\theta$ 的指数族模型，如果 $\phi$ 未知，它可能是含有两个参数的指数族。对于正态分布 $$\begin{equation} \begin{aligned} f_{Y}(y;\theta,\phi) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\{-\frac{(y - \mu)^2}{2\sigma^2} \} \\ & = \exp\big \{ (y\mu - \mu^2/2)/\sigma^2 - \frac{1}{2}\big(y^2/\sigma^2 + \log(2\pi\sigma^2)\big) \big\} \end{aligned} \tag{2.2} \end{equation}$$ 通过与 (2.1) 式对比，可知 $\theta = \mu$，$\phi = \sigma^2$，并且有 $$a(\phi) = \phi, \quad b(\theta) = \theta^2/2, \quad c(y,\phi) = - \frac{1}{2}\{ y^2/\sigma^2 + \log(2\pi\sigma^2) \}$$ 记 $l(\theta,\phi;y) = \log f_{Y}(y;\theta,\phi)$ 为给定样本点 $y$ 的情况下，关于 $\theta$ 和 $\phi$ 的对数似然函数。样本 $Y$ 的均值和方差具有如下关系 (McCullagh and Nelder 1989) $$\begin{equation} \mathsf{E}\big( \frac{\partial l}{\partial \theta} \big) = 0 \tag{2.3} \end{equation}$$ 和 $$\begin{equation} \mathsf{E}\big( \frac{\partial^2 l}{\partial \theta^2} \big) + \mathsf{E}\big(\frac{\partial l}{\partial \theta}\big)^2 = 0 \tag{2.4} \end{equation}$$ 从 (2.1) 式知 $$l(\theta,\phi;y) = {y\theta - b(\theta)}/a(\phi) + c(y,\phi)$$ 因此， $$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial l}{\partial \theta} & = {y - b'(\theta)}/a(\phi) \\ \frac{\partial^2 l}{\partial \theta^2} & = - b''(\theta)/a(\phi) \end{aligned} \tag{2.5} \end{equation}$$ 从 (2.3) 式和 (2.5)，可以得出 $$0 = \mathsf{E}\big( \frac{\partial l}{\partial \theta} \big) = \big\{ \mu - b'(\theta) \big\}/a(\phi)$$ 所以 $$\mathsf{E}(Y) = \mu = b'(\theta)$$ 根据 (2.4) 式和 (2.5) 式，可得 $$0 = - \frac{b''(\theta)}{a(\phi)} + \frac{\mathsf{Var}(Y)}{a^2(\phi)}$$ 所以 $$\mathsf{Var}(Y) = b''(\theta)a(\phi)$$ 可见，$Y$ 的方差是两个函数的乘积，一个是 $b''(\theta)$， 它仅仅依赖典则参数，叫做方差函数，方差函数可以看作是 $\mu$ 的函数，记作 $V(\mu)$。另一个是 $a(\phi)$，它独立于 $\theta$，仅仅依赖 $\phi$，函数 $a(\phi)$ 通常形如 $$a(\phi) = \phi/w$$ 其中 $\phi$ 可由 $\sigma^2$ 表示，故而也叫做发散参数 （dispersion parameter），是一个与样本观察值相关的常数，$w$ 是已知的权重，随样本观察值变化。对正态分布模型而言，$w$ 的分量是 $m$ 个相互独立的样本观察值的均值，有 $a(\phi) = \sigma^2/m$，所以，$w = m$。

根据 (2.1)式，正态、泊松和二项分布的特征见表 2.1，符号约定同 McCullagh 和 Nelder （1989年） 所著的《广义线性模型》。

表 2.1: 指数族内常见的一元分布的共同特征及符号表示

	正态分布	泊松分布	二项分布
记号	$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$	$\mathrm{Poisson}(\mu)$	$\mathrm{Binomial}(m,p)$
$y$ 取值范围	$(-\infty,\infty)$	$0(1)\infty$	$0(1)m$
$\phi$	$\phi = \sigma^2$	$1$	$1/m$
$b(\theta)$	$\theta^2/2$	$\exp(\theta)$	$\log(1+e^{\theta})$
$c(y;\theta)$	$-\frac{1}{2}\big( \frac{y^2}{\phi} + \log(2\pi\phi) \big)$	$-\log(y!)$	$\log\binom{m}{my}$
$\mu(\theta) = \mathsf{E}(Y;\theta)$	$\theta$	$\exp(\theta)$	$e^{\theta}/(1+e^{\theta})$
联系函数：$\theta(\mu)$	identity	log	logit
方差函数：$V(\mu)$	1	$\mu$	$\mu(1-\mu)$

2.2 最小二乘估计

考虑如下线性模型的最小二乘估计 $$\begin{equation} \mathsf{E}\mathbf{Y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} \qquad \mathsf{Var}(\mathbf{Y}) = \sigma^2 \mathbf{I}_{n} \tag{2.6} \end{equation}$$ 其中， $\mathbf{Y}$ 为 $n \times 1$ 维观测向量， $\mathbf{X}$ 为已知的 $n \times p (p \leq n)$ 维设计矩阵，$\boldsymbol{\beta}$ 为 $p \times 1$ 维未知参数，$\sigma^2$ 未知，$\mathbf{I}_{n}$ 为 $n$ 阶单位阵。

定义 2.1 (最小二乘估计) 在模型 (2.6) 中，如果 $$\begin{equation} (\mathbf{Y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}})^{\top}(\mathbf{Y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}}) = \min_{\beta}(\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})^{\top}(\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}) \tag{2.7} \end{equation}$$ 则称 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 为 $\boldsymbol{\beta}$ 的最小二乘估计(简称 LSE)(王松桂 et al. 2004)。

定理 2.1 (最小二乘估计) 若模型 (2.6) 中的 $\mathbf{X}$ 是列满秩的矩阵，则 $\boldsymbol{\beta}$ 的最小二乘估计为 $$\hat{\boldsymbol{\beta}}_{LS} = ( \mathbf{X}^{\top}\mathbf{X} )^{-1}\mathbf{X}^{\top} \mathbf{Y}, \quad \mathsf{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{LS}) = \sigma^2 (\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X})^{-1}$$ $\sigma^2$ 的最小二乘估计为 $$\hat{\sigma^2}_{LS} = (\mathbf{Y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}}_{LS})^{\top}(\mathbf{Y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}}_{LS})/(n - p)$$ 若将模型 (2.6) 的条件 $\mathsf{Var}(\mathbf{Y}) = \sigma^2 \mathbf{I}_{n}$ 改为 $\mathsf{Var}(\mathbf{Y}) = \sigma^2 \mathbf{G}$， $\mathbf{G}(>0)$ 为已知正定阵，则$\boldsymbol{\beta}$ 的最小二乘估计为 $$\tilde{\boldsymbol{\beta}}_{LS} = ( \mathbf{X}^{\top} \mathbf{G}^{-1} \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^{\top} \mathbf{G}^{-1} \mathbf{Y}$$ 称 $\tilde{\boldsymbol{\beta}}_{LS}$ 为广义最小二乘估计，特别地，当 $\mathbf{G} = \mathrm{diag}(\sigma^2_{1},\ldots,\sigma^2_{n})$，$\sigma^2_{i},i = 1,\ldots,n$ 已知时，称 $\tilde{\boldsymbol{\beta}}_{LS}$ 为加权最小二乘估计(王松桂 et al. 2004)。

2.3 极大似然估计

定义 2.2 (极大似然估计) 设 $p(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta}),\boldsymbol{\theta} \in \boldsymbol{\Theta}$ 是 $(\mathbb{R}^n,\mathscr{P}_{\mathbb{R}^n})$ 上的一族联合密度函数，对给定的 $\mathbf{x}$，称 $$L(\boldsymbol{\theta};\mathbf{x}) = kp(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta})$$ 为 $\boldsymbol{\theta}$ 的似然函数，其中 $k > 0$ 是不依赖于 $\boldsymbol{\theta}$ 的量，常取 $k=1$。进一步，若存在 $(\mathbb{R}^n,\mathscr{P}_{\mathbb{R}^n})$ 到 $(\boldsymbol{\Theta},\mathscr{P}_{\boldsymbol{\Theta}})$ 的统计量 $\hat{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x})$ 使 $$L(\hat{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x});\mathbf{x}) = \sup_{\boldsymbol{\theta}} L(\boldsymbol{\theta};\mathbf{x})$$ 则 $\hat{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x})$ 称为 $\boldsymbol{\theta}$ 的一个极大似然估计（简称 MLE）(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

概率密度函数很多可以写成具有指数函数的形式，如指数族，采用似然函数的对数通常更为简便。称 $$l(\boldsymbol{\theta},\mathbf{x}) = \ln L(\boldsymbol{\theta},\mathbf{x})$$ 为 $\boldsymbol{\theta}$ 的对数似然函数。对数变换是严格单调的，所以 $l(\boldsymbol{\theta},\mathbf{x})$ 与 $L(\boldsymbol{\theta},\mathbf{x})$ 的极大值是等价的。当 MLE 存在时，寻找 MLE 的常用方法是求导数。如果 $\hat{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x})$ 是 $\boldsymbol{\Theta}$ 的内点，则 $\hat{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x})$ 是下列似然方程组 $$\begin{equation} \partial l(\boldsymbol{\theta},\mathbf{x})/ \partial \boldsymbol{\theta}_{i} = 0, \quad i = 1,\ldots, m \tag{2.8} \end{equation}$$ 的解。$p(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta})$ 属于指数族时，似然方程组 (2.8) 的解唯一(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

定理 2.2 (相合性) 设 $x_{1}, \ldots, x_{n}$ 是来自概率密度函数 $p(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta})$ 的一个样本，叙述简单起见，考虑单参数情形，参数空间 $\boldsymbol{\Theta}$ 是一个开区间，$l(\boldsymbol{\theta};\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n}\ln p(x_{i};\boldsymbol{\theta})$。

若 $\ln (p;\boldsymbol{\theta})$ 在 $\boldsymbol{\Theta}$ 上可微，且 $p(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta})$ 是可识别的（即 $\forall \boldsymbol{\theta}_1 \neq \boldsymbol{\theta}_2, \{\mathbf{x}: p(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta}_1) \neq p(\mathbf{x}; \boldsymbol{\theta}_2)\}$ 不是零测集），则似然方程 (2.8) 在 $n \to \infty$ 时，以概率 $1$ 有解，且此解关于 $\boldsymbol{\theta}$ 是相合的(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

定理 2.3 (渐近正态性) 假设 $\boldsymbol{\Theta}$ 为开区间，概率密度函数 $p(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta}), \boldsymbol{\theta} \in \boldsymbol{\Theta}$ 满足：

1. 在参数真值 $\boldsymbol{\theta}_{0}$ 的邻域内，$\partial \ln p/\partial \boldsymbol{\theta}, \partial^2 \ln p/\partial \boldsymbol{\theta}^2, \partial^3 \ln p/\partial \boldsymbol{\theta}^3$ 对所有的 $\mathbf{x}$ 都存在；
2. 在参数真值 $\boldsymbol{\theta}_{0}$ 的邻域内，$| \partial^3 \ln p/\partial \boldsymbol{\theta}^3 | \leq H(\mathbf{x})$，且 $\mathsf{E}H(\mathbf{x}) < \infty$；
3. 在参数真值 $\boldsymbol{\theta}_{0}$ 处，$\mathsf{E}_{\boldsymbol{\theta}_{0}} \big[ \frac{ p'(\mathbf{x},\boldsymbol{\theta}_{0}) }{ p(\mathbf{x},\boldsymbol{\theta}_{0}) } \big] = 0,\mathsf{E}_{\boldsymbol{\theta}_{0}} \big[ \frac{ p''(\mathbf{x},\boldsymbol{\theta}_{0}) }{ p(\mathbf{x},\boldsymbol{\theta}_{0}) } \big] = 0,I(\boldsymbol{\theta}_{0}) = \mathsf{E}_{\boldsymbol{\theta}_{0}} \big[ \frac{ p'(\mathbf{x},\boldsymbol{\theta}_{0}) }{ p(\mathbf{x},\boldsymbol{\theta}_{0}) } \big]^{2} > 0$。

其中，撇号表示对 $\boldsymbol{\theta}$ 的微分。记 $\hat{\boldsymbol{\theta}}_{n}$ 为 $n \to \infty$ 时，似然方程组的相合解，则$\sqrt{n}(\hat{\boldsymbol{\theta}}_{n} - \boldsymbol{\theta}_{0}) \longrightarrow \mathcal{N}(\mathbf{0},I^{-1}(\boldsymbol{\theta}))$(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

2.4 平稳高斯过程

一般地，空间高斯过程 $\mathcal{S} = \{S(x),x\in\mathbb{R}^2\}$ 必须满足条件：任意给定一组空间位置 $x_1,x_2,\ldots,x_n, \forall x_{i} \in \mathbb{R}^2$， 每个位置上对应的随机变量 $S(x_i), i = 1,2,\ldots,n$ 的联合分布 $\mathcal{S} = \{S(x_1), S(x_2),\ldots,S(x_n)\}$ 是多元高斯分布，其由均值 $\mu(x) = \mathsf{E}[S(x)]$ 和协方差 $G_{ij} = \gamma(x_i,x_j) = \mathsf{Cov}\{S(x_i),S(x_j)\}$ 完全确定，即 $\mathcal{S} \sim \mathcal{N}(\mu_{S},G)$。

平稳空间高斯过程需要空间高斯过程满足平稳性条件：其一， $\mu(x) = \mu, \forall x \in \mathbb{R}^2$， 其二，自协方差函数 $\gamma(x_i,x_j) = \gamma(u),u=\|x_{i} - x_{j}\|$。 可见均值 $\mu$ 是一个常数， 而自协方差函数 $\gamma(x_i,x_j)$ 只与空间距离有关。

平稳高斯过程 $\mathcal{S}$ 的方差是一个常数，即 $\sigma^2 = \gamma(0)$， 然后可以定义自相关函数 $\rho(u) = \gamma(u)/\sigma^2$， 并且 $\rho(u)$ 是关于空间距离$u$对称的，即 $\rho(u) = \rho(-u)$。 因为对 $\forall u, \mathsf{Corr}\{S(x),S(x-u)\} = \mathsf{Corr}\{S(x-u), S(x)\} = \mathsf{Corr}\{S(x),S(x+u)\}$， 这里的第二个等式是根据平稳性得来的， 由协方差的定义不难验证。 如果不特别说明， 平稳就指上述协方差意义下的平稳， 因为这种平稳性条件广泛应用于空间数据的统计建模。不失一般性，介绍一维空间下随机过程 $S(x)$ 的均方连续性和可微性定义。

定义 2.3 (连续性和可微性) 随机过程 $S(x)$ 满足 $$\lim_{h \to 0} \mathsf{E}\big[ \{S(x + h) - S(x)\}^{2} \big] = 0$$ 则称 $S(x)$ 是均方连续（mean-square continuous）的。随机过程 $S(x)$ 满足 $$\lim_{h \to 0} \mathsf{E} \big[ \{ \frac{S(x+h) - S(x)}{h} - S'(x) \}^2 \big] = 0$$ 则称 $S(x)$ 是均方可微（mean-square differentiable）的，并且 $S'(x)$ 就是均方意义下的一阶导数。如果 $S'(x)$ 是均方可微的，则 $S(x)$ 是二次均方可微的，随机过程 $S(x)$ 的高阶均方可微性可类似定义(Peter J. Diggle and Ribeiro Jr., n.d.)。Bartlett （1955 年） (Bartlett 1955) 得到如下重要结论

定理 2.4 (平稳随机过程的可微性) 自相关函数为 $\rho(u)$ 的平稳随机过程是 $k$ 次均方可微的，当且仅当 $\rho(u)$ 在 $u = 0$ 处是 $2k$ 次可微的。

2.5 先验和后验分布

贝叶斯推断中，常涉及模型参数的先验、后验分布，以及一种特殊的无信息先验分布 — Jeffreys 先验，下面分别给出它们的概念定义(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

定义 2.4 (先验分布) 参数空间 $\Theta$ 上的任一概率分布都称作先验分布 （prior distribution）(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

定义 2.5 (后验分布) 在获得样本 $\mathbf{Y}$ 后，模型参数 $\boldsymbol{\theta}$ 的后验分布 （posterior distribution） 就是在给定样本 $\mathbf{Y}$ 的条件下 $\boldsymbol{\theta}$ 的分布(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

定义 2.6 (Jeffreys 先验分布) 设 $\mathbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)$ 是来自密度函数 $p(x|\boldsymbol{\theta})$ 的一个样本，其中 $\boldsymbol{\theta} = (\theta_1,\ldots,\theta_p)$ 是 $p$ 维参数向量。在对 $\boldsymbol{\theta}$ 无任何先验信息可用时， Jeffreys （1961年）利用变换群和 Harr 测度导出 $\boldsymbol{\theta}$ 的无信息先验分布可用 Fisher 信息阵的行列式的平方根表示。这种无信息先验分布常称为 Jeffreys 先验分布。其求取步骤如下：

1. 写出样本的对数似然函数 $l(\boldsymbol{\theta}|x) = \sum_{i=1}^{n}\ln p(x_i | \boldsymbol{\theta})$；
2. 算出参数 $\boldsymbol{\theta}$ 的 Fisher 信息阵 $$\mathbf{I}(\boldsymbol{\theta}) = \mathsf{E}_{x|\theta} \big( - \frac{\partial^2 l}{\partial \theta_i \partial \theta_j} \big)_{i,j=1,\ldots,p}$$ 在单参数场合， $\mathbf{I}(\theta) = \mathsf{E}_{x|\theta} \big( - \frac{\partial^2 l}{\partial \theta^2} \big)$；
3. $\boldsymbol{\theta}$ 的无信息先验密度函数为 $\pi(\boldsymbol{\theta}) = [\det \mathbf{I}(\boldsymbol{\theta}) ]^{1/2}$，在单参数场合， $\pi(\boldsymbol{\theta}) = [\mathbf{I}(\theta) ]^{1/2}$(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

2.6 常用贝叶斯估计

定理 2.5 (平方损失) 在给定先验分布 $\pi(\boldsymbol{\theta})$ 和平方损失 $L(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\delta}) = (\boldsymbol{\delta} - \boldsymbol{\theta})^2$ 下，$\boldsymbol{\theta}$ 的贝叶斯估计 $\boldsymbol{\delta}^{\pi}(x)$ 为后验分布 $\pi(\boldsymbol{\theta}|x)$ 的均值，即 $\boldsymbol{\delta}^{\pi}(x) = \mathsf{E}(\boldsymbol{\theta}|x)$(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

定理 2.6 (0 - 1 损失) 在给定先验分布 $\pi(\boldsymbol{\theta})$ 和 $0$ - $1$ 损失函数

$$\begin{equation*} L(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\delta}) = \begin{cases} 1, & | \boldsymbol{\delta} - \boldsymbol{\theta}| \leq \epsilon \\ 0, & | \boldsymbol{\delta} - \boldsymbol{\theta}| > \epsilon \end{cases} \end{equation*}$$

当 $\epsilon$ 较小时，$\boldsymbol{\theta}$ 的贝叶斯估计$\boldsymbol{\delta}^{\pi}(x)$为后验分布 $\pi(\boldsymbol{\theta}|x)$ 的众数(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

定理 2.7 (绝对值损失) 在给定先验分布 $\pi(\boldsymbol{\theta})$ 和绝对损失函数 $L(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\delta}) = |\boldsymbol{\delta} - \boldsymbol{\theta}|$ 下，$\boldsymbol{\theta}$ 的贝叶斯估计 $\boldsymbol{\delta}^{\pi}(x)$ 为后验分布 $\pi(\boldsymbol{\theta}|x)$ 的中位数(茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

评价贝叶斯估计 $\boldsymbol{\delta}^{\pi}(x)$ 的精度常用后验均方误差 $$\mathsf{MSE}(\boldsymbol{\delta}^{\pi}|x) = \mathsf{E}_{\boldsymbol{\theta}|x}(\boldsymbol{\delta}^{\pi} - \boldsymbol{\theta})^2$$ 表示，或用其平方根$[\mathsf{MSE}(\boldsymbol{\delta}^{\pi}|x)]^{1/2}$ （称为标准误）表示。容易算得 $$\mathsf{MSE}(\boldsymbol{\delta}^{\pi}|x) = \mathsf{Var}(\boldsymbol{\delta}^{\pi}|x) + [\boldsymbol{\delta}^{\pi}(x) - \mathsf{E}(\boldsymbol{\theta}|x)]^2$$ 可见，当贝叶斯估计$\boldsymbol{\delta}^{\pi}(x)$为后验均值时，贝叶斯估计的精度就用$\boldsymbol{\delta}^{\pi}$的后验方差$\mathsf{Var}(\boldsymbol{\delta}^{\pi}|x)$ 表示，或用后验标准差 $[\mathsf{Var}(\boldsymbol{\delta}^{\pi}|x)]^{1/2}$ 表示 (茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙 2006)。

2.7 本章小结

本章第2.1节介绍了指数族的一般形式，指出基于样本点的对数似然函数和样本均值、样本方差的关系，以表格的形式列出了正态、泊松和二项分布的各个特征，为第3章统计模型和第4章参数估计作铺垫。接着，第2.2节和第2.3节分别介绍了最小二乘估计和极大似然估计的定义、性质，给出了线性模型的最小二乘估计，极大似然估计的相合性和渐进正态性。第2.4节介绍了平稳高斯过程，给出了其均方连续性、可微性定义以及一个均方可微的判断定理，平稳高斯过程作为空间随机效应的实现，多次出现在后续章节中。第2.5节至第2.6节分别是与贝叶斯相关的概念定义。

参考文献

Bartlett, M. S. 1955. An Introduction to Stochastic Process with Special Reference to Methods and Applications. First. Cambridge: Cambridge University Press.

Diggle, Peter J., and Paulo J. Ribeiro Jr. n.d. Model-Based Geostatistics. New York, NY: Springer-Verlag.

McCullagh, Peter, and John Nelder. 1989. Generalized Linear Models. Second. London: Chapman; Hall/CRC.

王松桂, 史建红, 尹素菊, and 吴密霞. 2004. 线性模型引论. 北京: 科学出版社.

茆诗松, 王静龙, and 濮晓龙. 2006. 高等数理统计. 第二版. 北京: 高等教育出版社.